Kriging

En estadística , originalmente en geoestadística , el kriging o Kriging ( / ˈ k r iː ɡ ɪ ŋ / ), también conocido como regresión de procesos gaussianos , es un método de interpolación basado en procesos gaussianos gobernados por covarianzas previas . Bajo supuestos adecuados de la distribución previa, el kriging proporciona la mejor predicción lineal insesgada (BLUP) en ubicaciones no muestreadas. ^{[ 1 ]} Los métodos de interpolación basados ​​en otros criterios como la suavidad (por ejemplo, spline de suavizado ) pueden no producir la BLUP. El método se utiliza ampliamente en el dominio del análisis espacial y los experimentos computacionales . La técnica también se conoce como predicción de Wiener-Kolmogorov , en honor a Norbert Wiener y Andrey Kolmogorov .

La base teórica del método fue desarrollada por el matemático francés Georges Matheron en 1960, a partir de la tesis de maestría de Danie G. Krige , pionero en la representación gráfica de las leyes promedio ponderadas por distancia del oro en el complejo arrecifal de Witwatersrand en Sudáfrica . Krige buscaba estimar la distribución más probable del oro a partir de muestras de unos pocos pozos. El verbo en inglés es " to krige" y el sustantivo más común es "kriging" . En la literatura, la palabra a veces se escribe con mayúscula inicial como "Kriging" .

Aunque su formulación básica requiere una gran capacidad de cálculo, el kriging puede ampliarse a problemas de mayor envergadura utilizando diversos métodos de aproximación .

El kriging predice el valor de una función en un punto dado calculando un promedio ponderado de los valores conocidos de la función en la vecindad de dicho punto. Este método está estrechamente relacionado con el análisis de regresión . Ambas teorías derivan un estimador lineal insesgado óptimo basado en supuestos sobre las covarianzas , utilizan el teorema de Gauss-Markov para demostrar la independencia entre la estimación y el error, y emplean fórmulas muy similares. Sin embargo, resultan útiles en contextos diferentes: el kriging se utiliza para estimar una única realización de un campo aleatorio, mientras que los modelos de regresión se basan en múltiples observaciones de un conjunto de datos multivariados.

La estimación de kriging también puede verse como una función spline en un espacio de Hilbert con núcleo reproductor, donde el núcleo reproductor viene dado por la función de covarianza. ^{[ 2 ]} La diferencia con el enfoque clásico de kriging radica en la interpretación: mientras que la función spline se basa en una interpolación de norma mínima fundamentada en una estructura de espacio de Hilbert, el kriging se basa en un error de predicción cuadrático esperado fundamentado en un modelo estocástico.

El método de Kriging con superficies de tendencia polinómica es matemáticamente idéntico al ajuste de curvas polinómicas por mínimos cuadrados generalizados .

El kriging también puede entenderse como una forma de optimización bayesiana . ^{[ 3 ]} El kriging comienza con una distribución a priori sobre funciones . Esta distribución a priori toma la forma de un proceso gaussiano: las muestras de una función se distribuirán normalmente , donde la covarianza entre dos muestras cualesquiera es la función de covarianza (o núcleo ) del proceso gaussiano evaluada en la ubicación espacial de dos puntos. Luego se observa un conjunto de valores, cada valor asociado con una ubicación espacial. Ahora, se puede predecir un nuevo valor en cualquier nueva ubicación espacial combinando la distribución a priori gaussiana con una función de verosimilitud gaussiana para cada uno de los valores observados. La distribución a posteriori resultante también es gaussiana, con una media y una covarianza que se pueden calcular simplemente a partir de los valores observados, su varianza y la matriz del núcleo derivada de la distribución a priori. ${\displaystyle N}$

En los modelos geoestadísticos, los datos muestreados se interpretan como el resultado de un proceso aleatorio. El hecho de que estos modelos incorporen la incertidumbre en su conceptualización no significa que el fenómeno —el bosque, el acuífero, el yacimiento mineral— sea resultado de un proceso aleatorio, sino que permite construir una base metodológica para la inferencia espacial de cantidades en ubicaciones no observadas y cuantificar la incertidumbre asociada al estimador.

En el contexto de este modelo, un proceso estocástico es simplemente una forma de abordar el conjunto de datos recopilados de las muestras. El primer paso en la modulación geoestadística consiste en crear un proceso aleatorio que describa de la mejor manera el conjunto de datos observados.

Un valor de ubicación (denominación genérica de un conjunto de coordenadas geográficas ) se interpreta como una realización de la variable aleatoria . En el espacio donde se dispersa el conjunto de muestras, existen realizaciones de las variables aleatorias , correlacionadas entre sí. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle z(x_{1})}$${\displaystyle Z(x_{1})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Z(x_{1}),Z(x_{2}),\ldots ,Z(x_{N})}$

El conjunto de variables aleatorias constituye una función aleatoria, de la cual solo se conoce una realización: el conjunto de datos observados. Con una sola realización de cada variable aleatoria, es teóricamente imposible determinar cualquier parámetro estadístico de las variables individuales o de la función. La solución propuesta en el formalismo geoestadístico consiste en asumir diversos grados de estacionariedad en la función aleatoria, para posibilitar la inferencia de algunos valores estadísticos. ${\displaystyle z(x_{i})}$

Por ejemplo, si se asume, basándose en la homogeneidad de las muestras en el área donde se distribuye la variable, la hipótesis de que el primer momento es estacionario (es decir, que todas las variables aleatorias tienen la misma media), entonces se está asumiendo que la media puede estimarse mediante la media aritmética de los valores muestreados. ${\displaystyle A}$

La hipótesis de estacionariedad relacionada con el segundo momento se define de la siguiente manera: la correlación entre dos variables aleatorias depende únicamente de la distancia espacial entre ellas y es independiente de su ubicación. Por lo tanto, si y , entonces: ${\displaystyle \mathbf {h} =x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle h=|\mathbf {h} |}$

${\displaystyle C{\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=C(h),}$

${\displaystyle \gamma {\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=\gamma (h).}$

Para simplificar, definimos y . ${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$${\displaystyle \gamma (x_{i},x_{j})=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$

Esta hipótesis permite inferir esas dos medidas: el variograma y el covariograma :

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-Z(x_{j}){\big )}^{2},}$

${\displaystyle C(h)={\frac {1}{|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-m(h){\big )}{\big (}Z(x_{j})-m(h){\big )},}$

dónde:

${\displaystyle m(h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}\left(Z(x_{i})+Z(x_{j})\right)}$;

${\displaystyle N(h)}$denota el conjunto de pares de observaciones tales que , y es el número de pares en el conjunto.${\displaystyle i,\;j}$${\displaystyle |x_{i}-x_{j}|=h}$${\displaystyle |N(h)|}$

En este conjunto, y denotan el mismo elemento. Generalmente se utiliza una "distancia aproximada" , implementada mediante una cierta tolerancia.${\displaystyle (i,\;j)}$${\displaystyle (j,\;i)}$${\displaystyle h}$

La inferencia espacial, o estimación, de una cantidad , en una ubicación no observada , se calcula a partir de una combinación lineal de los valores observados y los pesos : ${\displaystyle Z\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle z_{i}=Z(x_{i})}$${\displaystyle w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots ,N}$

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{N}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{N}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})Z(x_{i}).}$

Los pesos tienen como objetivo resumir dos procedimientos extremadamente importantes en un proceso de inferencia espacial: ${\displaystyle w_{i}}$

• reflejar la "proximidad" estructural de las muestras al lugar de estimación ;${\displaystyle x_{0}}$
• Al mismo tiempo, deberían tener un efecto de desegregación, para evitar el sesgo causado por posibles agrupaciones de muestras .

Al calcular los pesos , existen dos objetivos en el formalismo geoestadístico: insesgadez y mínima varianza de la estimación . ${\displaystyle w_{i}}$

Si se representa gráficamente la nube de valores reales frente a los valores estimados , el criterio de insesgadez global, estacionariedad intrínseca o estacionariedad en sentido amplio del campo, implica que la media de las estimaciones debe ser igual a la media de los valores reales. ${\displaystyle Z(x_{0})}$${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$

El segundo criterio establece que la media de las desviaciones al cuadrado debe ser mínima, lo que significa que cuando la nube de valores estimados está más dispersa en comparación con la nube de valores reales, el estimador es menos preciso. ${\displaystyle {\big (}{\hat {Z}}(x)-Z(x){\big )}}$

Dependiendo de las propiedades estocásticas del campo aleatorio y de los distintos grados de estacionariedad asumidos, se pueden deducir diferentes métodos para calcular los pesos, es decir, se aplican diferentes tipos de kriging. Los métodos clásicos son:

• El kriging ordinario supone una media constante desconocida solo en el entorno de búsqueda de .${\displaystyle x_{0}}$
• El kriging simple supone la estacionariedad del primer momento en todo el dominio con una media conocida: , donde es la media conocida.${\displaystyle E\{Z(x)\}=E\{Z(x_{0})\}=m}$${\displaystyle m}$
• kriging universalasume un modelo de tendencia polinomial general, como un modelo de tendencia lineal .${\displaystyle \textstyle E\{Z(x)\}=\sum _{k=0}^{p}\beta _{k}f_{k}(x)}$
• Kriging IRFkse supone que es un polinomio desconocido en .${\displaystyle E\{Z(x)\}}$${\displaystyle x}$
• kriging indicadorUtiliza funciones indicadoras en lugar del proceso en sí, con el fin de estimar las probabilidades de transición.
  • Kriging de indicadores múltiplesEs una versión del kriging indicador que trabaja con una familia de indicadores. Inicialmente, el MIK se mostró muy prometedor como un nuevo método para estimar con mayor precisión las concentraciones o leyes de los depósitos minerales globales. Sin embargo, estos beneficios se han visto contrarrestados por otros problemas prácticos inherentes al modelado, debido al gran tamaño de los bloques utilizados y a la falta de resolución a escala minera. La simulación condicional es rápida y se está convirtiendo en la técnica de reemplazo aceptada en este caso.
• Kriging disyuntivoes una generalización no lineal del kriging.
• kriging lognormalinterpola datos positivos mediante logaritmos .
• El kriging latente asume los diversos krigings en el nivel latente (segunda etapa) del modelo de efectos mixtos no lineales para producir una predicción funcional espacial. ^{[ 4 ]} Esta técnica es útil cuando se analizan datos funcionales espaciales , donde es una serie temporal de datos durante un período, es un vector de covariables y es una ubicación espacial (longitud, latitud) del -ésimo sujeto.${\displaystyle \{(y_{i},x_{i},s_{i})\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle y_{i}=(y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iT_{i}})^{\top }}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{ip})^{\top }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s_{i}=(s_{i1},s_{i2})^{\top }}$${\displaystyle i}$
• El cokriging denota el kriging conjunto de datos de múltiples fuentes con una relación entre las diferentes fuentes de datos. ^{[ 5 ]} El cokriging también es posible en un enfoque bayesiano . ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• El kriging bayesiano parte de la optimización de coeficientes e hiperparámetros desconocidos, que se entiende como una estimación de máxima verosimilitud desde la perspectiva bayesiana. En cambio, los coeficientes e hiperparámetros se estiman a partir de sus valores esperados . Una ventaja del kriging bayesiano es que permite cuantificar la evidencia y la incertidumbre del emulador de kriging . ^{[ 8 ]} Si el emulador se emplea para propagar incertidumbres, la calidad del emulador de kriging se puede evaluar comparando la incertidumbre del emulador con la incertidumbre total (véase también Caos polinomial bayesiano ). El kriging bayesiano también se puede combinar con el co-kriging. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El valor desconocido se interpreta como una variable aleatoria ubicada en , al igual que los valores de las muestras vecinas . El estimador también se interpreta como una variable aleatoria ubicada en , resultado de la combinación lineal de variables. ${\displaystyle Z(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle Z(x_{i}),\ i=1,\ldots ,N}$${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

El kriging busca minimizar el valor cuadrático medio del siguiente error en la estimación , sujeto a la ausencia de sesgo: ${\displaystyle Z(x_{0})}$

${\displaystyle \epsilon (x_{0})={\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0}).}$

Los dos criterios de calidad mencionados anteriormente ahora pueden expresarse en términos de la media y la varianza de la nueva variable aleatoria : ${\displaystyle \epsilon (x_{0})}$

Falta de sesgo

Dado que la función aleatoria es estacionaria, los pesos deben sumar 1 para garantizar que el modelo sea insesgado. Esto se puede ver de la siguiente manera: ${\displaystyle E[Z(x_{i})]=E[Z(x_{0})]=m}$

${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E[Z(x_{i})]-E[Z(x_{0})]=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})=1\Leftrightarrow \mathbf {1} ^{T}\cdot W=1.}$

Variación mínima

Dos estimadores pueden tener , pero la dispersión alrededor de su media determina la diferencia entre la calidad de los estimadores. Para encontrar un estimador con varianza mínima, necesitamos minimizar . ${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0}$${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})^{2}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))&=\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\\&={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot \operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Consulte la matriz de covarianza para obtener una explicación detallada.

${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}&\operatorname {Var} _{x_{0}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}},}$

donde los literales representan ${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} _{x_{i}},\operatorname {Var} _{x_{0}},\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )},\operatorname {Cov} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T},Z(x_{0})\right)\right\}.}$

Una vez definido el modelo de covarianza o variograma , o , válido en todos los campos de análisis de , entonces podemos escribir una expresión para la varianza de estimación de cualquier estimador en función de la covarianza entre las muestras y las covarianzas entre las muestras y el punto a estimar: ${\displaystyle C(\mathbf {h} )}$${\displaystyle \gamma (\mathbf {h} )}$${\displaystyle Z(x)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}},\\\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=\operatorname {Cov} (0)+\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (x_{i},x_{j})-2\sum _{i}w_{i}C(x_{i},x_{0}).\end{cases}}}$

De esta expresión se pueden extraer algunas conclusiones. La varianza de la estimación:

• no es cuantificable para ningún estimador lineal, una vez que se asume la estacionariedad de la media y de las covarianzas espaciales, o variogramas;
• crece cuando la covarianza entre las muestras y el punto a estimar disminuye. Esto significa que, cuando las muestras están más alejadas de , la estimación empeora;${\displaystyle x_{0}}$
• crece con la varianza a priori de la variable ; cuando la variable es menos dispersa, la varianza es menor en cualquier punto del área ;${\displaystyle C(0)}$${\displaystyle Z(x)}$${\displaystyle A}$
• no depende de los valores de las muestras, lo que significa que la misma configuración espacial (con las mismas relaciones geométricas entre las muestras y el punto a estimar) siempre reproduce la misma varianza de estimación en cualquier parte del área ; de esta manera, la varianza no mide la incertidumbre de la estimación producida por la variable local.${\displaystyle A}$

Sistema de ecuaciones

${\displaystyle W={\underset {\mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}{\operatorname {arg\,min} }}\left(W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}}\right).}$

La resolución de este problema de optimización (véase multiplicadores de Lagrange ) da como resultado el sistema de kriging :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {W}}\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\mathbf {1} \\\mathbf {1} ^{T}&0\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{1},x_{n})&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\gamma (x_{n},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{n},x_{n})&1\\1&\cdots &1&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x^{*})\\\vdots \\\gamma (x_{n},x^{*})\\1\end{bmatrix}}.}$

El parámetro adicional es un multiplicador de Lagrange que se utiliza para minimizar el error de kriging y así cumplir con la condición de imparcialidad. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma _{k}^{2}(x)}$

El kriging simple es matemáticamente el más sencillo, pero el menos general. ^{[ 9 ]} Presupone que se conoce la esperanza del campo aleatorio y se basa en una función de covarianza . Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, ni la esperanza ni la covarianza se conocen de antemano.

Los supuestos prácticos para la aplicación del kriging simple son:

• Estacionariedad en sentido amplio del campo (varianza estacionaria).
• La expectativa es cero en todas partes: .${\displaystyle \mu (x)=0}$
• Función de covarianza conocida .${\displaystyle c(x,y)=\operatorname {Cov} {\big (}Z(x),Z(y){\big )}}$

La función de covarianza es una elección de diseño crucial, ya que estipula las propiedades del proceso gaussiano y, por lo tanto, el comportamiento del modelo. La función de covarianza codifica información sobre, por ejemplo, la suavidad y la periodicidad, lo cual se refleja en la estimación obtenida. Una función de covarianza muy común es la exponencial al cuadrado, que favorece en gran medida las estimaciones de funciones suaves. ^{[ 10 ]} Por esta razón, puede producir estimaciones deficientes en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente cuando la función subyacente real contiene discontinuidades y cambios rápidos.

Sistema de ecuaciones

Los pesos de kriging del kriging simple no tienen condición de insesgadez y vienen dados por el sistema de ecuaciones de kriging simple :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

Esto es análogo a una regresión lineal de sobre el otro . ${\displaystyle Z(x_{0})}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$

Estimación

La interpolación mediante kriging simple viene dada por

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

El error de kriging viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}=\underbrace {c(x_{0},x_{0})} _{\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}}-\underbrace {{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}} _{\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}},}$

lo que conduce a la versión generalizada de mínimos cuadrados del teorema de Gauss-Markov (Chiles y Delfiner 1999, p. 159):

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}=\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}+\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}.}$

Véase también Caos polinomial bayesiano

• La estimación de kriging es insesgada: .${\displaystyle E[{\hat {Z}}(x_{i})]=E[Z(x_{i})]}$
• La estimación por kriging respeta el valor observado real (suponiendo que no se produzca ningún error de medición).${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{i})=Z(x_{i})}$
• La estimación de kriging es el mejor estimador lineal insesgado de si se cumplen los supuestos. Sin embargo (por ejemplo, Cressie 1993): ^{[ 11 ]}${\displaystyle {\hat {Z}}(x)}$${\displaystyle Z(x)}$
  • Como ocurre con cualquier método, si no se cumplen los supuestos, el kriging podría resultar inadecuado.
  • Es posible que existan mejores métodos no lineales y/o sesgados.
  • No se garantizan las propiedades cuando se utiliza un variograma incorrecto. Sin embargo, por lo general, se logra una interpolación "buena".
  • Lo mejor no es necesariamente lo bueno: por ejemplo, en caso de que no exista dependencia espacial, la interpolación kriging es tan buena como la media aritmética.
• El método de Kriging proporciona una medida de precisión. Sin embargo, esta medida depende de la exactitud del variograma.${\displaystyle \sigma _{k}^{2}}$

Aunque el kriging se desarrolló originalmente para aplicaciones en geoestadística, es un método general de interpolación estadística que puede aplicarse en cualquier disciplina a datos muestreados de campos aleatorios que cumplan con los supuestos matemáticos adecuados. Se puede utilizar cuando se han recopilado datos relacionados espacialmente (en 2D o 3D) y se desean estimaciones de datos de relleno en las ubicaciones (brechas espaciales) entre las mediciones reales.

Hasta la fecha, el kriging se ha utilizado en diversas disciplinas, entre las que se incluyen las siguientes:

• Ciencias ambientales ^{[ 12 ]}
• Hidrogeología ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• Minería ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• Recursos naturales ^{[ 18 ] [ 19 ]}
• Teledetección ^{[ 20 ]}
• tasación inmobiliaria ^{[ 21 ]}
• Análisis y optimización de circuitos integrados ^{[ 22 ]}
• Modelado de dispositivos de microondas ^{[ 23 ]}
• Astronomía ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}
• Predicción de la curva de producción de petróleo de pozos de petróleo de esquisto ^{[ 27 ]}

Otro campo de aplicación muy importante y de rápido crecimiento en ingeniería es la interpolación de datos que aparecen como variables de respuesta de simulaciones computacionales deterministas, ^{[ 28 ]} por ejemplo, simulaciones del método de elementos finitos (MEF). En este caso, el kriging se utiliza como una herramienta de metamodelado , es decir, un modelo de caja negra construido sobre un conjunto diseñado de experimentos computacionales . En muchos problemas prácticos de ingeniería, como el diseño de un proceso de conformado de metales , una sola simulación MEF puede durar varias horas o incluso algunos días. Por lo tanto, es más eficiente diseñar y ejecutar un número limitado de simulaciones computacionales y luego usar un interpolador de kriging para predecir rápidamente la respuesta en cualquier otro punto de diseño. Por consiguiente, el kriging se utiliza con mucha frecuencia como un llamado modelo sustituto , implementado dentro de rutinas de optimización . ^{[ 29 ]} Los modelos sustitutos basados ​​en kriging también pueden utilizarse en el caso de entradas de enteros mixtos. ^{[ 30 ]}

• estadística lineal bayesiana
• proceso gaussiano
• Interpolación multivariante
• regresión no paramétrica
• Interpolación mediante función de base radial
• Cartografía espacial
• Dependencia espacial
• variograma
• Kriging mejorado con gradiente (GEK)
• Modelo sustituto
• teoría del campo de información
• ponderación de distancia inversa

1. Chilès, Jean-Paul; Desassis, Nicolas (2018). «Cincuenta años de kriging». Manual de geociencias matemáticas . Cham: Springer International Publishing. pp.  589–612 . doi : 10.1007/978-3-319-78999-6_29 . ISBN 978-3-319-78998-9. S2CID  125362741 .
2. Agterberg, FP, Geomatemáticas, Fundamentos Matemáticos y Aplicaciones en Geociencias , Elsevier Scientific Publishing Company, Ámsterdam, 1974.
3. Cressie, NAC, Los orígenes del kriging, Geología Matemática , vol. 22, págs. 239–252, 1990.
4. Krige, DG, Un enfoque estadístico para algunas valoraciones mineras y problemas afines en Witwatersrand , tesis de maestría de la Universidad de Witwatersrand, 1951.
5. Link, RF y Koch, GS, Diseños experimentales y análisis de superficies de tendencia, Geoestadística , Un coloquio, Plenum Press, Nueva York, 1970.
6. Matheron, G., "Principios de geoestadística", Geología económica , 58, pp. 1246–1266, 1963.
7. Matheron, G., "Las funciones aleatorias intrínsecas y sus aplicaciones", Adv. Appl. Prob. , 5, pp. 439–468, 1973.
8. Merriam, DF (editor), Geoestadística , un coloquio, Plenum Press, Nueva York, 1970.
9. Mockus, J., "Sobre métodos bayesianos para la búsqueda del extremo." Actas de la Conferencia Técnica de la IFIP. 1974.

• Abramowitz, M., y Stegun, I. (1972), Manual de funciones matemáticas, Dover Publications , Nueva York.
• Banerjee, S., Carlin, BP y Gelfand, AE (2004). Modelado y análisis jerárquico de datos espaciales. Chapman and Hall/CRC Press, Taylor and Francis Group.
• Chiles, J.-P. y P. Delfiner (1999) Geoestadística, modelado de la incertidumbre espacial , Serie Wiley en probabilidad y estadística.
• Clark, I., y Harper, WV, (2000) Geoestadística práctica 2000 , Ecosse Norteamérica, EE. UU.
• Cressie, N. (1993) Estadística para datos espaciales , Wiley, Nueva York.
• David, M. (1988) Manual de estimación geoestadística avanzada aplicada de reservas minerales , Elsevier Scientific Publishing
• Deutsch, CV y ​​Journel, AG (1992), GSLIB – Biblioteca de software geoestadístico y guía del usuario, Oxford University Press , Nueva York, 338 págs.
• Goovaerts, P. (1997) Geoestadística para la evaluación de recursos naturales , Oxford University Press, Nueva York, ISBN 0-19-511538-4.
• Isaaks, EH y Srivastava, RM (1989), Introducción a la geoestadística aplicada, Oxford University Press, Nueva York, 561 págs.
• Journel, AG y CJ Huijbregts (1978) Geoestadística minera , Academic Press, Londres.
• Revista, AG (1989), Fundamentos de geoestadística en cinco lecciones, Unión Geofísica Americana, Washington D.C.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.7.4. Interpolación por Kriging" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8. Asimismo, "Sección 15.9. Regresión de procesos gaussianos" .
• Stein, ML (1999), Interpolación estadística de datos espaciales: algunas teorías para el kriging , Springer, Nueva York.
• Wackernagel, H. (1995) Geoestadística multivariante: una introducción con aplicaciones , Springer Berlín