Función de autocorrelación parcial

En el análisis de series temporales , la función de autocorrelación parcial ( FACP ) proporciona la correlación parcial de una serie temporal estacionaria con sus propios valores rezagados, tras la regresión de los valores de la serie temporal en todos los rezagos más cortos. Se diferencia de la función de autocorrelación , que no considera otros rezagos.

Esta función desempeña un papel importante en el análisis de datos destinado a identificar la magnitud del retardo en un modelo autorregresivo (AR) . El uso de esta función se introdujo como parte del enfoque de Box-Jenkins para el modelado de series temporales, mediante el cual, al graficar las funciones autocorrelativas parciales, se podían determinar los retardos p apropiados en un modelo AR( p ) o en un modelo ARIMA ( p , d , q ) extendido.

Dada una serie temporal${\displaystyle z_{t}}$, la autocorrelación parcial del retardo${\displaystyle k}$, denotado${\displaystyle \phi _{k,k}}$, es la autocorrelación entre${\displaystyle z_{t}}$y${\displaystyle z_{t+k}}$con la dependencia lineal de${\displaystyle z_{t}}$en${\displaystyle z_{t+1}}$a través de${\displaystyle z_{t+k-1}}$eliminado. Equivalentemente, es la autocorrelación entre${\displaystyle z_{t}}$y${\displaystyle z_{t+k}}$que no se explica por los retrasos${\displaystyle 1}$a través de${\displaystyle k-1}$, inclusive. ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \phi _{1,1}=\operatorname {corr} (z_{t+1},z_{t}),{\text{ para }}k=1,}$$$${\displaystyle \phi _{k,k}=\operatorname {corr} (z_{t+k}-{\hat {z}}_{t+k},\,z_{t}-{\hat {z}}_{t}),{\text{ para }}k\geq 2,}$$dónde${\displaystyle {\sombrero {z}}_{t+k}}$y${\displaystyle {\sombrero {z}}_{t}}$son combinaciones lineales de${\displaystyle \{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}}$que minimizan el error cuadrático medio de${\displaystyle z_{t+k}}$y${\displaystyle z_{t}}$respectivamente. Para procesos estacionarios , los coeficientes en${\displaystyle {\sombrero {z}}_{t+k}}$y${\displaystyle {\sombrero {z}}_{t}}$son iguales, pero invertidos: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}=\beta _{1}z_{t+k-1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+1}\qquad {\text{y}}\qquad {\hat {z}}_{t}=\beta _{1}z_{t+1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+k-1}.}$$

La función de autocorrelación parcial teórica de una serie temporal estacionaria se puede calcular utilizando el algoritmo de Durbin-Levinson:$${\displaystyle \phi _{n,n}={\frac {\rho (n)-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (nk)}{1-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (k)}}}$$dónde${\displaystyle \phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,nk}}$para${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$y${\displaystyle \rho (n)}$es la función de autocorrelación. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

La fórmula anterior se puede utilizar con autocorrelaciones de muestra para encontrar la función de autocorrelación parcial de muestra de cualquier serie temporal dada. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

La siguiente tabla resume la función de autocorrelación parcial de diferentes modelos: ^{[ 5 ] [ 8 ]}

El comportamiento de la función de autocorrelación parcial refleja el de la función de autocorrelación para modelos autorregresivos y de media móvil. Por ejemplo, la función de autocorrelación parcial de una serie AR( p ) se trunca después del retardo p, de forma similar a la función de autocorrelación de una serie MA( q ) con retardo q . Además, la función de autocorrelación de un proceso AR( p ) disminuye gradualmente, al igual que la función de autocorrelación parcial de un proceso MA( q ). ^{[ 2 ]}

La autocorrelación parcial es una herramienta comúnmente utilizada para identificar el orden de un modelo autorregresivo. ^{[ 6 ]} Como se mencionó anteriormente, la autocorrelación parcial de un proceso AR( p ) es cero en retardos mayores que p . ^{[ 5 ] [ 8 ]} Si se determina que un modelo AR es apropiado, entonces se examina el gráfico de autocorrelación parcial de la muestra para ayudar a identificar el orden.

La autocorrelación parcial de retardos mayores que p para una serie temporal AR( p ) es aproximadamente independiente y normal con una media de 0. ^{[ 9 ]} Por lo tanto, se puede construir un intervalo de confianza dividiendo una puntuación z seleccionada por${\displaystyle {\sqrt {n}}}$Los retardos con autocorrelaciones parciales fuera del intervalo de confianza indican que el orden del modelo AR probablemente sea mayor o igual que el retardo. Graficar la función de autocorrelación parcial y trazar las líneas del intervalo de confianza es una forma común de analizar el orden de un modelo AR. Para evaluar el orden, se examina la gráfica para encontrar el retardo a partir del cual todas las autocorrelaciones parciales se encuentran dentro del intervalo de confianza. Se determina que este retardo probablemente corresponde al orden del modelo AR. ^{[ 1 ]}