Forma de onda de Maass

En matemáticas, las formas de Maass o formas de onda de Maass se estudian en la teoría de formas automórficas . Las formas de Maass son funciones suaves de valor complejo del semiplano superior, que se transforman de manera similar bajo la operación de un subgrupo discreto de como formas modulares. Son formas propias del operador hiperbólico de Laplace definido en y satisfacen ciertas condiciones de crecimiento en las cúspides de un dominio fundamental de . A diferencia de las formas modulares, las formas de Maass no necesitan ser holomorfas. Fueron estudiadas por primera vez por Hans Maass en 1949. ${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle \mathbb {H}}$${\estilo de visualización \Gamma}$

El grupo

${\displaystyle G:=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} ):ad-bc=1\right\}}$

opera en el semiplano superior

${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\nombre del operador {Im} (z)>0\}}$

por transformaciones lineales fraccionarias:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Se puede extender a una operación definiendo: ${\displaystyle \mathbb {H} \taza \{\infty \}\taza \mathbb {\mathbb {R} } }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\begin{cases}{\frac {az+b}{cz+d}}&{\text{if }}cz+d\neq 0,\\\infty &{\text{if }}cz+d=0,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot \infty :=\lim _{\operatorname {Im} (z)\to \infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&{\text{if }}c\neq 0\\\infty &{\text{if }}c=0\end{cases}}}$

La medida del radón

${\displaystyle d\mu (z):={\frac {dxdy}{y^{2}}}}$

definido en es invariante bajo la operación de . ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Sea un subgrupo discreto de . Un dominio fundamental para es un conjunto abierto , de modo que existe un sistema de representantes de con ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle F\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$

${\displaystyle F\subset R\subset {\overline {F}}{\text{ and }}\mu ({\overline {F}}\setminus F)=0.}$

Un dominio fundamental para el grupo modular está dado por ${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle F:=\left\{z\in \mathbb {H} \mid \left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\frac {1}{2}},|z|>1\right\}}$

(ver Forma modular ).

Una función se llama -invariante si es válida para todos y para todos . ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f(\gamma z)=f(z)}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$

Para cada función medible e invariante la ecuación ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{F}f(z)\,d\mu (z)=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z)\,d\mu (z),}$

Se cumple. Aquí la medida en el lado derecho de la ecuación es la medida inducida en el cociente.${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} .}$

El operador hiperbólico de Laplace se define como ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \Delta :C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),}$

${\displaystyle \Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

Una forma de Maass para el grupo es una función suave de valor complejo que satisface ${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z){\text{ for all }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in \mathbb {H} }$
2. ${\displaystyle {\text{there exists }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ with }}\Delta (f)=\lambda f}$
3. ${\displaystyle {\text{there exists }}N\in \mathbb {N} {\text{ with }}f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ for }}y\geq 1}$

Si

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ for all }}z\in \mathbb {H} }$

Nosotros la llamamos forma de cúspide de Maass. ${\displaystyle f}$

Sea una forma de Maass. Ya que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)}$

tenemos:

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {H} :\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).}$

Por lo tanto tiene una expansión de Fourier de la forma ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},}$

con funciones de coeficiente${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} .}$

Es fácil demostrar que es forma de cúspide de Maass si y sólo si . ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{0}(y)=0\;\;\forall y>0}$

Podemos calcular las funciones de coeficientes de forma precisa. Para ello necesitamos la función de Bessel . ${\displaystyle K_{v}}$

Definición: La función de Bessel se define como ${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{\frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.}$

La integral converge localmente de manera uniforme y absoluta para en y la desigualdad ${\displaystyle y>0}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)}$

Válido para todos . ${\displaystyle y>4}$

Por lo tanto, disminuye exponencialmente para . Además, tenemos para todos los . ${\displaystyle |K_{s}|}$${\displaystyle y\to \infty }$${\displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,y>0}$

Prueba: Tenemos

${\displaystyle \Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.}$

Por la definición de los coeficientes de Fourier obtenemos

${\displaystyle a_{n}(y)=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx}$

para${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

En conjunto se deduce que

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}(y)&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}$

para${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

En (1) usamos que el n -ésimo coeficiente de Fourier de es para el primer término de suma. En el segundo término cambiamos el orden de integración y diferenciación, lo cual está permitido ya que f es suave en y . Obtenemos una ecuación diferencial lineal de segundo grado: ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$${\displaystyle (2\pi in)^{2}a_{n}(y)}$

${\displaystyle y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0}$

Se puede demostrar que para cada solución existen coeficientes únicos con la propiedad${\displaystyle n=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }.}$

Para cada solución hay coeficientes de la forma ${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)}$

para unicidad . Aquí y están las funciones de Bessel. ${\displaystyle c_{n},d_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle K_{v}(s)}$${\displaystyle I_{v}(s)}$

Las funciones de Bessel crecen exponencialmente, mientras que las funciones de Bessel decrecen exponencialmente. Junto con la condición de crecimiento polinomial 3) obtenemos (también ) para un único . QED${\displaystyle I_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)}$${\displaystyle d_{n}=0}$${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$

Formas de Maass pares e impares: Sea . Entonces i opera sobre todas las funciones por y conmuta con el laplaciano hiperbólico. Una forma de Maass se llama par, si e impar si . Si f es una forma de Maass, entonces es una forma de Maass par y una forma de Maass impar y se cumple que . ${\displaystyle i(z):=-{\overline {z}}}$${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle i(f):=f(i(z))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i(f)=f}$${\displaystyle i(f)=-f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f+i(f))}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$${\displaystyle f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$

Dejar

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}}$

sea ​​una forma de cúspide de Maass. Definimos la función L de como ${\displaystyle f}$

${\displaystyle L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}.}$

Entonces la serie converge para y podemos continuarla hasta una función completa en . ${\displaystyle L(s,f)}$${\textstyle \Re (s)>{\frac {3}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si es par o impar obtenemos ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon -\nu }{2}}\right)L(s,f).}$

Aquí si es par y si es impar. Entonces se satisface la ecuación funcional .${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon =-1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda (s,f)=(-1)^{\varepsilon }\Lambda (1-s,f).}$

La serie de Eisenstein no holomorfa se define para y como ${\displaystyle z=x+iy\in \mathbb {H} }$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}}$

¿Dónde está la función Gamma ? ${\displaystyle \Gamma (s)}$

La serie converge absolutamente en para y localmente uniformemente en , ya que se puede demostrar que la serie ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \mathbb {H} \times \{\Re (s)>1\}}$

${\displaystyle S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}}$

converge absolutamente en , si . Más precisamente, converge uniformemente en cada conjunto , para cada conjunto compacto y cada . ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \Re (s)>2}$${\displaystyle K\times \{\Re (s)\geq \alpha \}}$${\displaystyle K\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle \alpha >2}$

Sólo demostramos la invariancia y la ecuación diferencial. Una prueba de la suavidad se puede encontrar en Deitmar o Bump. La condición de crecimiento se deduce de la expansión de Fourier de la serie de Eisenstein. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Primero demostraremos la invariancia. Sea ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}}$

sea ​​el grupo estabilizador correspondiente a la operación de sobre . ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}}$

Proposición. E es -invariante.${\displaystyle \Gamma (1)}$

Prueba. Definir:

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}.}$

(a) converge absolutamente en para y${\displaystyle {\tilde {E}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \Re (s)>1}$${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).}$

Desde

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow \Im (\gamma z)={\frac {\Im (z)}{|cz+d|^{2}}},}$

Nosotros obtenemos

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}$

Esto demuestra la convergencia absoluta en${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

Además, se deduce que

${\displaystyle \zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},}$

desde el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}}$

es una biyección (a) sigue.

(b) Tenemos para todos . ${\displaystyle E(\gamma z,s)=E(z,s)}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$

Porque lo conseguimos ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)}$

${\displaystyle {\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(z,s).}$

Junto con (a), también es invariante bajo . QED ${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma (1)}$

Proposición. E es una forma propia del operador hiperbólico de Laplace.

Necesitamos el siguiente lema:

Lema: conmuta con la operación de sobre . Más precisamente para todos tenemos:${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.}$

Prueba: El grupo es generado por los elementos de la forma ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$

Se calcula la demanda para estos generadores y se obtiene la demanda para todos . QED ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Como es suficiente demostrar la ecuación diferencial para , tenemos: ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)}$

Además, uno tiene

${\displaystyle \Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}.}$

Dado que el operador de Laplace conmuta con la operación de , obtenemos ${\displaystyle \Gamma (1)}$

${\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)\Im (\gamma z)^{s}}$

y entonces

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).}$

Por lo tanto, la ecuación diferencial se cumple para E en . Para obtener la afirmación para todo , considere la función . Al calcular explícitamente la expansión de Fourier de esta función, obtenemos que es meromórfica. Como se anula para , debe ser la función cero según el teorema de identidad . ${\displaystyle \Re (s)>3}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)}$${\displaystyle \Re (s)>3}$

La serie de Eisenstein no holomorfa tiene una expansión de Fourier

${\displaystyle E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{s-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)&&n\neq 0\end{aligned}}}$

Si , tiene una continuación meromórfica en . Es holomorfa excepto por los polos simples en${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle s=0,1.}$

La serie de Eisenstein satisface la ecuación funcional

${\displaystyle E(z,s)=E(z,1-s)}$

Para todos . ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$

Uniformemente localmente en las condiciones de crecimiento ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma })}$

sostiene, donde${\displaystyle \sigma =\max(\operatorname {Re} (s),1-\operatorname {Re} (s)).}$

La continuación meromórfica de E es muy importante en la teoría espectral del operador de Laplace hiperbólico.

Para sea el núcleo de la proyección canónica ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Gamma (N)}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$

Llamamos subgrupo de congruencia principal a un subgrupo de nivel . Un subgrupo se llama subgrupo de congruencia, si existe , de modo que . Todos los subgrupos de congruencia son discretos. ${\displaystyle \Gamma (N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Gamma (N)\subseteq \Gamma }$

Dejar

${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.}$

Para un subgrupo de congruencia sea la imagen de en . Si S es un sistema de representantes de , entonces ${\displaystyle \Gamma ,}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}}$

${\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D}$

es un dominio fundamental para . El conjunto está determinado de forma única por el dominio fundamental . Además, es finito. ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle SD}$${\displaystyle S}$

Los puntos para se denominan cúspides del dominio fundamental y son un subconjunto de . ${\displaystyle \gamma \infty }$${\displaystyle \gamma \in S}$${\displaystyle SD}$${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$

Para cada cúspide existe con . ${\displaystyle c}$${\displaystyle \sigma \in \Gamma (1)}$${\displaystyle \sigma \infty =c}$

Sea un subgrupo de congruencia y${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Definimos el operador hiperbólico de Laplace del peso como ${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \Delta _{k}:C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$

Esta es una generalización del operador hiperbólico de Laplace . ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta }$

Definimos una operación de on por ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$

${\displaystyle f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)}$

dónde

${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ).}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle (\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)}$

Válido para todos y cada uno . ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ),k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Por lo tanto, opera sobre el espacio vectorial ${\displaystyle \Delta _{k}}$

${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}}$.

Definición. Una forma de Maass de peso para es una función que es una función propia de y tiene un crecimiento moderado en las cúspides. ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \Delta _{k}}$

El término crecimiento moderado en las cúspides necesita una aclaración. El infinito es una cúspide para una función es de crecimiento moderado en si está acotada por un polinomio en y cuando . Sea otra cúspide. Entonces existe con . Sea . Entonces , donde es el subgrupo de congruencia . Decimos que es de crecimiento moderado en la cúspide , si es de crecimiento moderado en . ${\displaystyle \Gamma ,}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle f(x+iy)}$${\displaystyle y\to \infty }$${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \theta (\infty )=c}$${\displaystyle f':=f_{||k}\theta }$${\displaystyle f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \Gamma '}$${\displaystyle \theta ^{-1}\Gamma \theta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle \infty }$

Definición. Si contiene un subgrupo de congruencia principal de nivel , decimos que es cuspidal en el infinito, si ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {H} :\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.}$

Decimos que es cuspidal en la cúspide si es cuspidal en el infinito. Si es cuspidal en cada cúspide, llamamos forma de cúspide . ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Damos un ejemplo sencillo de una forma de Maass de peso para el grupo modular: ${\displaystyle k>1}$

Ejemplo. Sea una forma modular de peso par para Entonces es una forma de Maass de peso para el grupo . ${\displaystyle g:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma (1).}$${\displaystyle f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma (1)}$

Sea un subgrupo de congruencia de y sea el espacio vectorial de todas las funciones medibles con para todos los que satisfacen ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f_{||k}\gamma =f}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

${\displaystyle \|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }|f(z)|^{2}d\mu (z)<\infty }$

Funciones módulo con La integral está bien definida, ya que la función es invariante. Este es un espacio de Hilbert con producto interno ${\displaystyle \|f\|=0.}$${\displaystyle |f(z)|^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).}$

El operador se puede definir en un espacio vectorial que es denso en . Existe un operador simétrico semidefinido positivo. Se puede demostrar que existe una única continuación autoadjunta en${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle B\subset L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).}$

Se define como el espacio de todas las formas de cúspide . Entonces opera sobre y tiene un espectro discreto. El espectro que pertenece al complemento ortogonal tiene una parte continua y se puede describir con la ayuda de series de Eisenstein no holomorfas (modificadas), sus continuaciones meromórficas y sus residuos. (Véase Bump o Iwaniec). ${\displaystyle C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$

Si es un subgrupo discreto (libre de torsión) de , de modo que el cociente es compacto, el problema espectral se simplifica. Esto se debe a que un subgrupo cocompacto discreto no tiene cúspides. Aquí todo el espacio es una suma de espacios propios. ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$

${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$es un grupo unimodular localmente compacto con la topología de Sea un subgrupo de congruencia. Puesto que es discreto en , también es cerrado en . El grupo es unimodular y puesto que la medida de conteo es una medida de Haar en el grupo discreto , también es unimodular. Por la Fórmula Integral del Cociente existe una medida de Radon -invariante por la derecha en el espacio localmente compacto . Sea el -espacio correspondiente . Este espacio se descompone en una suma directa del espacio de Hilbert: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle \Gamma \backslash G}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

dónde

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}}$

y

${\displaystyle k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix}}\in SO(2),\theta \in \mathbb {R} .}$

El espacio de Hilbert se puede incorporar isométricamente al espacio de Hilbert . La isometría está dada por la función ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\to L^{2}(\Gamma \backslash G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{cases}}}$

Por lo tanto, todas las formas de cúspide de Maass para el grupo de congruencia pueden considerarse como elementos de . ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$es un espacio de Hilbert que lleva una operación del grupo , la llamada representación regular derecha: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle R_{g}\phi :=\phi (xg),{\text{ where }}x\in \Gamma \backslash G{\text{ and }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G).}$

Se puede demostrar fácilmente que es una representación unitaria de en el espacio de Hilbert . Lo que interesa es una descomposición en subrepresentaciones irreducibles. Esto sólo es posible si es cocompacto. Si no, también hay una parte integral de Hilbert continua. Lo interesante es que la solución de este problema también resuelve el problema espectral de las formas de Maass. (véase Bump, C. 2.3) ${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$${\displaystyle \Gamma }$

Una forma de cúspide de Maass , un subconjunto de las formas de Maass, es una función en el semiplano superior que se transforma como una forma modular pero que no necesita ser holomorfa . Hans Maass las estudió por primera vez en Maass (1949).

Sea k un entero, s un número complejo y Γ un subgrupo discreto de SL ₂ ( R ) . Una forma de Maass del peso k para Γ con valor propio de Laplace s es una función suave desde el semiplano superior hasta los números complejos que satisfacen las siguientes condiciones:

• Para todos y todas , tenemos${\displaystyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma }$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z).}$
• Tenemos , donde es el peso k el laplaciano hiperbólico definido como${\displaystyle \Delta _{k}f=sf}$${\displaystyle \Delta _{k}}$$${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$$
• La función es de crecimiento polinomial como máximo en las cúspides .${\displaystyle f}$

Una forma débil de Maass se define de manera similar, pero con la tercera condición reemplazada por "La función tiene como máximo un crecimiento exponencial lineal en los vértices". Además, se dice que es armónica si es aniquilada por el operador laplaciano. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Sea una forma de cúspide de Maass de peso 0. Su coeficiente de Fourier normalizado en un primo p está acotado por p ^7/64 + p ^−7/64 . Este teorema se debe a Henry Kim y Peter Sarnak . Es una aproximación a la conjetura de Ramanujan-Petersson . ${\displaystyle f}$

Las formas de cúspide de Maass pueden considerarse formas automórficas en GL(2). Es natural definir las formas de cúspide de Maass en GL( n ) como formas automórficas esféricas en GL( n ) sobre el cuerpo de números racionales. Su existencia ha sido probada por Miller, Mueller, etc.

Sea un anillo conmutativo con unidad y sea el grupo de matrices con entradas en y determinante invertible. Sea el anillo de los adeles racionales, el anillo de los adeles finitos (racionales) y para un número primo sea el cuerpo de números p -ádicos. Además, sea el anillo de los enteros p-ádicos (véase anillo de Adele ). Defina . Tanto y son grupos unimodulares localmente compactos si se les dota de las topologías de subespacio de respectivamente . Entonces: ${\displaystyle R}$${\displaystyle G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\text{fin}}}$${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}}$${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.}$

El lado derecho es el producto restringido, concerniente a los subgrupos compactos y abiertos de . Luego, grupo localmente compacto, si lo dotamos de la topología de producto restringido. ${\displaystyle K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}}$${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle G_{\text{fin}}}$

El grupo es isomorfo a ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle G_{\text{fin}}\times G_{\mathbb {R} }}$

y es un grupo localmente compacto con la topología de producto, ya que y son ambos localmente compactos. ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$

Dejar

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}.}$

El subgrupo

${\displaystyle G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}}$

es un subgrupo abierto, compacto y máximo de y puede considerarse como un subgrupo de , cuando consideramos la incrustación . ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle x_{\text{fin}}\mapsto (x_{\text{fin}},1_{\infty })}$

Definimos como el centro de , es decir es el grupo de todas las matrices diagonales de la forma , donde . Pensamos en como un subgrupo de ya que podemos incrustar el grupo por . ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle G_{\infty }}$${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &\\&\lambda \\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle z\mapsto (1_{G_{\text{fin}}},z)}$

El grupo está incrustado diagonalmente en , lo cual es posible, ya que las cuatro entradas de a solo pueden tener una cantidad finita de divisores primos y, por lo tanto, para todos los números primos excepto un número finito . ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle x\in K_{p}}$${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

Sea el grupo de todos los que tienen . (ver Adele Ring para una definición del valor absoluto de un Idele). Se puede calcular fácilmente que es un subgrupo de . ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$${\displaystyle x\in G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle |\det(x)|=1}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$

Con el mapa uno a uno podemos identificar los grupos y entre nosotros. ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}\hookrightarrow G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$

El grupo es denso en y discreto en . El cociente no es compacto sino que tiene medida de Haar finita. ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\text{fin}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }=G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$

Por lo tanto, es una red de similar al caso clásico del grupo modular y . Mediante el análisis armónico también se obtiene que es unimodular. ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1},}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$

Ahora queremos incorporar las formas clásicas de cúspide de Maass de peso 0 para el grupo modular en . Esto se puede lograr con el "teorema de aproximación fuerte", que establece que la función ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle \psi :G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1,x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

es un homeomorfismo -equivariante. Por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

y además

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.}$

Las cúspides de Maass de peso 0 para el grupo modular se pueden incrustar en

${\displaystyle L^{2}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ))\cong L^{2}(\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )Z_{\mathbb {R} }\backslash \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )).}$

Por el teorema de aproximación fuerte este espacio es isomorfo unitario a

${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }})\cong L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })^{G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}}$

que es un subespacio de${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }).}$

De la misma manera, se pueden incrustar las formas de cúspide holomorfas clásicas. Con una pequeña generalización del teorema de aproximación, se pueden incrustar todas las formas de cúspide de Maass (así como las formas de cúspide holomorfas) de cualquier peso para cualquier subgrupo de congruencia en . ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$

Llamamos al espacio de formas automorfas del grupo adele. ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$

Sea un anillo y sea el grupo de todos los donde . Este grupo es isomorfo al grupo aditivo de R . ${\displaystyle R}$${\displaystyle N_{R}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&r\\&1\\\end{pmatrix}},}$${\displaystyle r\in R}$

Llamamos a una función forma cúspide, si ${\displaystyle f\in L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$

${\displaystyle \int _{N_{\mathbb {Q} }\backslash N_{\mathbb {A} }}f(nx)dn=0}$

se cumple para casi todos los . Sea (o simplemente ) el espacio vectorial de estas formas de cúspide. es un subespacio cerrado de y es invariante bajo la representación regular derecha de${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}.}$

De nuevo nos interesa una descomposición en subespacios cerrados irreducibles. ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$

Tenemos el siguiente teorema :

El espacio se descompone en una suma directa de espacios de Hilbert irreducibles con multiplicidades finitas : ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}={\widehat {\bigoplus _{\pi \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}}}N_{\text{cusp}}(\pi )\pi }$

El cálculo de estas multiplicidades es uno de los problemas más importantes y más difíciles en la teoría de formas automórficas. ${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )}$

Una representación irreducible del grupo se llama cuspidal, si es isomorfa a una subrepresentación de . ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$

Una representación irreducible del grupo se llama admisible si existe un subgrupo compacto de , de modo que para todo . ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subset G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle \dim _{K}(V_{\pi },V_{\tau })<\infty }$${\displaystyle \tau \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}$

Se puede demostrar que toda representación cuspidal es admisible.

La admisibilidad es necesaria para demostrar el llamado teorema del producto tensorial, que dice que toda representación irreducible, unitaria y admisible del grupo es isomorfa a un producto tensorial infinito. ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle \bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}.}$

Son representaciones irreductibles del grupo . Casi todas ellas necesitan ser ramificadas. ${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle G_{p}}$

(Una representación del grupo se llama no ramificada, si el espacio vectorial ${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle (p<\infty )}$

${\displaystyle V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\left\{v\in V_{\pi _{p}}\mid \pi _{p}(k)v=v\forall k\in K_{p}\right\}}$

(no es el espacio cero.)

Una construcción de un producto tensorial infinito se puede encontrar en Deitmar, C.7.

Sea una representación unitaria irreducible y admisible de . Por el teorema del producto tensorial, tiene la forma (ver representaciones cuspidales del grupo de Adele) ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle \pi }$${\textstyle \pi =\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}}$

Sea un conjunto finito de lugares que contienen y todos los lugares ramificados. Se define la función global de Hecke de como ${\displaystyle S}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle L^{S}(s,\pi ):=\prod _{p\notin S}L(s,\pi _{p})}$

donde es una denominada función L local de la representación local . Se puede encontrar una construcción de funciones L locales en Deitmar C. 8.2. ${\displaystyle L(s,\pi _{p})}$${\displaystyle \pi _{p}}$

Si es una representación cuspidal, la función L tiene una continuación meromórfica en . Esto es posible, ya que , satisface ciertas ecuaciones funcionales. ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$

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