Modelo sinusoidal

En estadística , procesamiento de señales y análisis de series temporales , se utiliza un modelo sinusoidal para aproximar una secuencia. $y_{i}$ a una función seno :

y_{i}=c+\alpha \sin(\omega t_{i}+\varphi )+\varepsilon _{i}

dónde $c$ es constante definiendo un nivel medio , $\alpha$ es una amplitud para el seno , $\omega$ es la frecuencia angular , $t_{i}$ es una variable de tiempo, $\varphi$ es el desfase y $\varepsilon _ {i}$ es la secuencia de errores.

Este modelo sinusoidal se puede ajustar utilizando mínimos cuadrados no lineales ; para obtener un buen ajuste, las rutinas pueden requerir buenos valores iniciales para los parámetros desconocidos. ^{[ 1 ]} Ajustar un modelo con una sola sinusoide es un caso especial de estimación de densidad espectral y análisis espectral de mínimos cuadrados .

Buenos valores de partida

Buen valor inicial para la media

Un buen valor inicial para $c$ se puede obtener calculando la media de los datos. Si los datos muestran una tendencia , es decir, se viola el supuesto de ubicación constante, se puede reemplazar $c$ con un ajuste de mínimos cuadrados lineal o cuadrático . Es decir, el modelo se convierte en

y_{i}=(b_{0}+b_{1}t_{i})+\alpha \sin(\omega t_{i}+\varphi )+\varepsilon _{i}

o

y_{i}=(b_{0}+b_{1}t_{i}+b_{2}t_{i}^{2})+\alpha \sin(\omega t_{i}+\varphi )+\varepsilon _{i}

Buen valor inicial para la frecuencia

El valor inicial de la frecuencia se puede obtener a partir de la frecuencia dominante en un periodograma . Se puede utilizar un diagrama de fase de demodulación compleja para refinar esta estimación inicial de la frecuencia. ^{[ 2 ]}

Buenos valores iniciales para la amplitud

La raíz cuadrática media de los datos sin tendencia se puede escalar por la raíz cuadrada de dos para obtener una estimación de la amplitud sinusoidal. Se puede utilizar un gráfico de amplitud de demodulación compleja para encontrar un buen valor inicial para la amplitud. Además, este gráfico puede indicar si la amplitud es constante en todo el rango de los datos o si varía. Si el gráfico es prácticamente plano, es decir, con pendiente cero, entonces es razonable suponer una amplitud constante en el modelo no lineal. Sin embargo, si la pendiente varía en el rango del gráfico, puede ser necesario ajustar el modelo para que sea:

y_{i}=c+(b_{0}+b_{1}t_{i})\sin(\omega t_{i}+\phi )+\varepsilon _{i}

Es decir, se puede reemplazar α por una función del tiempo. En el modelo anterior se especifica un ajuste lineal, pero este puede sustituirse por una función más elaborada si fuera necesario.

Validación del modelo

Como con cualquier modelo estadístico , el ajuste debe someterse a técnicas gráficas y cuantitativas de validación del modelo . Por ejemplo, un gráfico de secuencia de ejecuciones para comprobar si hay cambios significativos en la ubicación, la escala, los efectos de inicio y los valores atípicos . Un gráfico de retardo puede utilizarse para verificar la independencia de los residuos . Los valores atípicos también aparecen en el gráfico de retardo, y un histograma y un gráfico de probabilidad normal permiten comprobar la asimetría u otras irregularidades en los residuos.

Extensiones

Otro método consiste en transformar la regresión no lineal en una regresión lineal mediante una ecuación integral adecuada. De esta forma, no se requiere una estimación inicial ni un proceso iterativo : el ajuste se obtiene directamente. ^{[ 3 ]}

Véase también

Referencias

^ Strutz, T. (2016). Ajuste de datos e incertidumbre (2 ed.). Springer Vieweg. ISBN 978-3-658-11455-8.
↑ Strutz, T. (2026). "Estimación de parámetros iniciales para optimización no lineal - Función trigonométrica -" [ TECHP/2026/01 Universidad de Coburgo ] . arXiv : 2603.09784 [ eess.SP ].
↑ El método se explica en el capítulo "Regresión sinusoidal generalizada" pp.54-63 del artículo:

Enlaces externos

Estudio de caso sobre la deflexión de vigas

Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.

[1] Strutz, T. (2016). Ajuste de datos e incertidumbre (2 ed.). Springer Vieweg. ISBN 978-3-658-11455-8.

[2] Strutz, T. (2026). "Estimación de parámetros iniciales para optimización no lineal - Función trigonométrica -" [ TECHP/2026/01 Universidad de Coburgo ] . arXiv : 2603.09784 [ eess.SP ].

[3] El método se explica en el capítulo "Regresión sinusoidal generalizada" pp.54-63 del artículo:

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