Trigonometría generalizada

La trigonometría ordinaria estudia los triángulos en el plano euclidiano .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Existen varias formas de definir las funciones trigonométricas geométricas euclidianas ordinarias en números reales , por ejemplo, definiciones de triángulos rectángulos , definiciones de círculos unitarios , definiciones de series , definiciones mediante ecuaciones diferenciales y definiciones utilizando ecuaciones funcionales . Las generalizaciones de las funciones trigonométricas a menudo se desarrollan partiendo de uno de los métodos anteriores y adaptándolo a una situación distinta a la de los números reales de la geometría euclidiana. En general, la trigonometría puede ser el estudio de ternas de puntos en cualquier tipo de geometría o espacio . Un triángulo es el polígono con el menor número de vértices, por lo que una dirección para generalizar es estudiar análogos de dimensiones superiores de ángulos y polígonos: ángulos sólidos y politopos como tetraedros y n -símplices .

• En trigonometría esférica , se estudian los triángulos en la superficie de una esfera . Las identidades de los triángulos esféricos se escriben en términos de las funciones trigonométricas ordinarias, pero difieren de las identidades de los triángulos planos .
• Trigonometría hiperbólica:
  1. Estudio de triángulos hiperbólicos en geometría hiperbólica con funciones hiperbólicas .
  2. Funciones hiperbólicas en geometría euclidiana: El círculo unitario se parametriza mediante (cos t , sin t ) mientras que la hipérbola equilátera se parametriza mediante (cosh t , sinh t ).  
  3. Girotrigonometría : Una forma de trigonometría utilizada en el enfoque del espacio girovectorial para la geometría hiperbólica , con aplicaciones a la relatividad especial y la computación cuántica .
• Trigonometría para la geometría de taxis ^{[ 1 ]}
• Trigonometrías del espaciotiempo ^{[ 2 ]}
• Trigonometría cualitativa difusa ^{[ 3 ]}
• Trigonometría de operadores ^{[ 4 ]}
• Trigonometría reticular ^{[ 5 ]}
• Trigonometría en espacios simétricos ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• Ortoesquemas de Schläfli - símplexes rectos (triángulos rectángulos generalizados a n dimensiones) - estudiados por Schoute , quien llamó a la trigonometría generalizada de n dimensiones euclidianas poligonometría .
  • Teoremas pitagóricos para n -símplices con una "esquina ortogonal"
• Trigonometría de un tetraedro ^{[ 9 ]}
  • Teorema de De Gua : un teorema de Pitágoras para un tetraedro con un vértice cúbico.
  • Una ley de senos para tetraedros
• seno polar

• Se pueden definir funciones trigonométricas para ecuaciones diferenciales fraccionarias . ^{[ 10 ]}

• En el cálculo de escalas de tiempo , las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencias se unifican en ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo, que también incluyen ecuaciones de q-diferencias . Las funciones trigonométricas pueden definirse en una escala de tiempo arbitraria (un subconjunto de los números reales).
• Las definiciones en serie de seno y coseno definen estas funciones en cualquier álgebra donde la serie converge , como los números complejos , los números p -ádicos , las matrices y varias álgebras de Banach .

• Formas polares/trigonométricas de números hipercomplejos ^{[ 11 ] [ 12 ]}
• Poligonometría: identidades trigonométricas para múltiples ángulos distintos ^{[ 13 ]}
• Las funciones elípticas de la lemniscata , singular y cósmica

• El teorema de Pitágoras en geometría no euclidiana