Diferenciación implícita

En cálculo , la diferenciación implícita es un método para hallar la derivada de una función que se define mediante una ecuación en lugar de una fórmula explícita. Si una ecuación como

F(x,y)=0

define $y$ como función de $x$ , al menos localmente, la diferenciación implícita trata $y$ como función $y(x)$ y diferencia ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ . El método es una aplicación de la regla de la cadena . ^{[ 1 ]}

La diferenciación implícita es útil cuando resolver explícitamente para una variable es inconveniente, produce varias ramas o no es posible en términos elementales . Por ejemplo, el círculo $x^{2}+y^{2}=1$ no puede representarse globalmente como la gráfica de una sola función $y=f(x)$ , pero sus arcos superior e inferior pueden diferenciarse implícitamente.

El método permite el cálculo de la aproximación de la línea tangente a $y(x)$ , dado únicamente la función $F$ y el punto $(x_{0},y_{0})$ en el que se realiza la aproximación, de modo que ningún otro conocimiento de la dependencia funcional de $y$ en $x$ es necesario. Las aproximaciones tangentes a superficies y variedades de dimensiones superiores dadas por una ecuación o sistema de ecuaciones se pueden encontrar mediante métodos similares.

Fórmula básica

Dejar $F$ Sea una función diferenciable de dos variables, y supongamos que una ecuación

F(x,y)=f(x_{0},y_{0})

define $y$ localmente como una función diferenciable de $x$ cerca del punto ${\ Displaystyle (x, y) = (x_ {0}, y_ {0})}$ Aplicando el diferencial a ambos lados se obtiene $dF=0$ en la curva de interés, y escribiendo el lado izquierdo en términos de las derivadas parciales de $F$ : $F_{x}(x,y)dx+F_{y}(x,y)dy=0.$ Por lo tanto, evaluar en el punto $(x_{0},y_{0})$ da ^{[ 2 ]}^{: §11.5} ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}$ proporcionó $F_{y}(x_{0},y_{0})\not =0$ .

La derivada del lado izquierdo de la fórmula puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la curva definida implícitamente por la ecuación. $F(x,y)=F(x_{0},y_{0})$ a través del punto dado $(x_{0},y_{0})$ La fórmula es local, en el sentido de que solo proporciona la derivada de la rama de la función implícita. $y(x)$ cuyo gráfico contiene el punto $(x_{0},y_{0})$ .

Relación con el teorema de la función implícita

Intuitivamente, para que sea válido en un punto $(x_{0},y_{0})$ La diferenciación implícita en la formulación básica requiere que la función $F$ debe depender genuinamente de $y$ cerca del punto $(x_{0},y_{0})$ , porque de lo contrario la ecuación $F(x,y)=F(x_{0},y_{0})$ no se puede resolver $y$ como función de $x$ en absoluto.

En realidad se requiere más: de la fórmula se desprende claramente que la derivada parcial ${\ Displaystyle F_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}$ debe ser distinto de cero, porque aparece en el denominador del lado derecho de la fórmula para $dy/dx_{(x_{0},y_{0})}$ Si bien este hecho permite calcular un valor numérico, no es obvio que dicho valor numérico tenga el significado anunciado: es decir, que sea la derivada de una función. $y(x)$ cuyo gráfico está contenido en la curva $F(x,y)=0$ a través del punto.

El teorema de la función implícita proporciona la justificación que faltaba. Afirma lo siguiente: supongamos que $F(x,y)$ es una función tal que ambas derivadas parciales existen en un disco alrededor de ${\ Displaystyle (x, y) = (x_ {0}, y_ {0})}$ y son continuos en todo el disco. Entonces, si $F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0$ , hay una función diferenciable $y(x)$ definido en un intervalo abierto que contiene $x=x_{0}$ , de tal manera que $F(x,y(x))=0$ a lo largo del intervalo, y cuya derivada viene dada por la fórmula de diferenciación implícita en $(x_{0},y_{0})$ Además, la función es única en un intervalo suficientemente pequeño alrededor de $x_{0}$ . ^{[ 3 ]}

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerar

y+x+5=0\,.

Esta ecuación es fácil de resolver para $y$ , lo que da como resultado:

y=-x-5\,,

donde el lado derecho es la forma explícita de la función $y (x)$ . La diferenciación entonces da $⁠ dy / dx ⁠ = -1$ .

Alternativamente, se puede diferenciar completamente la ecuación original:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

Resolviendo para $dy$ $/$ $dx$ $se$ $obtiene$

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

La misma respuesta que se obtuvo anteriormente.

Ejemplo 2

Un ejemplo de una función implícita para la cual la diferenciación implícita es más fácil que usar la diferenciación explícita es la función $y (x)$ definida por la ecuación

x^{4}+2y^{2}=8\,.

Para diferenciar esto explícitamente con respecto a $x$ , primero hay que obtener

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

y luego derivamos esta función. Esto crea dos derivadas: una para $y \geq 0$ y otra para $y < 0$ .

Es sustancialmente más fácil diferenciar implícitamente la ecuación original:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

donación

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Ejemplo 3

A menudo, es difícil o imposible resolver explícitamente para $y$ , y la diferenciación implícita es el único método factible de diferenciación. Un ejemplo es la ecuación

y^{5}-y=x\,.

Es imposible expresar $y$ explícitamente en radicales como una función de $x$ , y por lo tanto no se puede encontrar $⁠$ $dy$ $/$ $dx$ $⁠$ mediante la diferenciación explícita de expresiones radicales elementales. Usando el método implícito, $⁠$ $dy$ $/$ $dx$ $⁠$ se puede obtener diferenciando la ecuación para obtener

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

donde $⁠$ $dx$ $/$ $dx$ $⁠$ $= 1$ . Factorizando $⁠$ $dy$ $/$ $dx$ $⁠$ se muestra que

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

lo que produce el resultado

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

que se define para

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{y}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Derivadas de orden superior

El método de diferenciación implícita se puede aplicar para encontrar derivadas de orden superior, como la segunda derivada de la función definida implícitamente. $y(x)$ en el punto de su gráfica $(x_{0},y_{0})$ , proporcionó la función $F$ es suficientemente suave en el punto. ^{[ 4 ]}

Por ejemplo, supongamos que la primera derivada de $y(x)$ Se ha encontrado, resolviendo la ecuación $dF=F_{x}(x_{0},y_{0})\,dx+F_{y}(x_{0},y_{0})\,dy=0$ para $dy/dx$ en $(x_{0},y_{0})$ .

Aplicando la segunda diferencial a $F(x,y)=F(x_{0},y_{0})$ luego da $d^{2}F=0$ y expandiendo el lado izquierdo se obtiene $d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy)=F_{xx}dx^{2}+F_{yx}dx\,dy+F_{xy}dy\,dx+F_{yy}dy^{2}+F_{x}\,d^{2}x+F_{y}\,d^{2}y=0.$ donde hemos escrito las segundas derivadas parciales de $F$ con subíndices repetidos. Dado que es el $x$ derivados que buscamos, $d^{2}x=0$ . Además, sustituyendo las expresiones conocidas para $dy$ en ese punto $(x_{0},y_{0})$ , en la fórmula (es decir, $dy={\frac {dy}{dx}}dx$ donde la derivada del lado derecho se conoce en el punto $(x_{0},y_{0})$ : $dy/dx_{(x_{0},y_{0})}=-F_{x}(x_{0},y_{0})/F_{y}(x_{0},y_{0})$ ), entonces podemos reordenar los términos y resolver para la segunda derivada $d^{2}y/dx^{2}$ . Es decir, desde $F_{xx}dx^{2}+(F_{xy}+F_{yx}){\frac {dy}{dx}}dx^{2}+F_{yy}dy^{2}+F_{y}\,d^{2}y=0$ obtenemos ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {F_{xx}+(F_{xy}+F_{yx}){\frac {dy}{dx}}+F_{yy}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}{F_{y}}}.$ Esto se entiende como en el punto $(x_{0},y_{0})$ y solo requiere que la función $F$ ser dos veces diferenciable en el punto, además de la hipótesis $F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0$ La segunda diferenciabilidad en el punto es verdadera si las primeras y segundas parciales de $F$ existen y son continuos en un disco alrededor del punto.

En ese caso, el teorema de Clairaut implica que los parciales mixtos son iguales. $F_{xy}(x_{0},y_{0})=F_{yx}(x_{0},y_{0})$ y estos términos se pueden combinar para dar ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {F_{xx}-2F_{xy}{\frac {F_{x}}{F_{y}}}+F_{yy}\left({\frac {F_{x}}{F_{y}}}\right)^{2}}{F_{y}}}.$

Las derivadas de orden superior (bajo las hipótesis de suavidad requeridas) se tratan de manera similar.

Referencias

^ Strang, Gilbert; Herman, Edwin (2016). "3.8 Diferenciación implícita". Cálculo Volumen 1 . AbiertoStax. ISBN 978-1-938168-02-4.
↑ Stewart, James (1998). Conceptos y contextos del cálculo . Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.
↑ Apostol, Tom M. (1974). "13. Funciones implícitas y problemas de extremos". Análisis matemático (2.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
↑ Goursat, Édouard (1904). «II. Funciones implícitas; determinantes funcionales; cambio de variable». Curso de análisis matemático . Vol. 1. Traducido por Earle Raymond Hedrick. Boston: Ginn & Company. págs. 35–88 .

[OpenStax-1] Strang, Gilbert; Herman, Edwin (2016). "3.8 Diferenciación implícita". Cálculo Volumen 1 . AbiertoStax. ISBN 978-1-938168-02-4.

[Stewart1998-2] Stewart, James (1998). Conceptos y contextos del cálculo . Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.

[3] Apostol, Tom M. (1974). "13. Funciones implícitas y problemas de extremos". Análisis matemático (2.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.

[4] Goursat, Édouard (1904). «II. Funciones implícitas; determinantes funcionales; cambio de variable». Curso de análisis matemático . Vol. 1. Traducido por Earle Raymond Hedrick. Boston: Ginn & Company. págs. 35–88 .

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