Prueba derivada

En cálculo , una prueba de derivadas utiliza las derivadas de una función para localizar los puntos críticos de una función y determinar si cada punto es un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Las pruebas de derivadas también pueden brindar información sobre la concavidad de una función.

La utilidad de las derivadas para encontrar extremos se demuestra matemáticamente mediante el teorema de Fermat de puntos estacionarios .

La prueba de la primera derivada examina las propiedades monótonas de una función (cuando la función es creciente o decreciente ), centrándose en un punto particular en su dominio . Si la función "cambia" de creciente a decreciente en el punto, entonces la función alcanzará un valor máximo en ese punto. De manera similar, si la función "cambia" de decreciente a creciente en el punto, entonces alcanzará un valor mínimo en ese punto. Si la función no "cambia" y permanece creciente o permanece decreciente, entonces no se alcanza ningún valor máximo o mínimo.

Se puede examinar la monotonía de una función sin cálculo. Sin embargo, el cálculo suele ser útil porque existen condiciones suficientes que garantizan las propiedades de monotonía mencionadas anteriormente, y estas condiciones se aplican a la gran mayoría de las funciones que se encontrarían.

Dicho con precisión, supongamos que f es una función de valor real definida en algún intervalo abierto que contiene el punto x y supongamos además que f es continua en x .

• Si existe un número positivo r  > 0 tal que f es débilmente creciente en ( x − r , x ] y débilmente decreciente en [ x , x + r ) , entonces f tiene un máximo local en x .
• Si existe un número positivo r  > 0 tal que f es estrictamente creciente en ( x − r , x ] y estrictamente creciente en [ x , x + r ) , entonces f es estrictamente creciente en ( x − r , x + r ) y no tiene un máximo o mínimo local en x .

Nótese que en el primer caso, no se requiere que f sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente hacia la izquierda o derecha de x , mientras que en el último caso, se requiere que f sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente. La razón es que en la definición de máximo y mínimo local, no se requiere que la desigualdad sea estricta: por ejemplo, cada valor de una función constante se considera tanto un máximo local como un mínimo local.

La prueba de la primera derivada depende de la "prueba de crecimiento-decrecimiento", que es en sí misma, en última instancia, una consecuencia del teorema del valor medio . Es una consecuencia directa de la forma en que se define la derivada y su conexión con la disminución y el aumento de una función localmente, combinada con la sección anterior.

Supóngase que f es una función de valor real de una variable real definida en algún intervalo que contiene el punto crítico a . Supóngase además que f es continua en a y diferenciable en algún intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en a mismo.

• Si existe un número positivo r  > 0 tal que para cada x en ( a − r , a ) tenemos f ′ ( x ) ≥ 0, y para cada x en ( a , a + r ) tenemos f ′ ( x ) ≤ 0, entonces f tiene un máximo local en a .
• Si existe un número positivo r  > 0 tal que para cada x en ( a − r , a ) tenemos f ′ ( x ) ≤ 0, y para cada x en ( a , a + r ) tenemos f ′ ( x ) ≥ 0, entonces f tiene un mínimo local en a .
• Si existe un número positivo r  > 0 tal que para cada x en ( a − r , a ) ∪ ( a , a + r ) tenemos f ′ ( x ) > 0, entonces f es estrictamente creciente en a y no tiene ni un máximo local ni un mínimo local allí.
• Si ninguna de las condiciones anteriores se cumple, la prueba falla. (Dicha condición no es vacía ; hay funciones que no satisfacen ninguna de las primeras tres condiciones, por ejemplo, f ( x ) = x ²  sin (1/ x )).

Nuevamente, en correspondencia con los comentarios de la sección sobre propiedades de monotonía, note que en los primeros dos casos no se requiere que la desigualdad sea estricta, mientras que en el tercero se requiere una desigualdad estricta.

La prueba de la primera derivada es útil para resolver problemas de optimización en física, economía e ingeniería. Junto con el teorema del valor extremo , se puede utilizar para encontrar el máximo y el mínimo absolutos de una función de valor real definida en un intervalo cerrado y acotado . Junto con otra información, como la concavidad, los puntos de inflexión y las asíntotas , se puede utilizar para trazar el gráfico de una función.

Después de establecer los puntos críticos de una función, la prueba de la segunda derivada utiliza el valor de la segunda derivada en esos puntos para determinar si dichos puntos son un máximo local o un mínimo local . ^[1] Si la función f es dos veces diferenciable en un punto crítico x (es decir, un punto donde f ′ ( x ) = 0), entonces:

• Si , entonces tiene un máximo local en .${\displaystyle f''(x)<0}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$
• Si , entonces tiene un mínimo local en .${\displaystyle f''(x)>0}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$
• Si , la prueba no es concluyente.${\displaystyle f''(x)=0}$

En el último caso, el teorema de Taylor puede usarse a veces para determinar el comportamiento de f cerca de x usando derivadas superiores .

Supongamos que tenemos (la prueba para es análoga). Por suposición, . Entonces ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f'(x)=0}$

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

Así, para h suficientemente pequeño obtenemos

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0,}$

lo que significa que si (intuitivamente, f disminuye a medida que se acerca desde la izquierda), y que si (intuitivamente, f aumenta a medida que nos dirigimos hacia la derecha desde x ). Ahora, por la prueba de la primera derivada , tiene un mínimo local en . ${\displaystyle f'(x+h)<0}$${\displaystyle h<0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f'(x+h)>0}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

Un uso relacionado pero distinto de las derivadas segundas es determinar si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo en un punto. Sin embargo, no proporciona información sobre los puntos de inflexión . Específicamente, una función dos veces diferenciable f es cóncava hacia arriba si y cóncava hacia abajo si . Nótese que si , entonces tiene una segunda derivada cero, pero no es un punto de inflexión, por lo que la segunda derivada por sí sola no proporciona suficiente información para determinar si un punto dado es un punto de inflexión. ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle x=0}$

La prueba de la derivada de orden superior o prueba de la derivada general permite determinar si los puntos críticos de una función son máximos, mínimos o puntos de inflexión para una variedad más amplia de funciones que la prueba de la derivada de segundo orden. Como se muestra a continuación, la prueba de la derivada de segundo orden es matemáticamente idéntica al caso especial de n  = 1 en la prueba de la derivada de orden superior.

Sea f una función de valor real suficientemente diferenciable en un intervalo , sea , y sea un número natural . Además, sean todas las derivadas de f en c cero hasta la derivada n -ésima incluida, pero con la derivada ( n  + 1)ésima distinta de cero: ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle c\in I}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

Hay cuatro posibilidades, los dos primeros casos donde c es un extremo, los dos segundos donde c es un punto de silla (local):

• Si n es impar y , entonces c es un máximo local.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• Si n es impar y , entonces c es un mínimo local.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$
• Si n es par y , entonces c es un punto de inflexión estrictamente decreciente.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• Si n es par y , entonces c es un punto de inflexión estrictamente creciente.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$

Dado que n debe ser par o impar, esta prueba analítica clasifica cualquier punto estacionario de f , siempre que eventualmente aparezca una derivada distinta de cero.

Digamos que queremos realizar la prueba de derivada general de la función en el punto . Para ello, calculamos las derivadas de la función y luego las evaluamos en el punto de interés hasta que el resultado sea distinto de cero. ${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$,${\displaystyle f'(0)=0;}$

${\displaystyle f''(x)=30x^{4}}$,${\displaystyle f''(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}$,${\displaystyle f^{(3)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}$,${\displaystyle f^{(4)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(5)}(x)=720x}$,${\displaystyle f^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(6)}(x)=720}$,${\displaystyle f^{(6)}(0)=720.}$

Como se muestra arriba, en el punto , la función tiene todas sus derivadas en 0 iguales a 0, excepto la sexta derivada, que es positiva. Por lo tanto, n  = 5 y, según la prueba, hay un mínimo local en 0. ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x^{6}+5}$

Para una función de más de una variable, la prueba de la segunda derivada se generaliza a una prueba basada en los valores propios de la matriz hessiana de la función en el punto crítico. En particular, suponiendo que todas las derivadas parciales de segundo orden de f son continuas en un entorno de un punto crítico x , entonces si los valores propios de la matriz hessiana en x son todos positivos, entonces x es un mínimo local. Si los valores propios son todos negativos, entonces x es un máximo local, y si algunos son positivos y algunos negativos, entonces el punto es un punto de silla . Si la matriz hessiana es singular , entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente.

• Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (tercera edición). Nueva York: McGraw-Hill. pp. 231–267. ISBN 0-07-010813-7.
• Marsden, Jerrold ; Weinstein, Alan (1985). Cálculo I (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pp. 139–199. ISBN 0-387-90974-5.
• Shockley, James E. (1976). El cálculo breve: con aplicaciones en las ciencias sociales (2.ª ed.). Nueva York: Holt, Rinehart & Winston. pp. 77–109. ISBN 0-03-089397-6.
• Stewart, James (2008). Cálculo: principios trascendentales (6.ª ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Willard, Stephen (1976). Cálculo y sus aplicaciones . Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 103–145. ISBN 0-87150-203-8.

• Prueba de la segunda derivada en Mathworld
• Concavidad y criterio de la segunda derivada
• Uso de la prueba de la segunda derivada por parte de Thomas Simpson para hallar máximos y mínimos en la convergencia