Funciones Kelvin

En matemáticas aplicadas, las funciones de Kelvin ber _ν ( x ) y bei _ν ( x ) son las partes real e imaginaria , respectivamente, de

${\displaystyle J_{\nu }\left(xe^{\frac {3\pi i}{4}}\right),\,}$

donde x es real, y J _ν ( z ) , es la función de Bessel de primer tipo de orden ⁿ . De manera similar, las funciones ker _ν ( x ) y kei _ν ( x ) son las partes real e imaginaria, respectivamente, de

${\displaystyle e^{-\nu \pi i/2}K_{\nu }\left(xe^{\frac {\pi i}{4}}\right),\,}$

donde K _ν ( z ) es la función de Bessel modificada de segundo tipo de ^orden ν .

Estas funciones reciben su nombre en honor a William Thomson, primer barón Kelvin .

Si bien las funciones de Kelvin se definen como las partes real e imaginaria de las funciones de Bessel con x tomado como real, las funciones pueden continuarse analíticamente para argumentos complejos xe ^iφ , 0 ≤ φ < 2 π . Con la excepción de ber _n ( x ) y bei _n ( x ) para n entero , las funciones de Kelvin tienen un punto de ramificación en x  =  0.

A continuación, Γ( z ) es la función gamma y ψ ( z ) es la función digamma .

Para enteros n , ber _n ( x ) tiene la expansión en serie

${\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k},}$

donde Γ( z ) es la función gamma . El caso especial ber ₀ ( x ), comúnmente denotado simplemente como ber( x ), tiene la expansión en serie

${\displaystyle \mathrm {ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k}}$

y series asintóticas

${\displaystyle \mathrm {ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha \right)-{\frac {\mathrm {kei} (x)}{\pi }}}$,

dónde

${\displaystyle \alpha ={\frac {x}{\sqrt {2}}}-{\frac {\pi }{8}},}$

${\displaystyle f_{1}(x)=1+\sum _ {k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$

${\displaystyle g_{1}(x)=\sum _ {k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}$

Para enteros n , ser _n ( x ) tiene la expansión en serie

${\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.}$

El caso especial bei ₀ ( x ), comúnmente denotado simplemente como bei( x ), tiene la siguiente expansión en serie.

${\displaystyle \mathrm {bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k+2}}$

y series asintóticas

${\displaystyle \mathrm {bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha -g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {ker} (x)}{\pi }},}$

donde α,${\displaystyle f_{1}(x)}$, y${\displaystyle g_{1}(x)}$se definen como para ber( x ).

Para enteros n , ker _n ( x ) tiene la expansión en serie (complicada)

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {ker} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}$

El caso especial ker ₀ ( x ), comúnmente denotado simplemente como ker( x ), tiene la siguiente expansión en serie

${\displaystyle \mathrm {ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}}$

y la serie asintótica

${\displaystyle \mathrm {ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],}$

dónde

${\displaystyle \beta ={\frac {x}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{8}},}$

${\displaystyle f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$

${\displaystyle g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}$

Para un entero n , kei _n ( x ) tiene la siguiente expansión en serie.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {kei} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}$

El caso especial kei ₀ ( x ), comúnmente denotado simplemente como kei( x ), tiene la siguiente expansión en serie

${\displaystyle \mathrm {kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}}$

y la serie asintótica

${\displaystyle \mathrm {kei} (x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],}$

donde β , f ₂ ( x ), y g ₂ ( x ) se definen como para ker( x ).

• función de Bessel

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 9» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol.  55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera  ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág.  379. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• Olver, FWJ; Maximon, LC (2010), "Funciones de Bessel" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .

• Weisstein, Eric W. "Funciones Kelvin". De MathWorld—Un recurso web de Wolfram.
• Código fuente en C/C++ con licencia GPL para el cálculo de funciones Kelvin en codecogs.com: