Definición Las tres funciones q -Bessel de Jackson se dan en términos del símbolo q función hipergeométrica básica. ϕ {\displaystyle \phi }
J ν ( 1 ) ( incógnita ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( incógnita / 2 ) ν 2 ϕ 1 ( 0 , 0 ; q ν + 1 ; q , − incógnita 2 / 4 ) , | incógnita | < 2 , {\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{2}\phi _{1}(0,0;q^{\nu +1};q,-x^{2}/4),\quad |x|<2,} J ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( incógnita / 2 ) ν 0 ϕ 1 ( ; q ν + 1 ; q , − incógnita 2 q ν + 1 / 4 ) , incógnita ∈ do , {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{0}\phi _ {1}(;q^{\nu +1};q,-x^{2}q^{\nu +1}/4),\quad x\in \mathbb {C} ,} J ν ( 3 ) ( incógnita ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( incógnita / 2 ) ν 1 ϕ 1 ( 0 ; q ν + 1 ; q , q incógnita 2 / 4 ) , incógnita ∈ do . {\displaystyle J_{\nu }^{(3)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{1}\phi _ {1}(0;q^{\nu +1};q,qx^{2}/4),\quad x\in \mathbb {C}.} Se pueden reducir a la función de Bessel mediante el límite continuo:
límite q → 1 J ν ( k ) ( incógnita ( 1 − q ) ; q ) = J ν ( incógnita ) , k = 1 , 2 , 3. {\displaystyle \lim _{q\to 1}J_{\nu }^{(k)}(x(1-q);q)=J_{\nu }(x),\ k=1,2,3.} Existe una fórmula de conexión entre la primera y la segunda función q -Bessel de Jackson ( Gasper y Rahman (2004) ):
J ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) = ( − incógnita 2 / 4 ; q ) ∞ J ν ( 1 ) ( incógnita ; q ) , | incógnita | < 2. {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }J_{\nu }^{(1)}(x;q),\ |x|<2.} Para el orden entero, las funciones q -Bessel satisfacen
J norte ( k ) ( − incógnita ; q ) = ( − 1 ) norte J norte ( k ) ( incógnita ; q ) , norte ∈ Z , k = 1 , 2 , 3. {\displaystyle J_{n}^{(k)}(-x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} ,\ k=1,2,3.}
Propiedades
Orden de enteros negativos Utilizando las relaciones ( Gasper y Rahman (2004) ):
( q metro + 1 ; q ) ∞ = ( q metro + norte + 1 ; q ) ∞ ( q metro + 1 ; q ) norte , {\displaystyle (q^{m+1};q)_{\infty }=(q^{m+n+1};q)_{\infty }(q^{m+1};q)_{n},} ( q ; q ) metro + norte = ( q ; q ) metro ( q metro + 1 ; q ) norte , metro , norte ∈ Z , {\displaystyle (q;q)_{m+n}=(q;q)_{m}(q^{m+1};q)_{n},\ m,n\in \mathbb {Z} ,} obtenemos
J − norte ( k ) ( incógnita ; q ) = ( − 1 ) norte J norte ( k ) ( incógnita ; q ) , k = 1 , 2. {\displaystyle J_{-n}^{(k)}(x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}
Ceros Hahn mencionó queJ ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)} Hahn ( 1949 ) ). Ismail demostró que para ν > − 1 {\displaystyle \nu >-1} J ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)} Ismail ( 1982 ) ).
Relación de funciones q -Bessel La función− i incógnita − 1 / 2 J ν + 1 ( 2 ) ( i incógnita 1 / 2 ; q ) / J ν ( 2 ) ( i incógnita 1 / 2 ; q ) {\displaystyle -ix^{-1/2}J_{\nu +1}^{(2)}(ix^{1/2};q)/J_{\nu }^{(2)}(ix^{1/2};q)} función completamente monótona ( Ismail ( 1982 ) ).
Relaciones de recurrencia La primera y la segunda función q -Bessel de Jackson tienen las siguientes relaciones de recurrencia (véase Ismail (1982) y Gasper & Rahman (2004) ):
q ν J ν + 1 ( k ) ( incógnita ; q ) = 2 ( 1 − q ν ) incógnita J ν ( k ) ( incógnita ; q ) − J ν − 1 ( k ) ( incógnita ; q ) , k = 1 , 2. {\displaystyle q^{\nu }J_{\nu +1}^{(k)}(x;q)={\frac {2(1-q^{\nu })}{x}}J_{\nu }^{(k)}(x;q)-J_{\nu -1}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.} J ν ( 1 ) ( incógnita q ; q ) = q ± ν / 2 ( J ν ( 1 ) ( incógnita ; q ) ± incógnita 2 J ν ± 1 ( 1 ) ( incógnita ; q ) ) . {\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x{\sqrt {q}};q)=q^{\pm \nu /2}\left(J_{\nu }^{(1)}(x;q)\pm {\frac {x}{2}}J_{\nu \pm 1}^{(1)}(x;q)\right).}
Desigualdades Cuandoν > − 1 {\displaystyle \nu >-1} q -Bessel de Jackson satisface: | J ν ( 2 ) ( z ; q ) | ≤ ( − q ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( | z | 2 ) ν exp { registro ( | z | 2 q ν / 4 ) 2 registro q } . {\displaystyle \left|J_{\nu }^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-{\sqrt {q}};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{\nu }\exp \left\{{\frac {\log \left(|z|^{2}q^{\nu }/4\right)}{2\log q}}\right\}.} Zhang ( 2006 ) .)
Paranorte ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } | J norte ( 2 ) ( z ; q ) | ≤ ( − q norte + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( | z | 2 ) norte ( − | z | 2 ; q ) ∞ . {\displaystyle \left|J_{n}^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-q^{n+1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{n}(-|z|^{2};q)_{\infty }.} Koelink ( 1993 ) .)
Función generadora Las siguientes fórmulas son el análogo q de la función generadora para la función de Bessel (véase Gasper y Rahman (2004) ):
∑ norte = − ∞ ∞ t norte J norte ( 2 ) ( incógnita ; q ) = ( − incógnita 2 / 4 ; q ) ∞ mi q ( incógnita t / 2 ) mi q ( − incógnita / 2 t ) , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }e_{q}(xt/2)e_{q}(-x/2t),} ∑ norte = − ∞ ∞ t norte J norte ( 3 ) ( incógnita ; q ) = mi q ( incógnita t / 2 ) mi q ( − q incógnita / 2 t ) . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(3)}(x;q)=e_{q}(xt/2)E_{q}(-qx/2t).} mi q {\displaystyle e_{q}} q -exponencial .
Representaciones alternativas
Representaciones integrales La segunda función q -Bessel de Jackson tiene las siguientes representaciones integrales (véase Rahman (1987) e Ismail & Zhang (2018a) ):
J ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) = ( q 2 ν ; q ) ∞ 2 π ( q ν ; q ) ∞ ( incógnita / 2 ) ν ⋅ ∫ 0 π ( mi 2 i θ , mi − 2 i θ , − i incógnita q ( ν + 1 ) / 2 2 mi i θ , − i incógnita q ( ν + 1 ) / 2 2 mi − i θ ; q ) ∞ ( mi 2 i θ q ν , mi − 2 i θ q ν ; q ) ∞ d θ , {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{2\nu };q)_{\infty }}{2\pi (q^{\nu };q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\left(e^{2i\theta },e^{-2i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{-i\theta };q\right)_{\infty }}{(e^{2i\theta }q^{\nu },e^{-2i\theta }q^{\nu };q)_{\infty }}}\,d\theta ,} ( a 1 , a 2 , ⋯ , a norte ; q ) ∞ := ( a 1 ; q ) ∞ ( a 2 ; q ) ∞ ⋯ ( a norte ; q ) ∞ , ℜ ν > 0 , {\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infty }:=(a_{1};q)_{\infty }(a_{2};q)_{\infty }\cdots (a_{n};q)_{\infty },\ \Re \nu >0,} dónde( a ; q ) ∞ {\displaystyle (a;q)_{\infty }} símbolo q q → 1 {\displaystyle q\to 1}
J ν ( 2 ) ( z ; q ) = ( z / 2 ) ν 2 π registro q − 1 ∫ − ∞ ∞ ( q ν + 1 / 2 z 2 mi i incógnita 4 ; q ) ∞ exp ( incógnita 2 registro q 2 ) ( q , − q ν + 1 / 2 mi i incógnita ; q ) ∞ d incógnita . {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\sqrt {2\pi \log q^{-1}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left({\frac {q^{\nu +1/2}z^{2}e^{ix}}{4}};q\right)_{\infty }\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.}
Representaciones hipergeométricas La segunda función q -Bessel de Jackson tiene las siguientes representaciones hipergeométricas (véase Koelink ( 1993 ) , Chen, Ismail y Muttalib ( 1994 ) ):
J ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) = ( incógnita / 2 ) ν ( q ; q ) ∞ 1 ϕ 1 ( − incógnita 2 / 4 ; 0 ; q , q ν + 1 ) , {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }}{(q;q)_{\infty }}}\ _{1}\phi _{1}(-x^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}),} J ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) = ( incógnita / 2 ) ν ( q ; q ) ∞ 2 ( q ; q ) ∞ [ F ( incógnita / 2 , q ( ν + 1 / 2 ) / 2 ; q ) + F ( − incógnita / 2 , q ( ν + 1 / 2 ) / 2 ; q ) ] , F ( incógnita , a ; q ) := ( i a incógnita ; q ) ∞ 3 ϕ 2 ( a , − a , 0 − q , i a incógnita ; q , q ) . {\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\right).} Como consecuencia inmediata de la segunda fórmula, se puede obtener un desarrollo asintótico.
Para otras representaciones hipergeométricas, véase Rahman (1987) .
Funciones q -Bessel modificadas El análogo q de las funciones de Bessel modificadas se define con la función q -Bessel de Jackson ( Ismail (1981) y Olshanetsky y Rogov (1995) ):
I ν ( j ) ( incógnita ; q ) = mi i ν π / 2 J ν ( j ) ( incógnita ; q ) , j = 1 , 2. {\displaystyle I_{\nu }^{(j)}(x;q)=e^{i\nu \pi /2}J_{\nu }^{(j)}(x;q),\ j=1,2.} K ν ( j ) ( incógnita ; q ) = π 2 pecado ( π ν ) { I − ν ( j ) ( incógnita ; q ) − I ν ( j ) ( incógnita ; q ) } , j = 1 , 2 , ν ∈ do − Z , {\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)={\frac {\pi }{2\sin(\pi \nu )}}\left\{I_{-\nu }^{(j)}(x;q)-I_{\nu }^{(j)}(x;q)\right\},\ j=1,2,\ \nu \in \mathbb {C} -\mathbb {Z} ,} K norte ( j ) ( incógnita ; q ) = límite ν → norte K ν ( j ) ( incógnita ; q ) , norte ∈ Z . {\displaystyle K_{n}^{(j)}(x;q)=\lim _{\nu \to n}K_{\nu }^{(j)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} .} Existe una fórmula de conexión entre las funciones q-Bessel modificadas:
I ν ( 2 ) ( incógnita ; q ) = ( − incógnita 2 / 4 ; q ) ∞ I ν ( 1 ) ( incógnita ; q ) . {\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }I_{\nu }^{(1)}(x;q).} Para aplicaciones estadísticas, véase Kemp (1997) .
Relaciones de recurrencia Mediante la relación de recurrencia de las funciones q -Bessel de Jackson y la definición de funciones q -Bessel modificadas, se puede obtener la siguiente relación de recurrencia (K ν ( j ) ( incógnita ; q ) {\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)} Ismail (1981) ):
q ν I ν + 1 ( j ) ( incógnita ; q ) = 2 z ( 1 − q ν ) I ν ( j ) ( incógnita ; q ) + I ν − 1 ( j ) ( incógnita ; q ) , j = 1 , 2. {\displaystyle q^{\nu }I_{\nu +1}^{(j)}(x;q)={\frac {2}{z}}(1-q^{\nu })I_{\nu }^{(j)}(x;q)+I_{\nu -1}^{(j)}(x;q),\ j=1,2.} Para otras relaciones de recurrencia, véase Olshanetsky y Rogov (1995) .
Representación continua de fracciones La razón de las funciones q -Bessel modificadas forma una fracción continua ( Ismail (1981) ):
I ν ( 2 ) ( z ; q ) I ν − 1 ( 2 ) ( z ; q ) = 1 2 ( 1 − q ν ) / z + q ν 2 ( 1 − q ν + 1 ) / z + q ν + 1 2 ( 1 − q ν + 2 ) / z + ⋱ . {\displaystyle {\frac {I_{\nu }^{(2)}(z;q)}{I_{\nu -1}^{(2)}(z;q)}}={\cfrac {1}{2(1-q^{\nu })/z+{\cfrac {q^{\nu }}{2(1-q^{\nu +1})/z+{\cfrac {q^{\nu +1}}{2(1-q^{\nu +2})/z+\ddots }}}}}}.}
Representaciones alternativas
Representaciones hipergeométricas La funciónI ν ( 2 ) ( z ; q ) {\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)} Ismail y Zhang (2018b) ):
I ν ( 2 ) ( z ; q ) = ( z / 2 ) ν ( q , q ) ∞ 1 ϕ 1 ( z 2 / 4 ; 0 ; q , q ν + 1 ) . {\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{(q,q)_{\infty }}}{}_{1}\phi _{1}(z^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}).}
Representaciones integrales Las funciones q -Bessel modificadas tienen las siguientes representaciones integrales ( Ismail (1981) ):
I ν ( 2 ) ( z ; q ) = ( z 2 / 4 ; q ) ∞ ( 1 π ∫ 0 π porque ν θ d θ ( mi i θ z / 2 ; q ) ∞ ( mi − i θ z / 2 ; q ) ∞ − pecado ν π π ∫ 0 ∞ mi − ν t d t ( − mi t z / 2 ; q ) ∞ ( − mi − t z / 2 ; q ) ∞ ) , {\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)=\left(z^{2}/4;q\right)_{\infty }\left({\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \nu \theta \,d\theta }{\left(e^{i\theta }z/2;q\right)_{\infty }\left(e^{-i\theta }z/2;q\right)_{\infty }}}-{\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t}z/2;q\right)_{\infty }}}\right),} K ν ( 1 ) ( z ; q ) = 1 2 ∫ 0 ∞ mi − ν t d t ( − mi t / 2 z / 2 ; q ) ∞ ( − mi − t / 2 z / 2 ; q ) ∞ , | arg z | < π / 2 , {\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}},\ |\arg z|<\pi /2,} K ν ( 1 ) ( z ; q ) = ∫ 0 ∞ aporrear ν d t ( − mi t / 2 z / 2 ; q ) ∞ ( − mi − t / 2 z / 2 ; q ) ∞ . {\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh \nu \,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}}.}
Referencias Chen, Yang; Ismail, Mourad EH; Muttalib, KA (1994), "Asintótica de las funciones básicas de Bessel y los polinomios q -Laguerre", Journal of Computational and Applied Mathematics , 54 (3): 263– 272, doi : 10.1016/0377-0427(92)00128-v Gasper, G.; Rahman, M. (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 96 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , MR 2128719 Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten 2 ( 1– 2): 4– 34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN 0025-584X , MR 0030647 Ismail, Mourad EH (1981), "Las funciones y polinomios básicos de Bessel", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 12 (3): 454– 468, doi : 10.1137/0512038Ismail, Mourad EH (1982), "Los ceros de las funciones básicas de Bessel, las funciones J ν+ ax ( x ), y los polinomios ortogonales asociados", Journal of Mathematical Analysis and Applications 86 (1): 1– 19, doi : 10.1016/0022-247X(82)90248-7 , ISSN 0022-247X , MR 0649849 Ismail, MEH; Zhang, R. (2018a), "Representaciones integrales y en serie de q -polinomios y funciones: Parte I", Análisis y aplicaciones , 16 (2): 209–281 , arXiv : 1604.08441 , doi : 10.1142/S0219530517500129 , S2CID 119142457 Ismail, MEH; Zhang, R. (2018b), " q -Funciones de Bessel e identidades de tipo Rogers-Ramanujan", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 146 (9): 3633– 3646, arXiv : 1508.06861 , doi : 10.1090/proc/13078 , S2CID 119721248 Jackson, FH (1906a), "I.—Sobre las funciones generalizadas de Legendre y Bessel", Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 41 (1): 1– 28, doi : 10.1017/S0080456800080017 Jackson, FH (1906b), "VI.—Teoremas relacionados con una generalización de la función de Bessel" , Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 41 (1): 105–118 , doi : 10.1017/S0080456800080078 Jackson, FH (1906c), "XVII.—Teoremas relacionados con una generalización de la función de Bessel" , Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 41 (2): 399– 408, doi : 10.1017/s0080456800034475 , JFM 36.0513.02 Jackson, FH (1905a), "La aplicación de los números básicos a las funciones de Bessel y Legendre" , Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 2, 2 (1): 192– 220, doi : 10.1112/plms/s2-2.1.192 Jackson, FH (1905b), "La aplicación de los números básicos a las funciones de Bessel y Legendre (Segundo artículo)" , Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 2, 3 (1): 1– 23, doi : 10.1112/plms/s2-3.1.1 Kemp, AW (1997), "Sobre las funciones q-Bessel modificadas y algunas aplicaciones estadísticas", en N. Balakrishnan (ed.), Avances en métodos combinatorios y aplicaciones a la probabilidad y la estadística , pp. 451–463 , doi : 10.1007/978-1-4612-4140-9_27 , ISBN 978-1-4612-4140-9 , S2CID 124998083 Koelink, HT (1993), "Relaciones de ortogonalidad de Hansen-Lommel para las funciones q -Bessel de Jackson", Journal of Mathematical Analysis and Applications 175 (2): 425–437 , doi : 10.1006/jmaa.1993.1181 Olshanetsky, MA; Rogov, VB (1995), "Las funciones q -Bessel modificadas y las funciones q -Bessel-Macdonald", arXiv : q-alg/9509013 Rahman, M. (1987), "Una representación integral y algunas propiedades de transformación de las funciones q -Bessel", Journal of Mathematical Analysis and Applications 125 : 58–71 , doi : 10.1016/0022-247x(87)90164-8Zhang, R. (2006), "Asintótica de Plancherel-Rotach para q- series", arXiv : math/0612216 
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![{\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\derecha).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17438ed54797c32a49c6463065678d5e9bd06548)
