Serie Kapteyn

La serie de Kapteyn es una expansión en serie de funciones analíticas en un dominio en términos de la función de Bessel de primera especie . Las series de Kapteyn reciben su nombre de Willem Kapteyn, quien estudió por primera vez dichas series en 1893. ^{[1] [2]} Sea una función analítica en el dominio ${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle D_{a}=\left\{z\in \mathbb {C} :\Omega (z)=\left|{\frac {z\exp {\sqrt {1-z^{2}}}}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right|\leq a\right\}}$

con . Luego se puede expandir en la forma ${\estilo de visualización a<1}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f(z)=\alpha _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}J_{n}(nz)\quad (z\in D_{a}),}$

dónde

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \Theta _{n}(z)f(z)dz.}$

La trayectoria de la integración es el límite de . Aquí , y para , se define por ${\displaystyle D_{a}}$${\displaystyle \Theta _{0}(z)=1/z}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \Theta _{n}(z)}$

${\displaystyle \Theta _{n}(z)={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(n-2k)^{2}(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {nz}{2}}\right)^{2k-n}}$

Las series de Kapteyn son importantes en problemas físicos. Entre otras aplicaciones, la solución de la ecuación de Kepler se puede expresar mediante una serie de Kapteyn: ^{[2] [3]}${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nM)}{n}}J_{n}(ne).}$

Supongamos que la serie de Taylor se lee como ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

Luego, los coeficientes en la expansión de Kapteyn de se pueden determinar de la siguiente manera. ^{[4] : 571}${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=a_{0},\\\alpha _{n}&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(n-2k)^{2}(n-k-1)!}{k!(n/2)^{(n-2k+1)}}}a_{n-2k}\quad (n\geq 1).\end{aligned}}}$

Las series de Kapteyn de los poderes de son encontradas por el propio Kapteyn: ^{[1] : 103,   [4] : ​​565}${\displaystyle z}$

${\displaystyle \left({\frac {z}{2}}\right)^{n}=n^{2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(n+m-1)!}{(n+2m)^{n+1}\,m!}}J_{n+2m}\{(n+2m)z\}\quad (z\in D_{1}).}$

De ello se sigue (véase también ^{[4] : 567} ) ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle z=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {J_{2k+1}((2k+1)z)}{(2k+1)^{2}}},}$

y para ^{[4] : 566}${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle z^{2}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {J_{2k}(2kz)}{k^{2}}}.}$

Además, dentro de la región , ^{[4] : 559}${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{k}(kz).}$

• La serie de Schlömilch