seno y coseno

Para definir el seno y el coseno de un ángulo agudo${\displaystyle \alpha }$, comienza con un triángulo rectángulo que contiene un ángulo de medida${\displaystyle \alpha }$; en la figura adjunta, ángulo${\displaystyle \alpha }$en un triángulo rectángulo${\displaystyle ABC}$es el ángulo de interés. Los tres lados del triángulo se nombran de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

• El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo de interés; en este caso, es${\displaystyle a}$.
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto; en este caso, es${\displaystyle h}$La hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo.
• El lado adyacente es el lado restante; en este caso, es${\displaystyle b}$. Forma un lado de (y es adyacente a) tanto el ángulo de interés como el ángulo recto.

Una vez elegido dicho triángulo, el seno del ángulo es igual a la longitud del lado opuesto dividida por la longitud de la hipotenusa, y el coseno del ángulo es igual a la longitud del lado adyacente dividida por la longitud de la hipotenusa: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.}$$

Las demás funciones trigonométricas del ángulo se pueden definir de manera similar; por ejemplo, la tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, o equivalentemente, la razón entre las funciones seno y coseno. El recíproco del seno es la cosecante, que da la razón entre la longitud de la hipotenusa y la del cateto opuesto. De manera similar, el recíproco del coseno es la secante, que da la razón entre la longitud de la hipotenusa y la del cateto adyacente. La función cotangente es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, el recíproco de la función tangente. Estas funciones se pueden formular como: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{adjacent}}{\text{opposite}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}.\end{aligned}}}$$

Como se indicó, los valores${\displaystyle \sin(\alpha )}$y${\displaystyle \cos(\alpha )}$parecen depender de la elección de un triángulo rectángulo que contenga un ángulo de medida${\displaystyle \alpha }$Sin embargo, este no es el caso, ya que todos esos triángulos son semejantes , y por lo tanto las proporciones son las mismas para cada uno de ellos. Por ejemplo, cada cateto del triángulo rectángulo 45-45-90 mide 1 unidad, y su hipotenusa es${\displaystyle {\sqrt {2}}}$; por lo tanto,${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$. ^{[ 2 ]} La siguiente tabla muestra el valor especial de cada entrada para seno y coseno con el dominio entre${\textstyle 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}}$La entrada en esta tabla proporciona varios sistemas de unidades como grados, radianes, etc. Los ángulos distintos de esos cinco se pueden obtener utilizando una calculadora. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos de un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. ^{[ 5 ]} Dado un triángulo${\displaystyle ABC}$con lados${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$y ángulos opuestos a esos lados${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$, y${\displaystyle \gamma }$La ley establece: $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$ Esto es equivalente a la igualdad de las tres primeras expresiones que aparecen a continuación: $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$ dónde${\displaystyle R}$es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo .

La ley de los cosenos es útil para calcular la longitud de un lado desconocido si se conocen otros dos lados y un ángulo. ^{[ 5 ]} La ley establece: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$ En el caso donde${\displaystyle \gamma =\pi /2}$de cuál${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$, la ecuación resultante se convierte en el teorema de Pitágoras . ^{[ 6 ]}

El producto vectorial y el producto escalar son operaciones sobre dos vectores en el espacio vectorial euclidiano . Las funciones seno y coseno se pueden definir en términos del producto vectorial y el producto escalar. Si${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$son vectores y${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$, entonces el seno y el coseno se pueden definir como: ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}.\end{aligned}}}$$

Las funciones seno y coseno también pueden definirse de una manera más general utilizando el círculo unitario , un círculo de radio uno centrado en el origen.${\displaystyle (0,0)}$, formulada como la ecuación de${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$en el sistema de coordenadas cartesianas . Un rayo desde el origen forma un ángulo de${\displaystyle \theta }$con la mitad positiva de la${\displaystyle x}$- El eje interseca el círculo unitario en un único punto.${\displaystyle x}$- y${\displaystyle y}$- las coordenadas de este punto de intersección son iguales a${\displaystyle \cos(\theta )}$y${\displaystyle \sin(\theta )}$, respectivamente; es decir, ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

Esta definición es consistente con la definición de seno y coseno del triángulo rectángulo cuando${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$porque la longitud de la hipotenusa del círculo unitario siempre es 1; matemáticamente hablando, el seno de un ángulo es igual al lado opuesto del triángulo, que es simplemente el${\displaystyle y}$- coordenada. Se puede hacer un argumento similar para la función coseno para demostrar que el coseno de un ángulo cuando${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$, incluso bajo la nueva definición que utiliza el círculo unitario. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Gráfica de una función y sus propiedades elementales

Utilizar la definición del círculo unitario tiene la ventaja de poder dibujar la gráfica de las funciones seno y coseno. Esto se puede hacer girando en sentido antihorario un punto a lo largo de la circunferencia de un círculo, dependiendo de la entrada.${\displaystyle \theta >0}$. En una función seno, si la entrada es${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$, el punto se gira en sentido contrario a las agujas del reloj y se detiene exactamente en el${\displaystyle y}$- eje. Si${\displaystyle \theta =\pi }$, el punto está en el punto medio del círculo. Si${\displaystyle \theta =2\pi }$, el punto regresa a su origen. Esto da como resultado que tanto las funciones seno como coseno tengan el rango entre${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$. ^{[ 12 ]}

Extendiendo el ángulo a cualquier dominio real, el punto giró continuamente en sentido contrario a las agujas del reloj. Esto también se puede hacer de manera similar para la función coseno, aunque el punto se gira inicialmente desde el${\displaystyle y}$- coordenada. En otras palabras, tanto las funciones seno como coseno son periódicas , lo que significa que cualquier ángulo sumado a la circunferencia del círculo es el ángulo mismo. Matemáticamente, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=\sin(\theta ),\\\cos(\theta +2\pi )&=\cos(\theta ).\end{aligned}}}$$

Una función${\displaystyle f}$Se dice que es extraño si${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$y se dice que es incluso si${\displaystyle f(-x)=f(x)}$. La función seno es impar, mientras que la función coseno es par. ^{[ 14 ]} Tanto la función seno como la función coseno son similares, y su diferencia se desplaza en${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$Este cambio de fase se puede expresar como $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right),\\\cos(\theta )&=\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Esto es distinto de las identidades de cofunción que siguen a continuación, las cuales surgen de la geometría del triángulo rectángulo y no son cambios de fase: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

El cero es el único punto fijo real de la función seno; en otras palabras, la única intersección de la función seno y la función identidad es${\displaystyle \sin(0)=0}$El único punto fijo real de la función coseno se llama número de Dottie . El número de Dottie es la única raíz real de la ecuación.${\displaystyle \cos(x)=x}$. La expansión decimal del número de Dottie es aproximadamente 0,739085. ^{[ 16 ]}

Continuidad y diferenciación

Las funciones seno y coseno son infinitamente diferenciables. ^{[ 17 ]} La derivada del seno es el coseno, y la derivada del coseno es el seno negativo: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$ Continuar el proceso en derivadas de orden superior da como resultado las mismas funciones repetidas; la cuarta derivada de un seno es el seno mismo. ^{[ 17 ]} Estas derivadas se pueden aplicar a la prueba de la primera derivada , según la cual la monotonicidad de una función se puede definir como la desigualdad de la primera derivada de la función mayor o menor o igual a cero. ^{[ 19 ]} También se puede aplicar a la prueba de la segunda derivada , según la cual la concavidad de una función se puede definir aplicando la desigualdad de la segunda derivada de la función mayor o menor o igual a cero. ^{[ 20 ]} La siguiente tabla muestra que tanto las funciones seno como coseno tienen concavidad y monotonicidad : el signo positivo (${\displaystyle +}$) denota que un gráfico es creciente (ascendente) y el signo negativo (${\displaystyle -}$) está disminuyendo (yendo hacia abajo) — en ciertos intervalos. ^{[ 3 ]} Esta información se puede representar como un sistema de coordenadas cartesianas dividido en cuatro cuadrantes.

Tanto las funciones seno como coseno pueden definirse mediante ecuaciones diferenciales. El par de${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$es la solución${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$al sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$y${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$con las condiciones iniciales${\displaystyle y(0)=0}$y${\displaystyle x(0)=1}$En las definiciones anteriores, el círculo unitario podría interpretarse como la trayectoria en el espacio de fases de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas. Puede interpretarse como la trayectoria en el espacio de fases del sistema de ecuaciones diferenciales.${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$y${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$Partiendo de las condiciones iniciales${\displaystyle y(0)=0}$y${\displaystyle x(0)=1}$.

Funciones inversas

Las funciones${\textstyle \sin$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } y${\displaystyle \cos$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } (así como aquellas funciones con la misma regla de función y dominio cuyo codominio es un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} }$que contiene el intervalo${\displaystyle \left[-1,1\right]}$) no son biyectivas y, por lo tanto, no tienen funciones inversas. Por ejemplo,${\displaystyle \sin(0)=0}$pero también${\displaystyle \sin(\pi )=0}$, ${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$. La "inversa" del seno, llamada arcoseno, puede describirse entonces no como una función sino como una relación (por ejemplo, todos los múltiplos enteros de${\displaystyle \pi }$tendría un arcoseno de cero). Para definir las funciones inversas del seno y el coseno, deben restringirse a sus ramas principales restringiendo su dominio y codominio; las funciones estándar utilizadas para definir el arcoseno y el arcocoseno son entonces ${\displaystyle \sin$ :\left[-\pi /2,\pi /2\right]\to \left[-1,1\right]} y${\displaystyle \cos$ :\left[0,\pi \right]\to \left[-1,1\right]} . ^{[ 25 ]} Estas son biyectivas y tienen inversas:${\displaystyle \arcsin$ :\left[-1,1\right]\to \left[-\pi /2,\pi /2\right]} y${\displaystyle \arccos$ :\left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right]} . La notación alternativa es${\displaystyle \sin ^{-1}}$para arcoseno y${\displaystyle \cos ^{-1}}$para el arcocoseno.

Utilizando estas definiciones, se obtienen las funciones identidad y las ecuaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \circ \arcsin \,(x)&=\sin(\arcsin(x))=x&x&\in \left[-1,1\right],\\\arcsin \circ \sin \,(\theta )&=\arcsin(\sin(\theta ))=\theta &\theta &\in \left[-\pi /2,\pi /2\right],\end{aligned}}}$$y $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \circ \arccos \,(x)&=\cos(\arccos(x))=x&x&\in \left[-1,1\right],\\\arccos \circ \cos \,(\theta )&=\arccos(\cos(\theta ))=\theta &\theta &\in \left[0,\pi \right].\end{aligned}}}$$

Un ángulo agudo${\displaystyle \theta }$está dado por: $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{hipotenusa opuesta}}{\text{hipotenusa}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{hipotenusa adyacente}}{\text{hipotenusa}}}\right),}$$ donde para algún entero${\displaystyle k}$, $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &{\begin{cases}y={\hphantom {\pi -}}\arcsin(x)+2\pi k,&{\text{ o }}\\y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\end{cases}}\\\cos(y)=x\iff &{\begin{cases}y={\hphantom {-}}\arccos(x)+2\pi k,&{\text{ o }}\\y=-\arccos(x)+2\pi k\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Otras identidades

Según el teorema de Pitágoras , la hipotenusa al cuadrado es la suma de los catetos al cuadrado de un triángulo rectángulo. Al dividir ambos lados de la fórmula entre la hipotenusa al cuadrado, se obtiene la identidad trigonométrica pitagórica , donde la suma de un seno al cuadrado y un coseno al cuadrado es igual a 1: ^{[ 26 ] [ a ]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

El seno y el coseno satisfacen las siguientes fórmulas de ángulo doble: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

La fórmula del ángulo doble del coseno implica que sen ² y cos ² son, en sí mismos, ondas sinusoidales desplazadas y escaladas. Específicamente, ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$ La gráfica muestra las funciones seno y seno al cuadrado, representadas en azul y rojo, respectivamente. Ambas gráficas tienen la misma forma, pero con rangos de valores y periodos diferentes. El seno al cuadrado solo presenta valores positivos, pero con el doble de periodos.

Tanto las funciones seno como coseno se pueden definir mediante una serie de Taylor , una serie de potencias que involucra derivadas de orden superior. Como se mencionó en §  Continuidad y diferenciación , la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el negativo del seno. Esto significa que las derivadas sucesivas de${\displaystyle \sin(x)}$son${\displaystyle \cos(x)}$,${\displaystyle -\sin(x)}$,${\displaystyle -\cos(x)}$,${\displaystyle \sin(x)}$, continuando repitiendo esas cuatro funciones. El${\displaystyle (4n+k)}$- derivada de orden n, evaluada en el punto 0: $${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$ donde el superíndice representa la diferenciación repetida. Esto implica la siguiente expansión en serie de Taylor en${\displaystyle x=0}$. Entonces se puede utilizar la teoría de las series de Taylor para demostrar que las siguientes identidades se cumplen para todos los números reales.${\displaystyle x}$- dónde${\displaystyle x}$es el ángulo en radianes. ^{[ 29 ]} De manera más general, para todos los números complejos : ^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ Al derivar cada término se obtiene la serie de Taylor para el coseno: ^{[ 29 ] [ 30 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

Las funciones seno y coseno con múltiples ángulos pueden aparecer como su combinación lineal , dando como resultado un polinomio. Dicho polinomio se conoce como polinomio trigonométrico . Las amplias aplicaciones del polinomio trigonométrico se pueden obtener en su interpolación y en su extensión de una función periódica conocida como serie de Fourier .${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle b_{n}}$sean cualesquiera coeficientes, entonces el polinomio trigonométrico de grado${\displaystyle N}$— denotado como${\displaystyle T(x)}$— se define como: ^{[ 31 ] [ 32 ]}$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

La serie trigonométrica se puede definir de forma análoga al polinomio trigonométrico, su inversión infinita. Sea${\displaystyle A_{n}}$y${\displaystyle B_{n}}$sean cualesquiera coeficientes, entonces la serie trigonométrica se puede definir como: ^{[ 33 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$ En el caso de una serie de Fourier con una función integrable dada${\displaystyle f}$, los coeficientes de una serie trigonométrica son: ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

Tanto el seno como el coseno pueden extenderse aún más mediante números complejos , un conjunto de números compuesto por números reales e imaginarios . Para números reales${\displaystyle \theta }$, la definición de las funciones seno y coseno se puede extender en un plano complejo en términos de una función exponencial de la siguiente manera: ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

Alternativamente, ambas funciones pueden definirse en términos de la fórmula de Euler : ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

Cuando se representa en el plano complejo , la función${\displaystyle e^{ix}}$para valores reales de${\displaystyle x}$traza el círculo unitario en el plano complejo. Tanto las funciones seno como coseno pueden simplificarse a las partes imaginaria y real de${\displaystyle e^{i\theta }}$como: ^{[ 36 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

Cuando${\displaystyle z=x+iy}$para valores reales${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, dónde${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$, tanto las funciones seno como coseno pueden expresarse en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales como: ^{[ 37 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

El seno y el coseno se utilizan para relacionar las partes real e imaginaria de un número complejo con sus coordenadas polares.${\displaystyle (r,\theta )}$: $${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))=r\cos(\theta )+ir\sin(\theta ),}$$ y las partes reales e imaginarias son $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle r}$y${\displaystyle \theta }$representan la magnitud y el ángulo del número complejo${\displaystyle z}$. ^{[ 38 ]}

Para cualquier número real${\displaystyle \theta }$La fórmula de Euler en términos de coordenadas polares se enuncia como:${\textstyle z=re^{i\theta }}$. ^{[ 35 ]}

Aplicando la definición en serie del seno y el coseno a un argumento complejo,${\displaystyle z}$, da: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \sinh }$y${\displaystyle \cosh }$son el seno y el coseno hiperbólicos . Estas son funciones enteras .

También resulta útil en ocasiones expresar las funciones seno y coseno complejas en términos de las partes real e imaginaria de su argumento: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$$

• Función seno en el plano complejo
• 
  Componente real
• 
  Componente imaginario
• 
  Magnitud

• Función arcoseno en el plano complejo
• 
  Componente real
• 
  Componente imaginario
• 
  Magnitud

La palabra seno deriva, indirectamente, de la palabra sánscrita jyā 'cuerda de arco' o, más específicamente, de su sinónimo jīvá (ambas adoptadas del griego antiguo χορδή 'cuerda; cuerda'), debido a la similitud visual entre el arco de un círculo con su cuerda correspondiente y un arco con su cuerda (véase jyā, koti-jyā y utkrama-jyā ; seno y cuerda están estrechamente relacionados en un círculo de diámetro unitario, véase el Teorema de Ptolomeo ). Esto se transliteró al árabe como jība , que carece de significado en ese idioma y se escribió como jb ( جب ). Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas, jb se interpretó como el homógrafo jayb ( جيب ), que significa 'seno', 'bolsillo' o 'pliegue'. ^{[ 40 ] [ 41 ]} Cuando los textos árabes de Al-Battani y al-Khwārizmī fueron traducidos al latín medieval en el siglo XII por Gerardo de Cremona , utilizó el equivalente latino sinus (que también significa 'bahía' o 'pliegue', y más específicamente 'el pliegue colgante de una toga sobre el pecho'). ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} Gerardo probablemente no fue el primer erudito en utilizar esta traducción; Robert de Chester parece haberlo precedido y hay evidencia de un uso aún más antiguo. ^{[ 45 ] [ 46 ]} La forma inglesa sine fue introducida en la Horologiographia de Thomas Fale de 1593. ^{[ 47 ]}

La palabra coseno deriva de una abreviatura del latín complementi sinus 'sino del ángulo complementario ' como cosinus en el Canon triangulorum de Edmund Gunter (1620), que también incluye una definición similar de cotangens . ^{[ 48 ]}

Si bien los primeros estudios de trigonometría se remontan a la antigüedad, las funciones trigonométricas tal como se utilizan hoy en día se desarrollaron en la Edad Media. La función de cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). ^{[ 49 ]}

Las funciones seno y coseno están estrechamente relacionadas con las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta ( Aryabhatiya y Surya Siddhanta ), a través de la traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^{[ 42 ] [ 50 ]}

Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^{[ 51 ]} Al-Juarismí (c. 780–850) elaboró ​​tablas de senos, cosenos y tangentes. ^{[ 52 ] [ 53 ]} Muhammad ibn Jabir al-Harraní al-Bataní (853–929) descubrió las funciones recíprocas de la secante y la cosecante, y elaboró ​​la primera tabla de cosecantes para cada grado desde 1° hasta 90°. ^{[ 53 ]}

A principios del siglo XVII, el matemático francés Albert Girard publicó el primer uso de las abreviaturas seno , coseno y tangente ; Euler las popularizó posteriormente (véase más abajo). El Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus , discípulo de Copérnico , fue probablemente el primero en Europa en definir las funciones trigonométricas directamente en términos de triángulos rectángulos en lugar de círculos, con tablas para las seis funciones trigonométricas; esta obra fue finalizada por Valentin Otho, discípulo de Rheticus, en 1596.

En un artículo publicado en 1682, Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^{[ 54 ]} Roger Cotes calculó la derivada del seno en su Harmonia Mensurarum (1722). ^{[ 55 ]} La Introductio in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fue la principal responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas también como series infinitas y presentando la " fórmula de Euler ", así como las abreviaturas casi modernas sen. , cos. , tan. , cot. , sec. y cosec. ^{[ 42 ]}

Algunas bibliotecas de software proporcionan implementaciones de seno y coseno utilizando el ángulo de entrada en medias vueltas , siendo media vuelta un ángulo de 180 grados o${\displaystyle \pi }$radianes. Representar ángulos en vueltas o medias vueltas tiene ventajas de precisión y, en algunos casos, ventajas de eficiencia. ^{[ 57 ] [ 58 ]} Estas funciones se llaman sinpiy cospien Fortran, ^{[ 59 ]} MATLAB, ^{[ 57 ]} OpenCL , ^{[ 60 ]} R, ^{[ 58 ]} Julia, ^{[ 61 ]} CUDA , ^{[ 62 ]} y ARM. ^{[ 63 ]} Por ejemplo, sinpi(x)se evaluaría como${\displaystyle \sin(\pi x),}$dónde${\displaystyle x}$se expresa en medias vueltas y, en consecuencia, la entrada final a la función, π x, puede interpretarse en radianes mediante sin . SciPy proporciona funciones similares sindgy cosdgcon entrada en grados, ^{[ 64 ]} como lo hace Fortran ^{[ 59 ]} pero con nombres sindy cosd.

La ventaja en precisión proviene de la capacidad de representar perfectamente ángulos clave como giro completo, medio giro y cuarto de giro sin pérdida en punto flotante binario o punto fijo. En contraste, la representación${\displaystyle 2\pi }$,${\displaystyle \pi }$, y${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$En el caso de los números binarios de coma flotante o de coma fija escalada binariamente, siempre se produce una pérdida de precisión, ya que los números irracionales no pueden representarse con un número finito de dígitos binarios.

Los giros también tienen una ventaja de precisión y una ventaja de eficiencia para calcular el módulo a un período. El cálculo del giro módulo 1 o de los medios giros módulo 2 se puede calcular sin pérdidas y de manera eficiente tanto en punto flotante como en punto fijo. Por ejemplo, calcular el módulo 1 o el módulo 2 para un valor de punto fijo escalado en un punto binario requiere solo un desplazamiento de bits o una operación AND bit a bit. En contraste, calcular el módulo${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$implica imprecisiones en la representación${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Para aplicaciones que involucran sensores de ángulo, el sensor normalmente proporciona mediciones de ángulo en un formato directamente compatible con vueltas o medias vueltas. Por ejemplo, un sensor de ángulo puede contar de 0 a 4096 en una revolución completa. ^{[ 65 ]} Si se utilizan medias vueltas como unidad para el ángulo, entonces el valor proporcionado por el sensor se asigna directa y sin pérdidas a un tipo de datos de punto fijo con 11 bits a la derecha del punto binario. Por el contrario, si se utilizan radianes como unidad para almacenar el ángulo, entonces las imprecisiones y el costo de multiplicar el entero bruto del sensor por una aproximación a${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$se incurriría.