Límite iterado

Para cada${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$, dejar${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbb {R} }$sea ​​una secuencia doble real. Entonces hay dos formas de límites iterados, a saber:

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\qquad {\text{y}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}.}$

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}.}$

Entonces

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }1=1,{\text{ y}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0.}$

Dejar${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$. Luego también hay dos formas de límites iterados, a saber:

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)\qquad {\text{y}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y).}$

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} }$de tal manera que

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Entonces

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0,}$y

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}1=1.}$^{[ 1 ]}

El/los límite(s) para x y/o y también se pueden tomar en el infinito, es decir,

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)\qquad {\text{y}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y).}$

Para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, dejar${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$sea ​​una secuencia de funciones. Entonces hay dos formas de límites iterados, a saber:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)\qquad {\text{y}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R} }$de tal manera que

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$.

Entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }1=1,{\text{ y}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0.}$^{[ 2 ]}

El límite en x también se puede tomar en el infinito, es decir,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)\qquad {\text{y}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f_{n}:(0,\infty )\to \mathbb {R} }$de tal manera que

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{n}}}.}$

Entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }0=0,{\text{ y}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to \infty }0=0.}$

Nótese que el límite en n se toma de forma discreta, mientras que el límite en x se toma de forma continua.

Para una secuencia doble${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbb {R} }$, existe otra definición de límite , que comúnmente se denomina límite doble , denotada por

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m},}$

lo que significa que para todos${\displaystyle \varepsilon >0}$, existen${\displaystyle N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle n,m>N}$implica${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<\varepsilon }$. ^{[ 3 ]}

El siguiente teorema establece la relación entre el límite doble y los límites iterados.

Teorema 1. Si${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$existe y es igual a L ,${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$existe para cada m grande , y${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$existe para cada n grande , entonces${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$y${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$También existen, y son iguales a L , es decir,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}.}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

Prueba . Por la existencia de${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe${\displaystyle N_{1}=N_{1}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle n,m>N_{1}}$implica${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

Deje que cada${\displaystyle n>N_{0}}$de tal manera que${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=A_{n}}$existe, hay existe${\displaystyle N_{2}=N_{2}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle m>N_{2}}$implica${\displaystyle \left|a_{n,m}-A_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

Ambas afirmaciones anteriores son verdaderas para${\displaystyle n>\max(N_{0},N_{1})}$y${\displaystyle m>\max(N_{1},N_{2})}$. Combinando ecuaciones de las dos anteriores, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$existe${\displaystyle N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$a pesar de${\displaystyle n>N}$,

${\displaystyle \left|A_{n}-L\right|<\varepsilon ,}$

lo cual prueba que${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}\displaystyle }$. De manera similar para${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$, demostramos:${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$.

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}.}$

Desde${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=0}$,${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}}$, y${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{n}}}$, tenemos

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0.}$

Este teorema requiere los límites únicos${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$y${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$para converger. Esta condición no se puede eliminar. Por ejemplo, considere

${\displaystyle a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right).}$

Entonces podremos ver que

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0,}$

pero${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$No existe.

Esto se debe a que${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$Para empezar, no existe.

Para una función de dos variables${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$, existen otros dos tipos de límites . Uno es el límite ordinario , denotado por

${\displaystyle L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y),}$

lo que significa que para todos${\displaystyle \varepsilon >0}$, existen${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}$de tal manera que${\displaystyle 0<{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}<\delta }$implica${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\varepsilon }$. ^{[ 6 ]}

Para que exista este límite, f ( x , y ) puede aproximarse a L tanto como se desee a lo largo de cualquier trayectoria posible que se aproxime al punto ( a , b ). En esta definición, el punto ( a , b ) queda excluido de las trayectorias. Por lo tanto, el valor de f en el punto ( a , b ), incluso si está definido, no afecta al límite.

El otro tipo es el límite doble , denotado por

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y),}$

lo que significa que para todos${\displaystyle \varepsilon >0}$, existen${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}$de tal manera que${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$y${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta }$implica${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\varepsilon .}$^{[ 7 ]}

Para que exista este límite, f ( x , y ) puede aproximarse a L tanto como se desee a lo largo de cualquier trayectoria posible que se aproxime al punto ( a , b ), excepto en las rectas x  = a e y = b . En otras palabras, el valor de f en las rectas x = a e y = b no afecta al límite. Esto difiere del límite ordinario, donde solo se excluye el punto ( a , b ). En este sentido, el límite ordinario es una noción más fuerte que el límite doble.       

Teorema 2. Si${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$existe y es igual a L , entonces${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$existe y es igual a L , es decir,

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y).}$

Ninguno de estos límites implica tomar primero un límite y luego otro. Esto contrasta con los límites iterados, donde el proceso de límite se toma primero en la dirección x y luego en la dirección y (o en orden inverso).

El siguiente teorema establece la relación entre el límite doble y los límites iterados:

Teorema 3. Si${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$existe y es igual a L ,${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$existe para cada y cerca de b , y${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$existe para cada x cerca de a , entonces${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$y${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$También existen, y son iguales a L , es decir,

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y).}$

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}xy\neq 0,\\0&{\text{for }}xy=0.\end{cases}}}$

Desde${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1}$,${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}y\neq 0\\0&{\text{for }}y=0\end{cases}}}$y${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}&x\neq 0,\\0&{\text{for }}&x=0,\end{cases}}}$tenemos

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1.}$

(Tenga en cuenta que en este ejemplo,${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$no existe.)

Este teorema requiere los límites únicos${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$y${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$existir. Esta condición no se puede eliminar. Por ejemplo, considere

${\displaystyle f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right).}$

Entonces podremos ver que

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0,}$

pero${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)}$No existe.

Esto se debe a que${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)}$En primer lugar, no existe para valores de x cercanos a 0.

Combinando los teoremas 2 y 3, obtenemos el siguiente corolario:

Corolario 3.1 . Si${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$existe y es igual a L ,${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$existe para cada y cerca de b , y${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$existe para cada x cerca de a , entonces${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$y${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$También existen, y son iguales a L , es decir,

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$.

Para una función de dos variables${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$, también podemos definir el límite doble en el infinito

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y),}$

lo que significa que para todos${\displaystyle \varepsilon >0}$, existen${\displaystyle M=M(\varepsilon )>0}$de tal manera que${\displaystyle x>M}$y${\displaystyle y>M}$implica${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\varepsilon }$.

Se pueden dar definiciones similares para los límites en el infinito negativo.

El siguiente teorema establece la relación entre el límite doble en el infinito y los límites iterados en el infinito:

Teorema 4. Si${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$existe y es igual a L ,${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$existe para cada y grande , y${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$existe para cada x grande , entonces${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$y${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$También existen, y son iguales a L , es decir,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y).}$

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}.}$

Desde${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=0}$,${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}}$y${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$, tenemos

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$.

Nuevamente, este teorema requiere los límites únicos.${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$y${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$existir. Esta condición no se puede eliminar. Por ejemplo, considere

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}.}$

Entonces podremos ver que

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$,

pero${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$No existe.

Esto se debe a que${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$En primer lugar, no existe para un valor fijo de y .

Los recíprocos de los Teoremas 1, 3 y 4 no se cumplen, es decir, la existencia de límites iterados, incluso si son iguales, no implica la existencia del límite doble. Un contraejemplo es

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

cerca del punto (0, 0). Por un lado,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0.}$

Por otro lado, el límite doble${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)}$no existe. Esto se puede ver tomando el límite a lo largo del camino ( x , y ) = ( t , t ) → (0,0), lo que da

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}},}$

y a lo largo del camino ( x , y ) = ( t , t ² ) → (0,0), lo que da

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}}}=0.}$

El siguiente teorema nos permite intercambiar dos límites de sucesiones.

Teorema 5. Si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}}$uniformemente (en m ), y${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}}$para cada n grande , entonces ambos${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}}$y${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}}$existe y es igual al límite doble, es decir,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$. ^{[ 3 ]}

Demostración . Por la convergencia uniforme, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$existen${\displaystyle N_{1}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$de tal manera que para todos${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$,${\displaystyle n,k>N_{1}}$implica${\displaystyle \left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Como${\displaystyle m\to \infty }$, tenemos${\displaystyle \left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$, lo que significa que${\displaystyle c_{n}}$es una sucesión de Cauchy que converge a un límite${\displaystyle L}$. Además, como${\displaystyle k\to \infty }$, tenemos${\displaystyle \left|c_{n}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Por otro lado, si tomamos${\displaystyle k\to \infty }$Primero, tenemos${\displaystyle \left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Por la convergencia puntual, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$y${\displaystyle n>N_{1}}$, existen${\displaystyle N_{2}(\varepsilon ,n)\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle m>N_{2}}$implica${\displaystyle \left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Entonces, para ese fijo${\displaystyle n}$,${\displaystyle m>N_{2}}$implica${\displaystyle \left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \varepsilon }$.

Esto demuestra que${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{n}}$.

Además, al tomar${\displaystyle N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$, vemos que este límite también es igual a${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$.

Un corolario trata sobre la intercambiabilidad de sumas infinitas .

Corolario 5.1 . Si${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}}$converge uniformemente (en m ), y${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$converge para cada n grande , entonces ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$.

Demostración . Aplicación directa del Teorema 5 en${\displaystyle S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{\ell }a_{n,m}}$.

Se obtienen resultados similares para funciones multivariables.

Teorema 6. Si${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)}$uniformemente (en y ) en${\displaystyle Y\smallsetminus \{b\}}$, y${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)=h(x)}$para cada x cerca de a , entonces ambos${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$y${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$existe y es igual al límite doble, es decir,

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y).}$^{[ 9 ]}

Aquí , a y b posiblemente sean infinitos.

Demostración . Por el límite uniforme de existencia, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$existen${\displaystyle \delta _{1}(\varepsilon )>0}$de tal manera que para todos${\displaystyle y\in Y\smallsetminus \{b\}}$,${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}}$y${\displaystyle 0<\left|w-a\right|<\delta _{1}}$implica${\displaystyle \left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Como${\displaystyle y\to b}$, tenemos${\displaystyle \left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$. Según el criterio de Cauchy ,${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$existe y es igual a un número${\displaystyle L}$. Además, como${\displaystyle w\to a}$, tenemos${\displaystyle \left|h(x)-L\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Por otro lado, si tomamos${\displaystyle w\to a}$Primero, tenemos${\displaystyle \left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Por la existencia de un límite puntual, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$y${\displaystyle x}$cerca${\displaystyle a}$, existen${\displaystyle \delta _{2}(\varepsilon ,x)>0}$de tal manera que${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$implica${\displaystyle \left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Entonces, para ese fijo${\displaystyle x}$,${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$implica${\displaystyle \left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x)\right|+\left|h(x)-L\right|\leq \varepsilon }$.

Esto demuestra que${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a}h(x).}$

Además, al tomar${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$, vemos que este límite también es igual a${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$.

Tenga en cuenta que este teorema no implica la existencia de${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$. Un contraejemplo es${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}xy\neq 0\\0&{\text{for }}xy=0\end{cases}}}$cerca de (0,0). ^{[ 10 ]}

Una variante importante del teorema de Moore-Osgood se refiere específicamente a secuencias de funciones.

Teorema 7. Si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$uniformemente (en x ) en${\displaystyle X\smallsetminus \{a\}}$, y${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{n}}$para cada n grande , entonces ambos${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$y${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}}$existen y son iguales, es decir,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$. ^{[ 11 ]}

La "a" aquí posiblemente pueda ser infinita.

Demostración . Por la convergencia uniforme, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$existen${\displaystyle N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$de tal manera que para todos${\displaystyle x\in D\smallsetminus \{a\}}$,${\displaystyle n,m>N}$implica${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Como${\displaystyle x\to a}$, tenemos${\displaystyle \left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$, lo que significa que${\displaystyle L_{n}}$es una sucesión de Cauchy que converge a un límite${\displaystyle L}$. Además, como${\displaystyle m\to \infty }$, tenemos${\displaystyle \left|L_{n}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Por otro lado, si tomamos${\displaystyle m\to \infty }$Primero, tenemos${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Por la existencia de un límite puntual, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$y${\displaystyle n>N}$, existen${\displaystyle \delta (\varepsilon ,n)>0}$de tal manera que${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$implica${\displaystyle \left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Entonces, para ese fijo${\displaystyle n}$,${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$implica${\displaystyle \left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \varepsilon }$.

Esto demuestra que${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$.

Un corolario es el teorema de continuidad para la convergencia uniforme, que se expresa de la siguiente manera:

Corolario 7.1 . Si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$uniformemente (en x ) en${\displaystyle X}$, y${\displaystyle f_{n}(x)}$son continuos en${\displaystyle x=a\in X}$, entonces${\displaystyle f(x)}$también es continuo en${\displaystyle x=a}$.

En otras palabras, el límite uniforme de las funciones continuas es continuo.

Demostración . Por el Teorema 7,${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)}$.

Otro corolario tiene que ver con la intercambiabilidad de límite y suma infinita .

Corolario 7.2 . Si${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$converge uniformemente (en x ) en${\displaystyle X\smallsetminus \{a\}}$, y${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)}$existe para todo n , entonces${\displaystyle \lim _{x\to a}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)}$.

Demostración . Aplicación directa del Teorema 7 en${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}f_{n}(x)}$cerca${\displaystyle x=a}$.

Consideremos una matriz con infinitas entradas.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrrr}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \\0&0&1&-1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right].}$

Supongamos que queremos calcular la suma de todos los valores. Si sumamos columna por columna, veremos que la primera columna da 1, mientras que las demás dan 0. Por lo tanto, la suma de todas las columnas es 1. Sin embargo, si sumamos fila por fila, veremos que todas las filas dan 0. Por lo tanto, la suma de todas las filas es 0.

La explicación de esta paradoja es que la suma vertical hasta el infinito y la suma horizontal hasta el infinito son dos procesos límite que no se pueden intercambiar.${\displaystyle S_{n,m}}$Sea la suma de las entradas hasta las entradas ( n , m ). Entonces tenemos${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1}$, pero${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0}$En este caso, el límite doble${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{n,m}}$no existe, y por lo tanto este problema no está bien definido.

Por el teorema de integración para convergencia uniforme , una vez que tenemos${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$converge uniformemente en${\displaystyle X}$, el límite en n y una integración sobre un intervalo acotado${\displaystyle [a,b]\subseteq X}$pueden ser intercambiables:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Sin embargo, dicha propiedad puede fallar para una integral impropia sobre un intervalo no acotado.${\displaystyle [a,\infty )\subseteq X}$En este caso, se puede recurrir al teorema de Moore-Osgood.

Considerar${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$como ejemplo.

Primero expandimos el integrando como${\displaystyle {\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$para${\displaystyle x\in [0,\infty )}$(Aquí x = 0 es un caso límite).

Se puede demostrar mediante cálculo que para${\displaystyle x\in [0,\infty )}$y${\displaystyle k\geq 1}$, tenemos${\displaystyle x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}}$. Mediante la prueba M de Weierstrass ,${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$converge uniformemente en${\displaystyle [0,\infty )}$.

Luego, por el teorema de integración para convergencia uniforme,${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x}$.

Para intercambiar aún más el límite${\displaystyle \lim _{b\to \infty }}$con la suma infinita${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}$El teorema de Moore-Osgood exige que la serie infinita sea uniformemente convergente.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3}}}}$. Nuevamente, mediante la prueba M de Weierstrass,${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x}$converge uniformemente en${\displaystyle [0,\infty )}$.

Entonces, por el teorema de Moore-Osgood,${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)}$(Aquí está la función zeta de Riemann ).