Prueba de segunda derivada parcial

La matriz hessiana aproxima la función en un punto crítico mediante un polinomio de segundo grado.

En matemáticas , la prueba de la segunda derivada parcial es un método del cálculo multivariable que se utiliza para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo local , un máximo o un punto de silla .

Supongamos que f ( x , y ) es una función real diferenciable de dos variables cuyas segundas derivadas parciales existen y son continuas . La matriz hessiana H de f es la matriz de 2 × 2 de derivadas parciales de f : $${\displaystyle H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}}.}$$

Definimos D ( x , y ) como el determinante$${\displaystyle D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}}$$ de H. Finalmente, supongamos que ( a , b ) es un punto crítico de f , es decir, que f _x ( a , b ) = f _y ( a , b ) = 0. Entonces, la prueba de la segunda derivada parcial afirma lo siguiente: ^{[ 1 ]}

1. Si D ( a , b ) > 0 y f _xx ( a , b ) > 0 entonces ( a , b ) es un mínimo local de f .
2. Si D ( a , b ) > 0 y f _xx ( a , b ) < 0 entonces ( a , b ) es un máximo local de f .
3. Si D ( a , b ) < 0 entonces ( a , b ) es un punto de silla de f .
4. Si D ( a , b ) = 0 entonces el punto ( a , b ) podría ser cualquier mínimo, máximo o punto de silla (es decir, la prueba no es concluyente).

En ocasiones se utilizan otras versiones equivalentes de la prueba. En los casos 1 y 2, el requisito de que f _xx f _yy − f _xy ² sea positivo en ( x , y ) implica que f _xx y f _yy tienen el mismo signo en ese punto. Por lo tanto, la segunda condición, que f _xx sea mayor (o menor) que cero, podría ser equivalente a que f _yy o tr( H ) = f _xx + f _yy sea mayor (o menor) que cero en ese punto.

Una condición implícita en el enunciado de la prueba es que si${\displaystyle f_{xx}=0}$o${\displaystyle f_{yy}=0}$, debe ser el caso que${\displaystyle D(a,b)\leq 0,}$y por lo tanto, solo son posibles los casos 3 o 4.

Para una función f de tres o más variables, existe una generalización de la regla mostrada anteriormente. En este contexto, en lugar de examinar el determinante de la matriz hessiana, se deben observar los valores propios de la matriz hessiana en el punto crítico. La siguiente prueba se puede aplicar en cualquier punto crítico a para el cual la matriz hessiana sea invertible :

1. Si la matriz hessiana es definida positiva (equivalentemente, tiene todos los valores propios positivos) en a , entonces f alcanza un mínimo local en a .
2. Si la matriz hessiana es definida negativa (equivalentemente, tiene todos los valores propios negativos) en a , entonces f alcanza un máximo local en a .
3. Si la matriz hessiana tiene valores propios tanto positivos como negativos, entonces a es un punto de silla para f (y de hecho esto es cierto incluso si a es degenerada).

En los casos no mencionados anteriormente, la prueba no es concluyente. ^{[ 2 ]}

Para funciones de tres o más variables, el determinante de la matriz hessiana no proporciona suficiente información para clasificar el punto crítico, ya que el número de condiciones de segundo orden conjuntamente suficientes es igual al número de variables, y la condición de signo sobre el determinante de la matriz hessiana es solo una de las condiciones. Nótese que, en el caso de una variable, la condición de la matriz hessiana simplemente proporciona la prueba habitual de la segunda derivada .

En el caso de dos variables,${\displaystyle D(a,b)}$y${\displaystyle f_{xx}(a,b)}$son los menores principales de la matriz hessiana. Las dos primeras condiciones enumeradas anteriormente sobre los signos de estos menores son las condiciones para la definición positiva o negativa de la matriz hessiana. Para el caso general de un número arbitrario n de variables, hay n condiciones de signo sobre los n menores principales de la matriz hessiana que, en conjunto, son equivalentes a la definición positiva o negativa de la matriz hessiana ( criterio de Sylvester ): para un mínimo local, todos los menores principales deben ser positivos, mientras que para un máximo local, los menores con un número impar de filas y columnas deben ser negativos y los menores con un número par de filas y columnas deben ser positivos. Véase Matriz hessiana#Hessiana con borde para una discusión que generaliza estas reglas al caso de optimización con restricciones de igualdad.

Encontrar y clasificar los puntos críticos de la función

${\displaystyle z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})}$,

Primero establecemos las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)}$y${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)}$

igualar a cero y resolver simultáneamente las ecuaciones resultantes para encontrar los cuatro puntos críticos.

${\displaystyle (0,0),(0,-1),(1,-1)}$y${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$.

Para clasificar los puntos críticos, examinamos el valor del determinante D ( x , y ) del hessiano de f en cada uno de los cuatro puntos críticos. Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

Ahora introducimos todos los diferentes valores críticos que encontramos para etiquetarlos; tenemos

${\displaystyle D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.}$

Por lo tanto, la prueba de la segunda derivada parcial indica que f ( x , y ) tiene puntos de silla en (0, −1) y (1, −1) y tiene un máximo local en${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$desde${\displaystyle f_{xx}=-{\frac {3}{8}}<0}$En el punto crítico restante (0, 0), la prueba de la segunda derivada resulta insuficiente, y es necesario utilizar pruebas de orden superior u otras herramientas para determinar el comportamiento de la función en este punto. (De hecho, se puede demostrar que f toma valores tanto positivos como negativos en pequeños entornos alrededor de (0, 0), por lo que este punto es un punto de silla de f ).

• Segunda variación

• Stewart, James (2005). Cálculo multivariable: conceptos y contextos . Brooks/Cole. ISBN 0-534-41004-9.

• Mínimos y máximos relativos - Apuntes de matemáticas en línea de Paul - Apuntes de Cálculo III (Universidad de Lamar)
• Weisstein, Eric W. "Prueba de la segunda derivada" . MathWorld .