Intercambio de operaciones limitantes

En matemáticas , el estudio del intercambio de operaciones límite es una de las principales preocupaciones del análisis matemático , ya que no se puede asumir que dos operaciones límite dadas, digamos L y M , den el mismo resultado cuando se aplican en cualquier orden. Una de las fuentes históricas de esta teoría es el estudio de las series trigonométricas . ^{[ 1 ]}

En los símbolos, la suposición

LM = ML ,

donde el lado izquierdo significa que M se aplica primero, luego L , y viceversa en el lado derecho , no es una ecuación válida entre operadores matemáticos , bajo todas las circunstancias y para todos los operandos. Un algebrista diría que las operaciones no conmutan . El enfoque adoptado en el análisis es algo diferente. Las conclusiones que suponen que las operaciones límite sí "conmutan" se denominan formales . El analista intenta delimitar las condiciones bajo las cuales tales conclusiones son válidas; en otras palabras, el rigor matemático se establece mediante la especificación de un conjunto de condiciones suficientes para que el análisis formal se cumpla. Este enfoque justifica, por ejemplo, la noción de convergencia uniforme . ^{[ 2 ]} Es relativamente raro que tales condiciones suficientes sean también necesarias, de modo que un análisis más preciso puede extender el dominio de validez de los resultados formales.

Profesionalmente hablando, por lo tanto, los analistas amplían los límites de las técnicas y expanden el significado de " bien comportado " para un contexto dado. GH Hardy escribió que "El problema de decidir si dos operaciones límite dadas son conmutativas es uno de los más importantes en matemáticas". ^{[ 3 ]} Una opinión aparentemente no a favor del enfoque por partes, sino de dejar el análisis en el nivel heurístico , fue la de Richard Courant .

Abundan los ejemplos, uno de los más sencillos es que para una sucesión doble a _{m , n} : no necesariamente las operaciones de tomar los límites cuando m → ∞ y cuando n → ∞ se pueden intercambiar libremente. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, tomemos

a _{m , n} = 2 ^{m − n}

en la que tomar el límite primero con respecto a n da 0, y con respecto a m da ∞.

Muchos de los resultados fundamentales del cálculo infinitesimal también entran en esta categoría: la simetría de las derivadas parciales , la diferenciación bajo el signo integral y el teorema de Fubini tratan sobre el intercambio de operadores de diferenciación e integración .

Una de las principales razones por las que se utiliza la integral de Lebesgue es que existen teoremas, como el teorema de convergencia dominada , que proporcionan condiciones suficientes para intercambiar la integración y la operación de límite. Federico Cafiero descubrió las condiciones necesarias y suficientes para este intercambio . ^{[ 5 ]}

• Intercambio de límites:
  • Teorema de Moore-Osgood
• Intercambio de límite y suma infinita:
  • Teorema de la curtiduría
• Intercambio de límites y derivadas:
  • Si una secuencia de funciones${\displaystyle (f_{n})}$Si converge en al menos un punto y las derivadas convergen uniformemente, entonces${\displaystyle (f_{n})}$converge uniformemente también, digamos a alguna función.${\displaystyle f}$y la función límite de las derivadas es${\displaystyle f'}$. ^{[ 6 ]} Si bien esto se suele demostrar utilizando el teorema del valor medio para funciones de valor real, el mismo método se puede aplicar a funciones de dimensiones superiores utilizando en su lugar la desigualdad del valor medio .
• Intercambio de derivadas parciales:
  • Teorema de Schwarz
• Intercambio de integrales:
  • Teorema de Fubini
• Intercambio de límite e integral:
  • Teorema de convergencia dominada
  • Teorema de convergencia de Vitali
  • Teorema de convergencia de Fichera
  • Teorema de convergencia de Cafiero
  • El lema de Fatou
  • Teorema de convergencia monótona para integrales (lema de Beppo Levi)
• Intercambio de derivada e integral:
  • regla integral de Leibniz

• Límite iterado
• Convergencia uniforme