Series hipergeométricas básicas

En matemáticas , las series hipergeométricas básicas , o series q -hipergeométricas , son generalizaciones q -análogas de las series hipergeométricas generalizadas , y a su vez son generalizadas por las series hipergeométricas elípticas . Una serie x _n se denomina hipergeométrica si la razón entre términos sucesivos x _{n +1} / x _n es una función racional de n . Si la razón entre términos sucesivos es una función racional de q ⁿ , entonces la serie se denomina serie hipergeométrica básica. El número q se denomina base.

La serie hipergeométrica básica${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}$Fue considerada por primera vez por Eduard Heine ( 1846 ) . Se convierte en la serie hipergeométrica. ${\displaystyle F(\alfa,\beta$ ;\gamma ;x)} en el límite cuando la base${\displaystyle q=1}$.

Existen dos formas de series hipergeométricas básicas: la serie hipergeométrica básica unilateral φ y la serie hipergeométrica básica bilateral más general ψ. La serie hipergeométrica básica unilateral se define como

${\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+kj}z^{n}}$

dónde

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

y

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

es el factorial desplazado q . El caso especial más importante es cuando j = k + 1, cuando se convierte en

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

Esta serie se llama equilibrada si a ₁ ... a _{k + 1} = b ₁ ... b _k q . Esta serie se llama bien equilibrada si a ₁ q = a ₂ b ₁ = ... = a _{k + 1} b _k , y muy bien equilibrada si además a ₂ = − a ₃ = qa ₁ ^1/2 . La serie hipergeométrica básica unilateral es un q-análogo de la serie hipergeométrica ya que

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+kj}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}$

se cumple ( Koekoek y Swarttouw (1996) ). La serie hipergeométrica básica bilateral , correspondiente a la serie hipergeométrica bilateral , se define como

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{kj}z^{n}.}$

El caso especial más importante es cuando j = k , cuando se convierte en

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

La serie unilateral se puede obtener como un caso especial de la bilateral haciendo que una de las variables b sea igual a q , al menos cuando ninguna de las variables a es una potencia de q , ya que todos los términos con n < 0 se anulan entonces.

Algunas expresiones de series simples incluyen:

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

y

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

y

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

El teorema q -binomial (publicado por primera vez en 1811 por Heinrich August Rothe ) ^{[ 1 ] [ 2 ]} establece que $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}.}$$ Se puede demostrar aplicando repetidamente la identidad. $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$$ Cuando${\textstyle a=q^{-N}}$es una potencia entera negativa de q , la suma hipergeométrica es finita y se recupera la forma finita. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}$$ del teorema q -binomial (también conocido a veces como teorema binomial de Cauchy). ^{[ 3 ]} Aquí${\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}$es un coeficiente q -binomial .

El caso especial de a  =  0 está estrechamente relacionado con la q -exponencial .

Srinivasa Ramanujan le dio la identidad $${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$$ válido para | q | < 1 y | b / a | < | z | < 1. Identidades similares para      ${\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}$Bailey ha dado estas identidades. Se pueden entender como generalizaciones del teorema del triple producto de Jacobi , que se puede escribir usando series q como

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

Gwynneth Coogan y Ken Ono dan una serie de potencias formal relacionada ^{[ 4 ].}

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

Como análogo de la integral de Barnes para la serie hipergeométrica, Watson demostró que

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

donde los polos de${\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}$se encuentran a la izquierda del contorno y los polos restantes se encuentran a la derecha. Hay una integral de contorno similar para _{r +1} φ _r . Esta integral de contorno da una continuación analítica de la función hipergeométrica básica en z .

La función básica de la matriz hipergeométrica se puede definir de la siguiente manera:

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

La prueba de la razón muestra que esta función matricial es absolutamente convergente . ^{[ 5 ]}

• La identidad de Dixon
• Identidades Rogers-Ramanujan

• Andrews, GE (2010), "q-Hypergeometric and Related Functions" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• WN Bailey, Series hipergeométricas generalizadas , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• William YC Chen y Amy Fu, Formas semifinitas de series hipergeométricas básicas bilaterales (2004)
• Exton , H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• Sylvie Corteel y Jeremy Lovejoy, Particiones de Frobenius y la combinatoria de Ramanujan${\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}$Suma
• Fine, Nathan J. (1988), Series hipergeométricas básicas y aplicaciones , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  27, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1524-3, SR 0956465 
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol.  96 (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719 
• Heine, Eduard (1846), "Über die Reihe${\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots }$" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 210-212
• Victor Kac , Pokman Cheung, Cálculo cuántico , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996). El esquema Askey de polinomios ortogonales y sus q-análogos (Informe). Universidad Técnica de Delft. nº 98-17.Sección 0.2
• Andrews, GE, Askey, R. y Roy, R. (1999). Funciones especiales, Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, volumen 71, Cambridge University Press .
• Eduard Heine , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , págs. 97-125.
• Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlín.

• Weisstein, Eric W. "Función q-hipergeométrica" . MathWorld .