Kriging con mejora de gradiente

Un solucionador adjunto permite calcular el gradiente de la cantidad de interés con respecto a todos los parámetros de diseño a costa de una resolución adicional. Esto, potencialmente, conduce a una aceleración lineal : el costo computacional de construir un sustituto preciso disminuye y la aceleración computacional resultante${\displaystyle s}$escala linealmente con el número${\displaystyle d}$de parámetros de diseño.

El razonamiento detrás de esta aceleración lineal es sencillo. Supongamos que ejecutamos${\displaystyle N}$soluciones primales y${\displaystyle N}$El método adjunto resuelve, a un costo total de${\displaystyle 2N}$Esto da como resultado${\displaystyle N+dN}$datos;${\displaystyle N}$valores para la cantidad de interés y${\displaystyle d}$derivadas parciales en cada una de las${\displaystyle N}$gradientes. Ahora supongamos que cada derivada parcial proporciona tanta información para nuestro sustituto como una sola solución primal. Entonces, el costo total de obtener la misma cantidad de información solo con soluciones primales es${\displaystyle N+dN}$. La aceleración es la relación de estos costos: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle s={\frac {N+dN}{2N}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}d.}$

Se ha demostrado una aceleración lineal para un problema de interacción fluido-estructura ^{[ 2 ]} y para un perfil aerodinámico transónico . ^{[ 3 ]}

Un problema con los gradientes basados ​​en adjuntos en CFD es que pueden ser particularmente ruidosos . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Cuando se deriva en un marco bayesiano , GEK permite incorporar no solo la información del gradiente, sino también la incertidumbre en esa información del gradiente. ^{[ 6 ]}

En la misma línea que ^{[ 7 ]} , nos interesa la salida.${\displaystyle X}$de nuestra simulación por computadora, para la cual asumimos la distribución de probabilidad previa normal :

${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,P),}$

con media previa${\displaystyle \mu }$y matriz de covarianza previa${\displaystyle P}$Las observaciones${\displaystyle y}$tienen la probabilidad normal :

${\displaystyle Y\mid x\sim {\mathcal {N}}(Hx,R),}$

con${\displaystyle H}$la matriz de observación y${\displaystyle R}$la matriz de covarianza del error de observación, que contiene las incertidumbres de la observación . Después de aplicar el teorema de Bayes, obtenemos una distribución de probabilidad posterior con distribución normal , con media de Kriging:

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid y)=\mu +K(yH\mu ),}$

y covarianza de Kriging:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X\mid y)=(I-KH)P,}$

donde tenemos la matriz de ganancia:

${\displaystyle K=PH^{T}(R+HPH^{T})^{-1}.}$

En Kriging, la matriz de covarianza previa${\displaystyle P}$se genera a partir de una función de covarianza. Un ejemplo de función de covarianza es la covarianza gaussiana:

${\displaystyle P_{ij}=\sigma ^{2}\exp \left(-\sum _{k}{\frac {|\xi _{jk}-\xi _{ik}|^{2}}{2\theta _{k}^{2}}}\right),}$

donde sumamos sobre las dimensiones${\displaystyle k}$y${\displaystyle \xi }$son los parámetros de entrada. Los hiperparámetros${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \theta }$puede estimarse a partir de una estimación de máxima verosimilitud (MLE). ^{[ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Hay varias formas de implementar GEK. El primer método, GEK indirecto, define un tamaño de paso pequeño pero finito.${\displaystyle h}$y utiliza la información del gradiente para agregar datos sintéticos a las observaciones.${\displaystyle y}$, véase por ejemplo. ^{[ 8 ]} El Kriging indirecto es sensible a la elección del tamaño del paso.${\displaystyle h}$y no puede incluir incertidumbres de observación .

Direct GEK es una forma de co-Kriging, donde agregamos la información del gradiente como covariables. Esto se puede hacer modificando la covarianza previa.${\displaystyle P}$o modificando la matriz de observación${\displaystyle H}$; ambos enfoques conducen al mismo predictor GEK. Cuando construimos GEK directo a través de la matriz de covarianza previa, agregamos las derivadas parciales a${\displaystyle y}$y modificar la matriz de covarianza previa${\displaystyle P}$de tal manera que también contiene las derivadas (y segundas derivadas) de la función de covarianza, véase por ejemplo ^{[ 10 ]} . ^{[ 6 ]} Las principales ventajas de GEK directo sobre GEK indirecto son: 1) no tenemos que elegir un tamaño de paso, 2) podemos incluir incertidumbres de observación para los gradientes en${\displaystyle R}$y 3) es menos susceptible a un mal condicionamiento de la matriz de ganancia.${\displaystyle K}$. ^{[ 6 ] [ 8 ]}

Otra forma de llegar al mismo predictor GEK directo es agregar las derivadas parciales a las observaciones.${\displaystyle y}$e incluir operadores de derivadas parciales en la matriz de observación${\displaystyle H}$, véase por ejemplo. ^{[ 11 ]}

Los métodos actuales de kriging con gradiente mejorado no escalan bien con el número de puntos de muestreo debido al rápido crecimiento del tamaño de la matriz de correlación, donde se añade nueva información para cada punto de muestreo en cada dirección del espacio de diseño. Además, no escalan bien con el número de variables independientes debido al aumento en el número de hiperparámetros que deben estimarse. Para abordar este problema, se ha desarrollado un nuevo enfoque de modelo sustituto con gradiente mejorado que reduce drásticamente el número de hiperparámetros mediante el uso del método de mínimos cuadrados parciales que mantiene la precisión. Además, este método puede controlar el tamaño de la matriz de correlación añadiendo solo los puntos relevantes definidos a través de la información proporcionada por el método de mínimos cuadrados parciales. Para más detalles, véase ^{[ 12 ]} . Este enfoque está implementado en Surrogate Modeling Toolbox (SMT) en Python ( https://github.com/SMTorg/SMT ), y se ejecuta en Linux, macOS y Windows. SMT se distribuye bajo la licencia New BSD.

^{En [ 9 ]} se propone un marco de trabajo universal aumentado para añadir derivadas de cualquier orden a las observaciones. Este método puede considerarse una generalización del método GEK directo que tiene en cuenta derivadas de orden superior. Además, bajo este marco, no es necesario que las observaciones y las derivadas se midan en la misma ubicación.