Prueba de derivada

En cálculo , una prueba de derivadas utiliza las derivadas de una función para localizar sus puntos críticos y determinar si cada punto es un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Las pruebas de derivadas también pueden proporcionar información sobre la concavidad de una función.

La utilidad de las derivadas para encontrar extremos queda demostrada matemáticamente por el teorema de Fermat sobre los puntos estacionarios .

La prueba de la primera derivada examina las propiedades monótonas de una función (es decir, si es creciente o decreciente), centrándose en un punto específico de su dominio . Si la función cambia de creciente a decreciente en ese punto, alcanzará su valor máximo. Del mismo modo, si cambia de decreciente a creciente, alcanzará su valor mínimo. Si la función no cambia de comportamiento y permanece creciente o decreciente, no se alcanza ningún valor máximo ni mínimo.

Es posible analizar la monotonicidad de una función sin utilizar cálculo diferencial. Sin embargo, el cálculo diferencial suele ser útil, ya que existen condiciones suficientes que garantizan las propiedades de monotonicidad mencionadas anteriormente, y estas condiciones se aplican a la gran mayoría de las funciones que uno podría encontrar.

Dicho con precisión, supongamos que f es una función de valores reales definida en algún intervalo abierto que contiene el punto x y supongamos además que f es continua en x .

• Si existe un número positivo r  > 0 tal que f es débilmente creciente en ( x − r , x ] y débilmente decreciente en [ x , x + r ) , entonces f tiene un máximo local en x .
• Si existe un número positivo r  > 0 tal que f es estrictamente creciente en ( x − r , x ] y estrictamente creciente en [ x , x + r ) , entonces f es estrictamente creciente en ( x − r , x + r ) y no tiene un máximo o mínimo local en x .

Nótese que, en el primer caso, no es necesario que f sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente a la izquierda o a la derecha de x , mientras que en el último caso, sí es necesario que lo sea. Esto se debe a que, en la definición de máximo y mínimo local, la desigualdad no tiene por qué ser estricta: por ejemplo, cualquier valor de una función constante se considera tanto un máximo local como un mínimo local.

La prueba de la primera derivada depende de la "prueba de crecimiento-decrecimiento", que a su vez es una consecuencia del teorema del valor medio . Es una consecuencia directa de la forma en que se define la derivada y su conexión con el decrecimiento y el crecimiento local de una función, en combinación con la sección anterior.

Supongamos que f es una función de valor real de una variable real definida en algún intervalo que contiene el punto crítico a . Supongamos además que f es continua en a y diferenciable en algún intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en el propio a .

• Si existe un número positivo r  > 0 tal que para cada x en ( a − r , a ) tenemos f ′ ( x ) ≥ 0, y para cada x en ( a , a + r ) tenemos f ′ ( x ) ≤ 0, entonces f tiene un máximo local en a .
• Si existe un número positivo r  > 0 tal que para cada x en ( a − r , a ) tenemos f ′ ( x ) ≤ 0, y para cada x en ( a , a + r ) tenemos f ′ ( x ) ≥ 0, entonces f tiene un mínimo local en a .
• Si existe un número positivo r  > 0 tal que para cada x en ( a − r , a ) ∪ ( a , a + r ) tenemos f ′ ( x ) > 0, entonces f es estrictamente creciente en a y no tiene ni un máximo local ni un mínimo local allí.
• Si no se cumple ninguna de las condiciones anteriores, la prueba falla. (Tal condición no es trivial ; existen funciones que no satisfacen ninguna de las tres primeras condiciones, por ejemplo, f ( x ) = x ² sin(1/ x )).

Nuevamente, en consonancia con los comentarios de la sección sobre propiedades de monotonicidad, observe que en los dos primeros casos no es necesario que la desigualdad sea estricta, mientras que en el tercero sí se requiere una desigualdad estricta.

El criterio de la primera derivada es útil para resolver problemas de optimización en física, economía e ingeniería. Junto con el teorema del valor extremo , permite hallar el máximo y el mínimo absolutos de una función real definida en un intervalo cerrado y acotado . Además, con información como la concavidad, los puntos de inflexión y las asíntotas , permite trazar la gráfica de una función.

Después de establecer los puntos críticos de una función, la prueba de la segunda derivada utiliza el valor de la segunda derivada en esos puntos para determinar si dichos puntos son un máximo local o un mínimo local. ^{[ 1 ]} Si la función f es dos veces diferenciable en un punto crítico x (es decir, un punto donde f ′ ( x ) = 0), entonces:

• Si , entonces tiene un máximo local en .${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Si , entonces tiene un mínimo local en .${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Si es así , la prueba no es concluyente.${\displaystyle f''(x)=0}$

En el último caso, el teorema de Taylor puede utilizarse a veces para determinar el comportamiento de f cerca de x utilizando derivadas de orden superior .

Supongamos que tenemos (la demostración para es análoga). Por hipótesis, . Entonces ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f'(x)=0}$

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

Por lo tanto, para h suficientemente pequeño obtenemos

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0,}$

lo que significa que si (intuitivamente, f es decreciente a medida que se acerca desde la izquierda), y que si (intuitivamente, f es creciente a medida que nos movemos hacia la derecha desde x ). Ahora, por la prueba de la primera derivada , tiene un mínimo local en . ${\displaystyle f'(x+h)<0}$${\displaystyle h<0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f'(x+h)>0}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

Un uso relacionado pero distinto de las segundas derivadas es determinar si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo en un punto. Sin embargo, no proporciona información sobre los puntos de inflexión . Específicamente, una función f dos veces diferenciable es cóncava hacia arriba si y cóncava hacia abajo si . Nótese que si , entonces tiene una segunda derivada nula, pero no es un punto de inflexión, por lo que la segunda derivada por sí sola no proporciona suficiente información para determinar si un punto dado es un punto de inflexión. ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle x=0}$

La prueba de derivada de orden superior, o prueba de derivada general, permite determinar si los puntos críticos de una función son máximos, mínimos o puntos de inflexión para una mayor variedad de funciones que la prueba de derivada de segundo orden. Como se muestra a continuación, la prueba de segunda derivada es matemáticamente idéntica al caso especial de n  = 1 en la prueba de derivada de orden superior.

Sea f una función real suficientemente diferenciable en un intervalo , sea , y sea un número natural . Además, sean cero todas las derivadas de f en c hasta la n -ésima derivada inclusive, pero con la ( n  +1)-ésima derivada distinta de cero: ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle c\in I}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{y}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

Hay cuatro posibilidades, los dos primeros casos donde c es un extremo, los dos últimos donde c es un punto de silla (local):

• Si (n+1) es par y , entonces c es un máximo local.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• Si (n+1) es par y , entonces c es un mínimo local.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$
• Si (n+1) es impar y , entonces c es un punto de inflexión estrictamente decreciente.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• Si (n+1) es impar y , entonces c es un punto de inflexión estrictamente creciente.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$

Dado que (n+1) debe ser impar o par, esta prueba analítica clasifica cualquier punto estacionario de f , siempre que aparezca una derivada distinta de cero, donde es la primera derivada distinta de cero. ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

Digamos que queremos realizar la prueba de derivada general sobre la función en el punto . Para ello, calculamos las derivadas de la función y luego las evaluamos en el punto de interés hasta que el resultado sea distinto de cero. ${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$,${\displaystyle f'(0)=0;}$

${\displaystyle f''(x)=30x^{4}}$,${\displaystyle f''(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}$,${\displaystyle f^{(3)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}$,${\displaystyle f^{(4)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(5)}(x)=720x}$,${\displaystyle f^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(6)}(x)=720}$,${\displaystyle f^{(6)}(0)=720.}$

Como se muestra arriba, en el punto , la función tiene todas sus derivadas en 0 iguales a 0, excepto la sexta derivada, que es positiva. Por lo tanto, n  = 5, y según la prueba, hay un mínimo local en 0. ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x^{6}+5}$

Para una función de más de una variable, la prueba de la segunda derivada se generaliza a una prueba basada en los autovalores de la matriz hessiana de la función en el punto crítico. En particular, suponiendo que todas las derivadas parciales de segundo orden de f son continuas en un entorno de un punto crítico x , entonces si los autovalores de la matriz hessiana en x son todos positivos, entonces x es un mínimo local. Si los autovalores son todos negativos, entonces x es un máximo local, y si algunos son positivos y otros negativos, entonces el punto es un punto de silla . Si la matriz hessiana es singular , entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente.

• Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pp.  231–267 . ISBN 0-07-010813-7.
• Marsden, Jerrold ; Weinstein, Alan (1985). Cálculo I (2.ª ed.). Nueva York: Springer. págs.  139–199 . ISBN 0-387-90974-5.
• Shockley, James E. (1976). El cálculo breve: con aplicaciones en las ciencias sociales (2.ª ed.). Nueva York: Holt, Rinehart & Winston. págs.  77–109 . ISBN 0-03-089397-6.
• Stewart, James (2008). Cálculo: Primeros trascendentales (6.ª ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Willard, Stephen (1976). Cálculo y sus aplicaciones . Boston: Prindle, Weber & Schmidt. págs.  103–145 . ISBN 0-87150-203-8.

• "Prueba de la segunda derivada" en Mathworld
• Concavidad y la prueba de la segunda derivada
• El uso que hizo Thomas Simpson del criterio de la segunda derivada para encontrar máximos y mínimos en la convergencia.