Funciones de Bessel incompletas

En matemáticas , las funciones de Bessel incompletas son tipos de funciones especiales que actúan como una extensión de las funciones de Bessel completas .

Las funciones de Bessel incompletas se definen como las mismas ecuaciones diferenciales con retardo que las funciones de Bessel de tipo completo :

${\displaystyle J_{v-1}(z,w)-J_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}J_{v}(z,w)}$

${\displaystyle Y_{v-1}(z,w)-Y_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}Y_{v}(z,w)}$

${\displaystyle I_{v-1}(z,w)+I_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}I_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v-1}(z,w)+K_{v+1}(z,w)=-2{\dfrac {\partial }{\partial z}}K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(1)}(z,w)-H_{v+1}^{(1)}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(2)}(z,w)-H_{v+1}^{(2)}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

Y las siguientes formas de extensión adecuadas de ecuaciones diferenciales con retardo a partir de las funciones de Bessel de tipo completo :

${\displaystyle J_{v-1}(z,w)+J_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}J_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}J_{v}(z,w)}$

${\displaystyle Y_{v-1}(z,w)+Y_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}Y_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}Y_{v}(z,w)}$

${\displaystyle I_{v-1}(z,w)-I_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}I_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}I_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v-1}(z,w)-K_{v+1}(z,w)=-{\dfrac {2v}{z}}K_{v}(z,w)+{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(1)}(z,w)+H_{v+1}^{(1)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}H_{v}^{(1)}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(2)}(z,w)+H_{v+1}^{(2)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}H_{v}^{(2)}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

Donde el nuevo parámetro${\displaystyle w}$define la cota integral de la forma incompleta superior y la forma incompleta inferior de la función de Bessel modificada de segundo tipo : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle K_{v}(z,w)=\int _{w}^{\infty }e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt}$

${\displaystyle J_{v}(z,w)=\int _{0}^{w}e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt}$

${\displaystyle J_{v}(z,w)=J_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)-e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J(-iz,v,w)}{i\pi }}}$

${\displaystyle Y_{v}(z,w)=Y_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)+e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J(-iz,v,w)}{\pi }}}$

${\displaystyle I_{-v}(z,w)=I_{v}(z,w)}$para entero${\displaystyle v}$

${\displaystyle I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)=I_{-v}(z)-I_{v}(z)-{\dfrac {2\sin v\pi }{\pi }}J(z,v,w)}$

${\displaystyle I_{v}(z,w)=I_{v}(z)+{\dfrac {J(-z,v,w)-e^{-v\pi i}J(z,v,w)}{i\pi }}}$

${\displaystyle I_{v}(z,w)=e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J_{v}(iz,w)}$

${\displaystyle K_{-v}(z,w)=K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v}(z,w)={\dfrac {\pi }{2}}{\dfrac {I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$para no enteros${\displaystyle v}$

${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)=J_{v}(z,w)+iY_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)=J_{v}(z,w)-iY_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{-v}^{(1)}(z,w)=e^{v\pi i}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{-v}^{(2)}(z,w)=e^{-v\pi i}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)={\dfrac {J_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}J_{v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$para no enteros${\displaystyle v}$

${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)={\dfrac {e^{v\pi i}J_{v}(z,w)-J_{-v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$para no enteros${\displaystyle v}$

${\displaystyle K_{v}(z,w)}$satisface la ecuación diferencial de Bessel no homogénea

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\dfrac {dy}{dz}}-(x^{2}+v^{2})y=(v\sinh vw+z\cosh vw\sinh w)e^{-z\cosh w}}$

Ambos${\displaystyle J_{v}(z,w)}$,${\displaystyle Y_{v}(z,w)}$,${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)}$y${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)}$satisfacer la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}+(z^{2}-v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0}$

Ambos${\displaystyle I_{v}(z,w)}$y${\displaystyle K_{v}(z,w)}$satisfacer la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}-(z^{2}+v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0}$

Basándonos en las definiciones preliminares anteriores, se derivarían directamente las siguientes formas integrales de${\displaystyle J_{v}(z,w)}$,${\displaystyle Y_{v}(z,w)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{v}(z,w)&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(\int _{0}^{w}e^{{\frac {v\pi i}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt-\int _{0}^{w}e^{iz\cosh t-{\frac {v\pi i}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right.\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.-\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(-2i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{v}(z,w)&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}e^{{\frac {v\pi i}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt+\int _{0}^{w}e^{iz\cosh t-{\frac {v\pi i}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right.\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.+\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt+i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\end{aligned}}}$

Con las expresiones integrales de Mehler-Sonine de${\displaystyle J_{v}(z)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$y${\displaystyle Y_{v}(z)=-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$mencionado en la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas , ^{[ 2 ]}

podemos simplificarlo aún más a${\displaystyle J_{v}(z,w)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$y${\displaystyle Y_{v}(z,w)=-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$, pero el problema no es del todo bueno ya que el rango de convergencia se reducirá en gran medida a${\displaystyle |v|<1}$.

• Agrest, Matest M.; Maksimov, Michail S. (1971). Teoría de las funciones cilíndricas incompletas y sus aplicaciones . Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-65023-9.
• Cicchetti, R.; Faraone, A. (diciembre de 2004). "Funciones de Hankel incompletas y de Bessel modificadas: una clase de funciones especiales para el electromagnetismo". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 52 (12): 3373– 3389. Bibcode : 2004ITAP...52.3373C . doi : 10.1109/TAP.2004.835269 . S2CID 25089438 . 
• Jones, DS (octubre de 2007). "Funciones de Bessel incompletas. II. Expansiones asintóticas para argumentos grandes" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 50 (3): 711– 723. doi : 10.1017/S0013091505000908 .