Correlograma

En el análisis de datos, un correlograma es un gráfico de estadísticas de correlación . Por ejemplo, en el análisis de series temporales , un gráfico de las autocorrelaciones de la muestra frente a (los desfases temporales) es un autocorrelograma . Si se grafica la correlación cruzada , el resultado se denomina correlograma cruzado . ${\displaystyle r_{h}\,}$${\estilo de visualización h\,}$

El correlograma es una herramienta de uso común para comprobar la aleatoriedad de un conjunto de datos . Si es aleatorio, las autocorrelaciones deben ser cercanas a cero para todas y cada una de las separaciones de desfase temporal. Si no es aleatorio, entonces una o más de las autocorrelaciones serán significativamente distintas de cero.

Además, los correlogramas se utilizan en la etapa de identificación de modelos para los modelos de series temporales de promedio móvil autorregresivos de Box-Jenkins . Las autocorrelaciones deben ser cercanas a cero para la aleatoriedad; si el analista no comprueba la aleatoriedad, la validez de muchas de las conclusiones estadísticas se vuelve sospechosa. El correlograma es una excelente manera de comprobar dicha aleatoriedad.

En el análisis multivariado , las matrices de correlación mostradas como imágenes mapeadas en color también pueden denominarse "correlogramas" o "corrgramas". ^{[1] [2] [3]}

El correlograma puede ayudar a proporcionar respuestas a las siguientes preguntas: ^[4]

• ¿Los datos son aleatorios?
• ¿Una observación está relacionada con una observación adyacente?
• ¿Una observación está relacionada con una observación eliminada dos veces? (etc.)
• ¿La serie temporal observada es ruido blanco ?
• ¿La serie temporal observada es sinusoidal?
• ¿La serie temporal observada es autorregresiva?
• ¿Cuál es un modelo apropiado para la serie temporal observada?
• ¿Es el modelo?

${\displaystyle Y={\text{constante}}+{\text{error}}}$

¿Valido y suficiente?

• ¿Es válida la fórmula ?${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

La aleatoriedad (junto con el modelo fijo, la variación fija y la distribución fija) es uno de los cuatro supuestos que suelen fundamentar todos los procesos de medición. El supuesto de aleatoriedad es de vital importancia por las tres razones siguientes:

• La mayoría de las pruebas estadísticas estándar dependen de la aleatoriedad. La validez de las conclusiones de la prueba está directamente relacionada con la validez del supuesto de aleatoriedad.
• Muchas fórmulas estadísticas de uso común dependen del supuesto de aleatoriedad, siendo la fórmula más común la fórmula para determinar el error estándar de la media de la muestra:

${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

donde s es la desviación estándar de los datos. Aunque se utiliza mucho, los resultados obtenidos con esta fórmula no tienen valor a menos que se cumpla el supuesto de aleatoriedad.

• Para datos univariados, el modelo predeterminado es

${\displaystyle Y={\text{constante}}+{\text{error}}}$

Si los datos no son aleatorios, este modelo es incorrecto e inválido, y las estimaciones de los parámetros (como la constante) se vuelven absurdas e inválidas.

El coeficiente de autocorrelación en el retardo h viene dado por

${\displaystyle r_{h}=c_{h}/c_{0}\,}$

donde c _h es la función de autocovarianza

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{Nh}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

y c ₀ es la función de varianza

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)^{2}}$

El valor resultante de r _h oscilará entre −1 y +1.

Algunas fuentes pueden utilizar la siguiente fórmula para la función de autocovarianza:

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N-h}}\sum _{t=1}^{N-h}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

Aunque esta definición tiene menos sesgo , la formulación (1/ N ) tiene algunas propiedades estadísticas deseables y es la forma más comúnmente utilizada en la literatura estadística. Consulte las páginas 20 y 49-50 en Chatfield para obtener más detalles.

A diferencia de la definición anterior, esta definición nos permite realizar los cálculos de una manera ligeramente más intuitiva. Consideremos la muestra , donde para . Entonces, sea ${\displaystyle c_{h}}$${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{N}}$${\displaystyle Y_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle i=1,\dots ,N}$

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}Y_{1}-{\bar {Y}}&\cdots &Y_{N}-{\bar {Y}}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n\times N}}$

Luego calculamos la matriz de Gram . Finalmente, se calcula como la media muestral de la diagonal n.° de . Por ejemplo, la diagonal n.° (la diagonal principal) de tiene elementos, y su media muestral corresponde a . La diagonal n.° (a la derecha de la diagonal principal) de tiene elementos, y su media muestral corresponde a , y así sucesivamente. ${\displaystyle Q=X^{\top }X}$${\displaystyle c_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle c_{1}}$

En el mismo gráfico se pueden trazar límites superior e inferior para la autocorrelación con nivel de significancia : ${\displaystyle \alpha \,}$

${\displaystyle B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_{h})\,}$con como la autocorrelación estimada en el rezago .${\displaystyle r_{h}\,}$${\displaystyle h\,}$

Si la autocorrelación es mayor (menor) que este límite superior (inferior), la hipótesis nula de que no hay autocorrelación en un desfase determinado y más allá de él se rechaza con un nivel de significancia de . Esta prueba es aproximada y supone que la serie temporal es gaussiana . ${\displaystyle \alpha \,}$

En lo anterior, z _{1− α /2} es el cuantil de la distribución normal ; SE es el error estándar, que se puede calcular mediante la fórmula de Bartlett para procesos MA( ℓ ):

${\displaystyle SE(r_{1})={\frac {1}{\sqrt {N}}}}$

${\displaystyle SE(r_{h})={\sqrt {\frac {1+2\sum _{i=1}^{h-1}r_{i}^{2}}{N}}}}$para${\displaystyle h>1.\,}$

En el ejemplo representado, podemos rechazar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación entre puntos de tiempo separados por desfases de hasta 4. Para la mayoría de los períodos más largos, no se puede rechazar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación.

Tenga en cuenta que existen dos fórmulas distintas para generar las bandas de confianza:

1. Si el correlograma se utiliza para comprobar la aleatoriedad (es decir, no existe dependencia temporal en los datos), se recomienda la siguiente fórmula:

${\displaystyle \pm {\frac {z_{1-\alpha /2}}{\sqrt {N}}}}$

donde N es el tamaño de la muestra , z es la función cuantil de la distribución normal estándar y α es el nivel de significancia . En este caso, las bandas de confianza tienen un ancho fijo que depende del tamaño de la muestra.

2. Los correlogramas también se utilizan en la etapa de identificación de modelos para ajustar los modelos ARIMA . En este caso, se supone un modelo de promedio móvil para los datos y se deben generar las siguientes bandas de confianza:

${\displaystyle \pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(1+2\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2}\right)}}}$

donde k es el rezago. En este caso, las bandas de confianza aumentan a medida que aumenta el rezago.

Los correlogramas están disponibles en la mayoría de las bibliotecas estadísticas de propósito general.

Correlogramas:

• Pandas de Python : pandas.plotting.autocorrelation_plot^[5]
• R : funciones acfypacf

Corrgramas:

• pitón nacido en el mar : heatmap,pairplot
• R : corrgram^{[2] [3]}

• Función de autocorrelación parcial
• Gráfico de retardo
• Trazado espectral
• Trama de la subserie de temporada
• Correlación escalada
• Variograma

• Hanke, John E.; Reitsch, Arthur G.; Wichern, Dean W. Previsión empresarial (7.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
• Box, GEP; Jenkins, G. (1976). Análisis de series de tiempo: pronóstico y control . Holden-Day.
• Chatfield, C. (1989). El análisis de series temporales: una introducción (cuarta edición). Nueva York, NY: Chapman & Hall.

• Diagrama de autocorrelación

 Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.