cálculo cuántico

El cálculo cuántico , a veces llamado cálculo sin límites , es equivalente al cálculo infinitesimal tradicional sin la noción de límites . Los dos tipos de cálculo en el cálculo cuántico son el cálculo q y el cálculo h . El objetivo de ambos tipos es encontrar "análogos" de objetos matemáticos, donde, después de tomar un cierto límite , se devuelve el objeto original. En el cálculo q , se toma el límite cuando q tiende a 1 del análogo q . De manera similar, en el cálculo h , se toma el límite cuando h tiende a 0 del análogo h . Los parámetros $q$ y $h$ pueden relacionarse mediante la fórmula $q=e^{h}$ .

Diferenciación

El diferencial q y el diferencial h se definen como:

d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)

y

d_{h}(f(x))=f(x+h)-f(x)

,

respectivamente. La derivada q y la derivada h se definen entonces como

D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}

y

D_{h}(f(x))={\frac {d_{h}(f(x))}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

respectivamente. Tomando el límite como $q\rightarrow 1$ de la q -derivada o como $h\rightarrow 0$ de la h -derivada, se puede obtener la derivada :

\lim _{q\rightarrow 1}D_{q}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}D_{h}f(x)={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}

Integración

q-integral

Una función F ( x ) es una q-antiderivada de f ( x ) si D _qF ( x ) = f ( x ). La q-antiderivada (o q-integral) se denota por ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x}$ y se puede encontrar una expresión para F ( x ) a partir de: ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x=(1-q)\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})}$ , que se denomina integral de Jackson de f ( x ). Para 0 < q < 1 , la serie converge a una función F ( x ) en un intervalo (0, A ] si | f ( x ) x ^α | está acotada en el intervalo $(0, A]$ para algún 0 ≤ α < 1 .

La q-integral es una integral de Riemann-Stieltjes con respecto a una función escalón que tiene infinitos puntos de incremento en los puntos q ^j. El salto en el punto q ^j es q ^j . Llamando a esta función escalón g _q ( t ) obtenemos dg _q ( t ) = d _q t . ^{[ 1 ]}

integral h

Una función F ( x ) es una h-antiderivada de f ( x ) si D _h F ( x ) = f ( x ). La h-integral se denota por ${\textstyle \int f(x)\,d_{h}x}$ Si a y b difieren en un múltiplo entero de h , entonces la integral definida ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,d_{h}x}$ Se define mediante una suma de Riemann de f ( x ) en el intervalo $[a, b]$ , dividido en subintervalos de igual ancho h . La motivación de la h-integral proviene de la suma de Riemann de f(x). Siguiendo la idea de la motivación de las integrales clásicas, algunas de las propiedades de estas se mantienen en la h-integral. Esta noción tiene amplias aplicaciones en el análisis numérico , y especialmente en el cálculo de diferencias finitas .

Ejemplo

En cálculo infinitesimal, la derivada de la función $x^{n}$ es $nx^{n-1}$ (para algún entero positivo) $n$ ). Las expresiones correspondientes en cálculo q y cálculo h son:

D_{q}(x^{n})={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}

dónde $[n]_{q}$ es el corchete q

[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}

y

{\begin{aligned}D_{h}(x^{n})&={\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&={\frac {1}{h}}\left(\sum _ {k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{nk}h^{k}-x^{n}}\right)\\&={\frac {1}{h}}\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{nk}h^{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{nk}h^{k-1}}\\&=nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}hx^{n-2}+\cdots +nh^{n-2}x+h^{n-1},\end{aligned}}

respectivamente. La expresión $[n]_{q}x^{n-1}$ es entonces el análogo q y ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{nk}h^{k-1}}}$ es el análogo h de la regla de potencia para potencias enteras positivas. La expansión q-Taylor permite la definición de análogos q de todas las funciones usuales, como la función seno , cuya q- derivada es el análogo q del coseno .

Historia

El cálculo h es el cálculo de diferencias finitas , estudiado por George Boole y otros, y ha demostrado ser útil en combinatoria y mecánica de fluidos . En cierto modo, el cálculo q se remonta a Leonhard Euler y Carl Gustav Jacobi , pero solo recientemente ha comenzado a encontrar utilidad en mecánica cuántica , dada su estrecha conexión con las relaciones de conmutatividad y las álgebras de Lie , específicamente los grupos cuánticos .

Véase también

Referencias

↑ Abreu, Luis Daniel (2006). "Funciones q-ortogonales con respecto a sus propios ceros" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 134 (9): 2695– 2702. doi : 10.1090/S0002-9939-06-08285-2 . JSTOR 4098119 .

Lecturas adicionales

George Gasper, Mizan Rahman, Series hipergeométricas básicas , 2.ª ed., Cambridge University Press (2004), ISBN 978-0-511-52625-1, doi : 10.1017/CBO9780511526251

Jackson, FH (1908). "Sobre las funciones q y un cierto operador de diferencia". Transactions of the Royal Society of Edinburgh . 46 (2): 253– 281. doi : 10.1017/S0080456800002751 . S2CID 123927312 .
Exton, H. (1983). Funciones q-hipergeométricas y aplicaciones . Nueva York: Halstead Press. ISBN 0-85312-491-4.
Kac, Victor ; Cheung, Pokman (2002). Cálculo cuántico . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8.

[1] Abreu, Luis Daniel (2006). "Funciones q-ortogonales con respecto a sus propios ceros" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 134 (9): 2695– 2702. doi : 10.1090/S0002-9939-06-08285-2 . JSTOR 4098119 .

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