espacio girovectorial

Un espacio girovectorial es un concepto matemático propuesto por Abraham A. Ungar para estudiar la geometría hiperbólica, en analogía con el uso de espacios vectoriales en la geometría euclidiana . ^{[ 1 ]} Ungar introdujo el concepto de girovectores cuya suma se basa en girogrupos, en lugar de vectores cuya suma se basa en grupos . Ungar desarrolló su concepto como una herramienta para la formulación de la relatividad especial , como alternativa al uso de transformaciones de Lorentz para representar composiciones de velocidades (también llamadas transformaciones de Lorentz ; estas transformaciones son aspectos de las velocidades relativas y no deben confundirse con las traslaciones ). Esto se logra mediante la introducción de "operadores giroscópicos"; se utilizan dos vectores de velocidad 3D para construir un operador que actúa sobre otra velocidad 3D.

Nombre

Los girogrupos son estructuras de tipo grupo débilmente asociativas. Ungar propuso el término girogrupo para lo que denominó girogrupo girocommutativo, reservando el término girogrupo para el caso no girocommutativo, en analogía con la distinción entre grupos y grupos abelianos . Los girogrupos son un tipo de bucle de Bol . Los girogrupos girocommutativos son equivalentes a los bucles K ^{[ 2 ]} , aunque se definen de manera diferente. También se utilizan los términos bucle de Bruck ^{[ 3 ]} y conjunto simétrico diádico ^{[ 4 ] .}

Matemáticas de los espacios girovectoriales

girogrupos

Axiomas

Un girogrupo ( G , $\oplus$ ) consiste en un conjunto subyacente G y una operación binaria $\oplus$ que satisfacen los siguientes axiomas:

En G hay al menos un elemento 0 llamado identidad izquierda con 0 $\oplus$ a = a para todo a en G.
Para cada a en G hay un elemento $\ominus$ a en G llamado inverso izquierdo de a con ( $\ominus$ a ) $\oplus$ a = 0.
Para cualesquiera a , b , c en G existe un único elemento gyr[ a , b ] c en G tal que la operación binaria obedece la ley giroasociativa izquierda: a $\oplus$ ( b $\oplus$ c ) = ( a $\oplus$ b ) $\oplus$ giro[ a , b ] c
El mapa gyr[ a , b ]: G → G dado por c ↦ gyr[ a , b ] c es un automorfismo del magma ( G , $\oplus$ ) – es decir, gyr[ a , b ] es un miembro de Aut( G , $\oplus$ ) y el automorfismo gyr[ a , b ] de G se llama giroautomorfismo de G generado por a , b en G . La operación gyr: G × G → Aut( G , $\oplus$ ) se denomina el girador de G.
El giroautomorfismo gyr[ a , b ] tiene la propiedad de bucle izquierdo gyr[ a , b ] = gyr[ a ] $\oplus$ b , b ]

El primer par de axiomas es similar a los axiomas de grupo. El último par presenta los axiomas del girador y el axioma central vincula ambos pares.

Dado que un girogrupo tiene inversos y una identidad, califica como un cuasigrupo y un bucle .

Los girogrupos son una generalización de los grupos . Cada grupo es un ejemplo de un girogrupo con gyr[ a , b ] definido como el mapa identidad para todos los a y b en G .

^{En [ 5 ]} se da un ejemplo de un girogrupo finito .

Identidades

Algunas identidades que se cumplen en cualquier girogrupo ( G , $\oplus$ ) son:

$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))$ (giro)
$\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}$ (asociatividad izquierda)
$(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )$ (asociatividad derecha)

Además, se puede demostrar la ley de inversión de la giración, que es la motivación para la definición de girocommutatividad que se presenta a continuación:

$\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )$ (ley de inversión de giro)

Algunos teoremas adicionales que satisface el grupo de giro de cualquier grupo giroscópico incluyen:

$\mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I$ (giros de identidad)
$\mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]$ (ley de inversión del giroautomorfismo)
$\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$ (giro incluso propiedad)
$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]$ (propiedad del bucle derecho)
$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]$ (propiedad del bucle izquierdo)

Se proporcionan más identidades en la página 50 de ^{[ 6 ]} . Una consecuencia particularmente útil de las identidades anteriores es que los girogrupos satisfacen la propiedad de Bol izquierda.

$(\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))$

Girocommutatividad

Un girogrupo (G, $\oplus$ ) es girocommutativo si su operación binaria obedece la ley girocommutativa: a $\oplus$ b = gyr[ a , b ]( b $\oplus$ a ). Para la suma de velocidades relativistas, esta fórmula que muestra el papel de la rotación relacionando a + b y b + a fue publicada en 1914 por Ludwik Silberstein . ^[⁷^]^[⁸^]

Coadición

En cada grupo giroscópico, se puede definir una segunda operación llamada coadición : una $\boxplus$ b = a $\oplus$ giro[ a , $\ominus$ b ] b para todo a , b ∈ G . La coadición es conmutativa si la suma del girogrupo es giroconmutativa.

Modelo de disco/bola de Beltrami-Klein y adición de Einstein

Las velocidades relativistas pueden considerarse como puntos en el modelo de Beltrami-Klein de geometría hiperbólica, por lo que la suma de vectores en dicho modelo puede expresarse mediante la fórmula de suma de velocidades . Para que la fórmula se generalice a la suma de vectores en el espacio hiperbólico de dimensiones mayores que 3, debe escribirse de forma que se evite el uso del producto vectorial y se utilice en su lugar el producto escalar .

En el caso general, la suma de velocidades de Einstein de dos velocidades $\mathbf {u}$ y $\mathbf {v}$ se da en forma independiente de las coordenadas como:

\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}

dónde $\gamma _{\mathbf {u} }$ es el factor gamma dado por la ecuación $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

Usando coordenadas, esto se convierte en:

{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}

dónde $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

La suma de velocidades de Einstein es conmutativa y asociativa solo cuando $\mathbf {u}$ y $\mathbf {v}$ son paralelas . De hecho

\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )

y

\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}

donde "gyr" es la abstracción matemática de la precesión de Thomas en un operador llamado giro de Thomas y dado por

\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))

para todo w . La precesión de Thomas tiene una interpretación en geometría hiperbólica como el defecto triangular hiperbólico negativo.

composición de la transformación de Lorentz

Si la forma matricial de 3 × 3 de la rotación aplicada a 3 coordenadas viene dada por gyr[ u , v ], entonces la rotación matricial de 4 × 4 aplicada a 4 coordenadas viene dada por:

\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}

. ^{[ 9 ]}

La composición de dos transformaciones de Lorentz B( u ) y B( v ) de velocidades u y v viene dada por: ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )

Este hecho de que B( u $\oplus$ v ) o B( v $\oplus$ u ) se puede usar dependiendo de si escribes la rotación antes o después, lo que explica la paradoja de la composición de la velocidad .

La composición de dos transformaciones de Lorentz L( u , U) y L( v , V) que incluyen rotaciones U y V viene dada por: ^{[ 11 ]}

L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)

En lo anterior, un boost se puede representar como una matriz de 4 × 4. La matriz de boost B( _v ) _significael boost B que utiliza los componentes de v , es decir, _v1, v2 , v3 en las entradas de la matriz, o más bien los componentes de v / c en la representación que se utiliza en la sección Transformación de Lorentz#Formas matriciales . Las entradas de la matriz dependen de los componentes de la 3-velocidad v , y eso es lo que significa la notación B( v ). Podría argumentarse que las entradas dependen de los componentes de la 4-velocidad porque 3 de las entradas de la 4-velocidad son iguales a las entradas de la 3-velocidad, pero la utilidad de parametrizar el boost por la 3-velocidad es que el boost resultante que se obtiene de la composición de dos boosts utiliza los componentes de la composición de 3-velocidad u. $\oplus$ v en la matriz de 4 × 4 B( u $\oplus$ v ). Pero el boost resultante también necesita ser multiplicado por una matriz de rotación porque la composición de boost (es decir, la multiplicación de dos matrices de 4 × 4) no resulta en un boost puro sino en un boost y una rotación, es decir, una matriz de 4 × 4 que corresponde a la rotación Gyr[ u , v ] para obtener B( u )B( v ) = B( u $\oplus$ v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v $\oplus$ u ).

Espacios girovectoriales de Einstein

Sea s cualquier constante positiva, sea (V,+,.) cualquier espacio real con producto interno y sea V _s ={ v ∈ V :| v |<s}. Un espacio girovectorial de Einstein ( V _s , $\oplus$ , $\otimes$ ) es un girogrupo de Einstein ( V _s , $\oplus$ ) con multiplicación escalar dada por r $\otimes$ v = s tanh( r tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v ∈ V _s , v ≠ 0 y r $\otimes$ 0 = 0 con la notación v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

La multiplicación escalar de Einstein no se distribuye sobre la suma de Einstein excepto cuando los girovectores son colineales (monodistributividad), pero tiene otras propiedades de los espacios vectoriales: Para cualquier entero positivo n y para todos los números reales r , r ₁ , r ₂ y v ∈ V _s :

Modelo de disco/bola de Poincaré y adición de Möbius

La transformación de Möbius del disco unitario abierto en el plano complejo viene dada por la descomposición polar.

z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}

que se puede escribir como

e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}

que define la suma de Möbius

{a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}

.

Para generalizar esto a dimensiones superiores, los números complejos se consideran como vectores en el plano. $\mathbf {\mathrm {R} } ^{2}$ y la suma de Möbius se reescribe en forma vectorial como:

\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}

Esto da como resultado la suma vectorial de puntos en el modelo de bola de Poincaré de geometría hiperbólica donde el radio s=1 para el disco unitario complejo ahora se convierte en cualquier s>0.

Espacios girovectoriales de Möbius

Sea s cualquier constante positiva, sea (V,+,.) cualquier espacio real con producto interno y sea V _s ={ v ∈ V :| v |<s}. Un espacio girovectorial de Möbius ( V _s , $\oplus$ , $\otimes$ ) es un girogrupo de Möbius ( V _s , $\oplus$ ) con multiplicación escalar dada por r $\otimes$ v = s tanh( r tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v ∈ V _s , v ≠ 0 y r $\otimes$ 0 = 0 con la notación v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

La multiplicación escalar de Möbius coincide con la multiplicación escalar de Einstein (véase la sección anterior), y esto se debe a que la suma de Möbius y la suma de Einstein coinciden para vectores paralelos.

Modelo de espacio de velocidades adecuado y suma de velocidades adecuada

Un modelo de espacio de velocidades adecuado de geometría hiperbólica viene dado por velocidades adecuadas con suma vectorial dada por la fórmula de suma de velocidades adecuadas: ^{[ 6 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

\mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u}

dónde $\beta _{\mathbf {w} }$ es el factor beta dado por $\beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

Esta fórmula proporciona un modelo que utiliza todo el espacio, en comparación con otros modelos de geometría hiperbólica que utilizan discos o semiplanos.

Un espacio girovectorial de velocidad propio es un espacio real de producto interno V, con la adición del grupo giroscópico de velocidad propio. $\oplus _{U}$ y con multiplicación escalar definida por r $\otimes$ v = s sinh( r sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v ∈ V , v ≠ 0 y r $\otimes$ 0 = 0 con la notación v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

Isomorfismos

Un isomorfismo de espacio girovectorial preserva la suma de grupos giroscópicos, la multiplicación escalar y el producto interno.

Los tres espacios girovectoriales de Möbius, Einstein y Velocidad Propia son isomorfos.

Si M, E y U son espacios girovectoriales de Möbius, Einstein y de velocidad propia respectivamente, con elementos v _m , v _e y v _{u ,} entonces los isomorfismos vienen dados por:

De esta tabla se obtiene la relación entre $\oplus _{E}$ y $\oplus _{M}$ viene dada por las ecuaciones:

$\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)$

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)$

Esto está relacionado con la conexión entre las transformaciones de Möbius y las transformaciones de Lorentz .

Girotrigonometría

La girotrigonometría es el uso de conceptos giroscópicos para estudiar triángulos hiperbólicos .

La trigonometría hiperbólica, tal como se estudia habitualmente, utiliza las funciones hiperbólicas cosh, sinh, etc., lo que contrasta con la trigonometría esférica , que utiliza las funciones trigonométricas euclidianas cos y sin, pero con identidades de triángulos esféricos en lugar de identidades de triángulos planos ordinarios . La girotrigonometría adopta el enfoque de utilizar las funciones trigonométricas ordinarias, pero junto con identidades de girotriángulos.

Centros triangulares

El estudio de los centros de triángulos se centra tradicionalmente en la geometría euclidiana, pero también pueden estudiarse en geometría hiperbólica. Mediante girotrigonometría, se pueden calcular expresiones para coordenadas baricéntricas trigonométricas que tienen la misma forma tanto en geometría euclidiana como hiperbólica. Para que las expresiones coincidan, no deben incluir la especificación de que la suma de los ángulos sea de 180 grados. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

suma de giroparalelogramas

Mediante girotrigonometría, se puede hallar una suma de girovectores que opera según la ley del giroparalelogramo. Esta es la co-suma de la operación de girogrupo. La suma de giroparalelogramo es conmutativa.

La ley del giroparalelogramo es similar a la ley del paralelogramo en el sentido de que un giroparalelogramo es un cuadrilátero hiperbólico cuyas dos diagonales se intersecan en sus puntos medios, al igual que un paralelogramo es un cuadrilátero euclidiano cuyas dos diagonales se intersecan en sus puntos medios. ^{[ 17 ]}

Vectores de Bloch

Los vectores de Bloch que pertenecen a la bola unitaria abierta del espacio euclidiano tridimensional pueden estudiarse con la suma de Einstein ^{[ 18 ]} o la suma de Möbius. ^{[ 6 ]}

Reseñas de libros

Una reseña de uno de los libros anteriores sobre girovectores ^{[ 19 ]} dice lo siguiente:

A lo largo de los años, se han realizado algunos intentos por promover el estilo no euclidiano para la resolución de problemas en relatividad y electrodinámica. El fracaso de estos intentos, sumado a la ausencia de resultados positivos, debería hacer reflexionar a cualquiera que considere emprender una tarea similar. Hasta hace poco, nadie estaba en condiciones de ofrecer una mejora respecto a las herramientas disponibles desde 1912. En su nuevo libro, Ungar aporta el elemento crucial que faltaba en el conjunto de herramientas del estilo no euclidiano: un elegante formalismo algebraico no asociativo que aprovecha al máximo la estructura de la ley de composición de velocidades de Einstein. ^{[ 20 ]}

Notas y referencias

↑ Abraham A. Ungar (2005), "Geometría hiperbólica analítica: fundamentos matemáticos y aplicaciones", publicado por World Scientific, ISBN 981-256-457-8, ISBN 978-981-256-457-3
↑ Hubert Kiechle (2002), "Teoría de los bucles K", Publicado por Springer, ISBN 3-540-43262-0, ISBN 978-3-540-43262-3
↑ Larissa Sbitneva (2001), Geometría no asociativa de la relatividad especial, International Journal of Theoretical Physics, Springer, Vol. 40, No. 1 / enero de 2001 doi : 10.1023/A:1003764217705
^ J Lawson Y Lim (2004), Medios sobre conjuntos de simetría diádica y descomposiciones polares, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer, Vol.74, No.1 / diciembre de 2004 doi : 10.1007/BF02941530
↑ Ungar, AA (2000). "Trigonometría hiperbólica en el modelo de velocidad relativista de Einstein de la geometría hiperbólica" . Computers & Mathematics with Applications . 40 ( 2–3 ): 313–332 [317]. doi : 10.1016/S0898-1221(00)00163-2 .
1 2 3 Geometría hiperbólica analítica y la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein , Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9
↑ Ludwik Silberstein, La teoría de la relatividad, Macmillan, 1914
↑ Página 214, Capítulo 5, Matrices simplécticas: sistemas de primer orden y relatividad especial, Mark Kauderer, World Scientific, 1994, ISBN 978-981-02-1984-0
1 2 Ungar, A. A: La paradoja de la composición de velocidad relativista y la rotación de Thomas. Found. Phys. 19, 1385–1396 (1989) doi : 10.1007/BF00732759
↑ Ungar, AA (2000). "El principio de reciprocidad de velocidad compuesta relativista". Foundations of Physics . 30 (2). Springer: 331– 342. Bibcode : 2000FoPh...30..331U . CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . doi : 10.1023/A:1003653302643 . S2CID 118634052 .
↑ ec. (55), Rotación de Thomas y parametrización del grupo de transformación de Lorentz, AA Ungar – Foundations of Physics Letters, 1988
↑ Precesión de Thomas: sus axiomas de girogrupo subyacentes y su uso en geometría hiperbólica y física relativista, Abraham A. Ungar, Foundations of Physics, vol. 27, n.º 6, 1997 doi : 10.1007/BF02550347
↑ Ungar, AA (2006), "El grupo de transformación de velocidad propia relativista" Archivado el 25-10-2017 en Wayback Machine , Progress in Electromagnetics Research , PIER 60 , pp. 85–94, ecuación (12)
↑ Coordenadas baricéntricas hiperbólicas , Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, Volumen 6, Número 1, Artículo 18, págs. 1–35, 2009
↑ Centros de triángulos hiperbólicos: El enfoque relativista especial , Abraham Ungar, Springer, 2010
↑ Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica: una introducción comparativa. Archivado el 19 de mayo de 2012 en Wayback Machine , Abraham Ungar, World Scientific, 2010.
↑ Abraham A. Ungar (2009), "Un enfoque del espacio girovectorial a la geometría hiperbólica", Morgan & Claypool, ISBN 1-59829-822-4, ISBN 978-1-59829-822-2
↑ Observación geométrica para la fidelidad de Bures entre dos estados de un cúbit , Jing-Ling Chen, Libin Fu, Abraham A. Ungar, Xian-Geng Zhao, Physical Review A, vol. 65, número 2
↑ Abraham A. Ungar (2002), "Más allá de la ley de adición de Einstein y su precesión giroscópica de Thomas: la teoría de los girogrupos y los espacios girovectoriales", Kluwer, ISBN 1-4020-0353-6, ISBN 978-1-4020-0353-0
↑ Scott Walter, Foundations of Physics 32:327–330 (2002). Una reseña de libro archivada el 16 de mayo de 2011 en Wayback Machine ,

Domenico Giulini, Estructuras algebraicas y geométricas de la relatividad especial , Capítulo en "Relatividad especial: ¿Sobrevivirá los próximos 100 años?", editado por Claus Lämmerzahl, Jürgen Ehlers, Springer, 2006.

Lecturas adicionales

AA Ungar (2009). Girovectores: una aproximación a la geometría hiperbólica . Conferencias de síntesis sobre matemáticas y estadística. Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-159-829-822-2.
TM Rassias (2000). Análisis matemático y aplicaciones . Colección de artículos de matemáticas. Hadronic Press. pp. 307, 326, 336. ISBN 157-485-045-8.
Maks A. Akivis y Vladislav V. Goldberg (2006), Álgebras locales de un cuasigrupo diferencial , Boletín de la AMS, Volumen 43, Número 2
Oğuzhan Demirel, Emine Soytürk (2008), El teorema de Carnot hiperbólico en el modelo de disco de Poincaré de la geometría hiperbólica , Novi Sad J. Math. Vol. 38, No. 2, 2008, 33–39
M Ferreira (2008), Transformadas wavelet continuas esféricas derivadas de secciones del grupo de Lorentz, Análisis armónico aplicado y computacional, Elsevier arXiv : 0706.1956
T Foguel (2000), Comment. Math. Univ. Carolinae, Grupos, transversales y bucles
Yaakov Friedman (1994), "Dominios simétricos acotados y la estructura triple JB* en física", Jordan Algebras: Actas de la conferencia celebrada en Oberwolfach, Alemania, del 9 al 15 de agosto de 1992, por Wilhelm Kaup, Kevin McCrimmon, Holger P. Petersson, publicado por Walter de Gruyter, ISBN 3-11-014251-1, ISBN 978-3-11-014251-8
Florian Girelli, Etera R. Livine (2004), La relatividad especial como una geometría no conmutativa: Lecciones para la relatividad especial deformada , Phys. Rev. D 81, 085041 (2010)
Sejong Kim, Jimmie Lawson (2011), Bucles de Bruck suaves, espacios simétricos y espacios vectoriales no asociativos , Demonstratio Mathematica, vol. XLIV, n.º 4
Peter Levay (2003), Fase geométrica de estado mixto a partir de rotaciones de Thomas
Azniv Kasparian, Abraham A. Ungar, (2004) Espacios girovectoriales de Lie, J. Geom. Symm. Phys.
R. Olah-Gal, J. Sandor (2009), Sobre demostraciones trigonométricas del teorema de Steiner-Lehmus , Forum Geometricorum, 2009 – forumgeom.fau.edu
Gonzalo E. Reyes (2003), Sobre la ley del movimiento en la relatividad especial arXiv : physics/0302065
Krzysztof Rozga (2000), Pacific Journal of Mathematics, Vol. 193, No. 1, Sobre extensiones centrales de girogrupos girocommutativos
LV Sabinin (1995), "Sobre los girogrupos de Hungría" Archivado el 30-08-2009 en Wayback Machine , RUSS MATH SURV, 1995, 50 (5), 1095–1096.
LV Sabinin, LL Sabinina, Larissa Sbitneva (1998), Aequationes Mathematicae , Sobre la noción de girogrupo
LV Sabinin, Larissa Sbitneva, IP Shestakov (2006), "Álgebra no asociativa y sus aplicaciones", CRC Press, ISBN 0-8247-2669-3, ISBN 978-0-8247-2669-0
F. Smarandache, C. Barbu (2010), El teorema hiperbólico de Menelao en el modelo del disco de Poincaré de la geometría hiperbólica
Roman Ulrich Sexl, Helmuth Kurt Urbantke, (2001), "Relatividad, grupos, partículas: relatividad especial y simetría relativista en física de campos y partículas", páginas 141–142, Springer, ISBN 3-211-83443-5, ISBN 978-3-211-83443-5

Enlaces externos

La relatividad especial de Einstein: el punto de vista de la geometría hiperbólica
Ungar, Abraham A. (2001). "Trigonometría hiperbólica y su aplicación en el modelo de la bola de Poincaré de la geometría hiperbólica" . pp. 6–19 . CiteSeerX 10.1.1.17.6107 .

[anhyp-1] Abraham A. Ungar (2005), "Geometría hiperbólica analítica: fundamentos matemáticos y aplicaciones", publicado por World Scientific, ISBN 981-256-457-8, ISBN 978-981-256-457-3

[2] Hubert Kiechle (2002), "Teoría de los bucles K", Publicado por Springer, ISBN 3-540-43262-0, ISBN 978-3-540-43262-3

[3] Larissa Sbitneva (2001), Geometría no asociativa de la relatividad especial, International Journal of Theoretical Physics, Springer, Vol. 40, No. 1 / enero de 2001 doi : 10.1023/A:1003764217705

[4] J Lawson Y Lim (2004), Medios sobre conjuntos de simetría diádica y descomposiciones polares, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer, Vol.74, No.1 / diciembre de 2004 doi : 10.1007/BF02941530

[5] Ungar, AA (2000). "Trigonometría hiperbólica en el modelo de velocidad relativista de Einstein de la geometría hiperbólica" . Computers & Mathematics with Applications . 40 ( 2–3 ): 313–332 [317]. doi : 10.1016/S0898-1221(00)00163-2 .

[ung2008-6] 1 2 3 Geometría hiperbólica analítica y la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein , Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9

[7] Ludwik Silberstein, La teoría de la relatividad, Macmillan, 1914

[8] Página 214, Capítulo 5, Matrices simplécticas: sistemas de primer orden y relatividad especial, Mark Kauderer, World Scientific, 1994, ISBN 978-981-02-1984-0

[relcompara-9] 1 2 Ungar, A. A: La paradoja de la composición de velocidad relativista y la rotación de Thomas. Found. Phys. 19, 1385–1396 (1989) doi : 10.1007/BF00732759

[10] Ungar, AA (2000). "El principio de reciprocidad de velocidad compuesta relativista". Foundations of Physics . 30 (2). Springer: 331– 342. Bibcode : 2000FoPh...30..331U . CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . doi : 10.1023/A:1003653302643 . S2CID 118634052 .

[11] . (55), Rotación de Thomas y parametrización del grupo de transformación de Lorentz, AA Ungar – Foundations of Physics Letters, 1988

[ung1997-12] Precesión de Thomas: sus axiomas de girogrupo subyacentes y su uso en geometría hiperbólica y física relativista, Abraham A. Ungar, Foundations of Physics, vol. 27, n.º 6, 1997 doi : 10.1007/BF02550347

[13] Ungar, AA (2006), "El grupo de transformación de velocidad propia relativista" Archivado el 25-10-2017 en Wayback Machine , Progress in Electromagnetics Research , PIER 60 , pp. 85–94, ecuación (12)

[14] Coordenadas baricéntricas hiperbólicas , Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, Volumen 6, Número 1, Artículo 18, págs. 1–35, 2009

[15] Centros de triángulos hiperbólicos: El enfoque relativista especial , Abraham Ungar, Springer, 2010

[barycalc-16] Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica: una introducción comparativa. Archivado el 19 de mayo de 2012 en Wayback Machine , Abraham Ungar, World Scientific, 2010.

[17] Abraham A. Ungar (2009), "Un enfoque del espacio girovectorial a la geometría hiperbólica", Morgan & Claypool, ISBN 1-59829-822-4, ISBN 978-1-59829-822-2

[18] Observación geométrica para la fidelidad de Bures entre dos estados de un cúbit , Jing-Ling Chen, Libin Fu, Abraham A. Ungar, Xian-Geng Zhao, Physical Review A, vol. 65, número 2

[19] Abraham A. Ungar (2002), "Más allá de la ley de adición de Einstein y su precesión giroscópica de Thomas: la teoría de los girogrupos y los espacios girovectoriales", Kluwer, ISBN 1-4020-0353-6, ISBN 978-1-4020-0353-0

[20] Scott Walter, Foundations of Physics 32:327–330 (2002). Una reseña de libro archivada el 16 de mayo de 2011 en Wayback Machine ,

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ] .

En [ 5 ]

[ 6 ]

[

[

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]