Variograma

En estadística espacial, el variograma teórico , denominado , es una función que describe el grado de dependencia espacial de un campo aleatorio espacial o un proceso estocástico . El semivariograma es la mitad del variograma. ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$ ${\displaystyle Z(\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

En el caso de un ejemplo concreto del campo de la minería de oro , un variograma dará una medida de cuánto variarán en porcentaje de oro dos muestras tomadas del área de minería dependiendo de la distancia entre esas muestras. Las muestras tomadas a gran distancia variarán más que las muestras tomadas cerca una de la otra.

El semivariograma fue definido por primera vez por Matheron (1963) como la mitad de la diferencia cuadrática promedio entre los valores en los puntos ( y ) separados por una distancia . ^{[1] [2]} Formalmente ${\displaystyle \gamma(h)}$${\displaystyle \mathbf {s} _ {1}}$${\displaystyle \mathbf {s} _ {2}}$${\estilo de visualización h}$

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2V}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dV,}$

donde es un punto en el campo geométrico , y es el valor en ese punto. La integral triple tiene más de 3 dimensiones. es la distancia de separación (por ejemplo, en metros o km) de interés. Por ejemplo, el valor podría representar el contenido de hierro en el suelo, en alguna ubicación (con coordenadas geográficas de latitud, longitud y elevación) sobre alguna región con elemento de volumen . Para obtener el semivariograma para un determinado , se muestrearían todos los pares de puntos a esa distancia exacta. En la práctica, es imposible muestrear en todas partes, por lo que se utiliza en su lugar el variograma empírico. ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización f(M)}$${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización f(M)}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización dV}$${\displaystyle \gamma(h)}$

El variograma es el doble del semivariograma y puede definirse, de manera equivalente, como la varianza de la diferencia entre los valores de campo en dos ubicaciones ( y , nótese el cambio de notación de a y a ) en las distintas realizaciones del campo (Cressie 1993): ${\displaystyle \mathbf {s} _ {1}}$${\displaystyle \mathbf {s} _ {2}}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \mathbf {s}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización Z}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1}) -Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))- mi[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].}$

Si el campo aleatorio espacial tiene una media constante , esto es equivalente a la expectativa del incremento al cuadrado de los valores entre las ubicaciones y (Wackernagel 2003) (donde y son puntos en el espacio y posiblemente en el tiempo): ${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \mathbf {s} _ {1}}$$estilo de visualización s_{2}$${\displaystyle \mathbf {s} _ {1}}$${\displaystyle \mathbf {s} _ {2}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

En el caso de un proceso estacionario , el variograma y el semivariograma se pueden representar como una función de la diferencia entre ubicaciones únicamente, mediante la siguiente relación (Cressie 1993): ${\displaystyle \gamma _ {s}(h)=\gamma (0,0+h)}$${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}).}$

Si además el proceso es isótropo , entonces el variograma y el semivariograma pueden representarse únicamente mediante una función de la distancia (Cressie 1993): ${\displaystyle \gamma_{i}(h):=\gamma_{s}(he_{1})}$${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).}$

Los índices o normalmente no se escriben. Los términos se utilizan para las tres formas de la función. Además, el término "variograma" se utiliza a veces para denotar el semivariograma, y ​​el símbolo se utiliza a veces para el variograma, lo que genera cierta confusión. ^[3]${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización \gamma}$

Según (Cressie 1993, Chiles y Delfiner 1999, Wackernagel 2003) el variograma teórico tiene las siguientes propiedades:

• El semivariograma no es negativo , ya que es el valor esperado de un cuadrado.${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$
• El semivariograma a la distancia 0 es siempre 0, ya que .${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$
• Una función es un semivariograma si y sólo si es una función definida condicionalmente negativa, es decir, para todos los pesos sujetos a y posiciones que cumple:${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{N}}$${\displaystyle \suma _{i=1}^{N}w_{i}=0}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _ {j})w_{j}\leq 0}$

lo que corresponde al hecho de que la varianza de está dada por el negativo de esta doble suma y debe ser no negativa. ^{[ disputado – discutir ]}${\displaystyle var(X)}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

• Si existe la función de covarianza de un proceso estacionario, está relacionada con el variograma mediante

  ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1}) +C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• Si un campo aleatorio estacionario no tiene dependencia espacial (es decir, si ), el semivariograma es la constante en todas partes excepto en el origen, donde es cero.${\displaystyle C(h)=0}$${\displaystyle h\no = 0}$${\displaystyle var(Z(\mathbf {s} ))}$
• ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$es una función simétrica.
• En consecuencia, es una función par .${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$
• Si el campo aleatorio es estacionario y ergódico , corresponde a la varianza del campo. El límite del semivariograma también se denomina su umbral .${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=var(Z(\mathbf {s} ))}$
• Como consecuencia, el semivariograma puede ser discontinuo solo en el origen. La altura del salto en el origen a veces se denomina " pepita" o "efecto pepita".

En resumen, los siguientes parámetros se utilizan a menudo para describir variogramas:

• nugget : La altura del salto del semivariograma en la discontinuidad en el origen.${\estilo de visualización n}$
• umbral : Límite del variograma que tiende a distancias de desfase infinitas.${\estilo de visualización s}$
• rango : distancia en la que la diferencia del variograma con respecto al umbral se vuelve despreciable. En los modelos con umbral fijo, es la distancia en la que se alcanza por primera vez; para los modelos con umbral asintótico, se considera convencionalmente que es la distancia en la que la semivarianza alcanza por primera vez el 95% del umbral.${\estilo de visualización r}$

En general, se necesita un variograma empírico para los datos medidos, porque la información de la muestra no está disponible para cada ubicación. La información de la muestra, por ejemplo, podría ser la concentración de hierro en muestras de suelo o la intensidad de píxeles en una cámara. Cada pieza de información de la muestra tiene coordenadas para un espacio de muestra 2D donde y son coordenadas geográficas. En el caso del hierro en el suelo, el espacio de muestra podría ser tridimensional. Si también hay variabilidad temporal (por ejemplo, contenido de fósforo en un lago), entonces podría ser un vector de 4 dimensiones . Para el caso en que las dimensiones tienen unidades diferentes (por ejemplo, distancia y tiempo), se puede aplicar un factor de escala a cada una para obtener una distancia euclidiana modificada. ^[4]${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle \mathbf {s} = (x, y)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle \mathbf {s}}$${\estilo de visualización (x,y,z,t)}$${\estilo de visualización B}$

Las observaciones de muestra se denotan como . Las muestras pueden tomarse en ubicaciones totalmente diferentes. Esto proporcionaría un conjunto de muestras en ubicaciones . Generalmente, los gráficos muestran los valores del semivariograma como una función de la separación de los puntos de muestra . En el caso del semivariograma empírico, se utilizan intervalos de distancia de separación en lugar de distancias exactas y, por lo general, se suponen condiciones isotrópicas (es decir, que solo es una función de y no depende de otras variables como la posición central). Luego, el semivariograma empírico se puede calcular para cada intervalo: ${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{k}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h\pm \delta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta ):={\frac {1}{2|N(h\pm \delta )|}}\sum _{(i,j)\in N(h\pm \delta )}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

O en otras palabras, se encuentran cada par de puntos separados por (más o menos algún rango de tolerancia de ancho de bin ). Estos forman el conjunto de puntos . El número de estos puntos en este bin es . Luego, para cada par de puntos , se encuentra el cuadrado de la diferencia en la observación (por ejemplo, contenido de muestra de suelo o intensidad de píxeles) ( ). Estas diferencias al cuadrado se suman y se normalizan por el número natural . Por definición, el resultado se divide por 2 para el semivariograma en esta separación. ${\displaystyle h}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle N(h\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):|\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}|=h\pm \delta ;i,j=1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$

Para aumentar la velocidad de cálculo, solo se necesitan los pares de puntos únicos. Por ejemplo, para 2 observaciones, los pares [ ] tomados de ubicaciones con separación solo deben considerarse [ ], ya que los pares [ ] no brindan información adicional. ${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$${\displaystyle h\pm \delta }$${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$

El variograma empírico no se puede calcular en cada distancia de retardo y debido a la variación en la estimación no se garantiza que sea un variograma válido, como se definió anteriormente. Sin embargo, algunos métodos geoestadísticos como el kriging necesitan semivariogramas válidos. En la geoestadística aplicada, los variogramas empíricos se aproximan a menudo mediante una función de modelo que garantiza la validez (Chiles y Delfiner 1999). Algunos modelos importantes son (Chiles y Delfiner 1999, Cressie 1993): ${\displaystyle h}$

• El modelo de variograma exponencial

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• El modelo de variograma esférico

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• El modelo de variograma gaussiano

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

El parámetro tiene valores diferentes en distintas referencias, debido a la ambigüedad en la definición del rango. Ej. es el valor utilizado en (Chiles&Delfiner 1999). La función es 1 si y 0 en caso contrario. ${\displaystyle a}$${\displaystyle a=1/3}$${\displaystyle 1_{A}(h)}$${\displaystyle h\in A}$

En geoestadística se utilizan tres funciones para describir la correlación espacial o temporal de las observaciones: el correlograma , la covarianza y el semivariograma . Este último también se denomina de forma más sencilla variograma .

El variograma es la función clave en geoestadística, ya que se utilizará para ajustar un modelo de la correlación temporal/espacial del fenómeno observado. Por lo tanto, se hace una distinción entre el variograma experimental , que es una visualización de una posible correlación espacial/temporal, y el modelo de variograma que se utiliza además para definir los pesos de la función de kriging . Tenga en cuenta que el variograma experimental es una estimación empírica de la covarianza de un proceso gaussiano . Como tal, puede no ser positivo definido y, por lo tanto, no se puede utilizar directamente en kriging, sin restricciones o procesamiento adicional. Esto explica por qué solo se utiliza un número limitado de modelos de variograma: los más comunes son los modelos lineal, esférico, gaussiano y exponencial.

El variograma empírico se utiliza en geoestadística como una primera estimación del modelo de variograma necesario para la interpolación espacial mediante kriging .

• Se utilizaron variogramas empíricos para la variabilidad espaciotemporal del dióxido de carbono promediado en columna para determinar los criterios de coincidencia para las mediciones satelitales y terrestres. ^[4]
• Se calcularon variogramas empíricos para la densidad de un material heterogéneo (Gilsocarbono). ^[5]
• Los variogramas empíricos se calculan a partir de observaciones de fuertes movimientos del suelo a causa de terremotos . ^[6] Estos modelos se utilizan para evaluar el riesgo sísmico y las pérdidas de infraestructura distribuida espacialmente. ^[7]

El término al cuadrado en el variograma, por ejemplo , se puede reemplazar con diferentes potencias: un madograma se define con la diferencia absoluta , y un rodograma se define con la raíz cuadrada de la diferencia absoluta. Se dice que los estimadores basados ​​en estas potencias más bajas son más resistentes a los valores atípicos . Se pueden generalizar como un "variograma de orden α ". ${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$,

en el que un variograma es de orden 2, un madograma es un variograma de orden 1 y un rodograma es un variograma de orden 0,5. ^[8]

Cuando se utiliza un variograma para describir la correlación de diferentes variables, se denomina variograma cruzado . Los variogramas cruzados se utilizan en el co-kriging . Si la variable es binaria o representa clases de valores, se habla entonces de variogramas indicadores . Los variogramas indicadores se utilizan en el kriging de indicadores .

• Cressie, N., 1993, Estadísticas para datos espaciales, Wiley Interscience.
• Chiles, JP, P. Delfiner, 1999, Geoestadística, Modelado de la incertidumbre espacial, Wiley-Interscience.
• Wackernagel, H., 2003, Geoestadística multivariada, Springer.
• Burrough, PA y McDonnell, RA, 1998, Principios de los sistemas de información geográfica.
• Isobel Clark, 1979, Geoestadística práctica, Applied Science Publishers.
• Clark, I., 1979, Geoestadística práctica , Applied Science Publishers.
• David, M., 1978, Estimación geoestadística de reservas de mineral , Elsevier Publishing.
• Hald, A., 1952, Teoría estadística con aplicaciones de ingeniería , John Wiley & Sons, Nueva York.
• Journel, AG y Huijbregts, Ch. J., 1978 Geoestadística minera , Academic Press.
• Glass, HJ, 2003, Método para evaluar la calidad del variograma, The Journal of The South African Institute of Mining and Metallurgy.

• AI-GEOSTATS: un recurso educativo sobre geoestadística y estadística espacial
• Geoestadística: conferencia de Rudolf Dutter en la Universidad Técnica de Viena