Constante de integración

En cálculo , la constante de integración , a menudo denotada por${\displaystyle C}$(o${\displaystyle c}$), es un término constante que se añade a una antiderivada de una función${\displaystyle f(x)}$para indicar que la integral indefinida de${\displaystyle f(x)}$(es decir, el conjunto de todos los antiderivados de${\displaystyle f(x)}$), en un dominio conexo , solo está definido salvo una constante aditiva. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Esta constante expresa una ambigüedad inherente en la construcción de antiderivadas.

Más específicamente, si una función${\displaystyle f(x)}$se define en un intervalo y${\displaystyle F(x)}$es un antiderivado de${\displaystyle f(x),}$entonces el conjunto de todos los antiderivados de${\displaystyle f(x)}$viene dado por las funciones${\displaystyle F(x)+C,}$dónde${\displaystyle C}$es una constante arbitraria (lo que significa que cualquier valor de${\displaystyle C}$haría${\displaystyle F(x)+C}$una antiderivada válida). Por esa razón, la integral indefinida se escribe a menudo como${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$^{[ 4 ]} aunque la constante de integración a veces puede omitirse enlas listas de integralespor simplicidad.

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una antiderivada${\displaystyle F(x)}$para una función${\displaystyle f(x),}$sumar o restar cualquier constante${\displaystyle C}$nos dará otro antiderivado, porque${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$La constante es una forma de expresar que toda función con al menos una antiderivada tendrá un número infinito de ellas.

Dejar${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$y${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$Sean dos funciones diferenciables en todas partes. Supongamos que${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$para cada número real x . Entonces existe un número real${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$para cada número real x .

Para probar esto, observe que${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0.}$Entonces${\displaystyle F}$puede ser reemplazado por${\displaystyle FG,}$y${\displaystyle G}$por la función constante${\displaystyle 0,}$El objetivo es demostrar que una función diferenciable en todas partes cuya derivada es siempre cero debe ser constante:

Elige un número real${\displaystyle a,}$y dejar${\displaystyle C=F(a).}$Para cualquier x , el teorema fundamental del cálculo , junto con la suposición de que la derivada de${\displaystyle F}$desaparece, lo que implica que

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$$

demostrando así que${\displaystyle F}$es una función constante.

Dos hechos son cruciales en esta demostración. Primero, la recta real es conexa . Si la recta real no fuera conexa, no siempre sería posible integrar desde nuestro valor fijo de a hasta cualquier x dado . Por ejemplo, si se pidieran funciones definidas en la unión de los intervalos [0,1] y [2,3], y si a fuera 0, entonces no sería posible integrar de 0 a 3, porque la función no está definida entre 1 y 2. Aquí, habrá dos constantes, una para cada componente conexa del dominio . En general, al reemplazar las constantes con funciones localmente constantes , se puede extender este teorema a dominios disconexos. Por ejemplo, hay dos constantes de integración para${\textstyle \int dx/x}$y muchísimos para${\textstyle \int \tan x\,dx}$, por ejemplo, la forma general para la integral de 1/ x es: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$

Segundo,${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$se asumió que eran diferenciables en todas partes. Si${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$Si no son diferenciables ni siquiera en un punto, entonces el teorema podría fallar. Como ejemplo, sea${\displaystyle F(x)}$Sea la función escalón de Heaviside , que es cero para valores negativos de x y uno para valores no negativos de x , y sea${\displaystyle G(x)=0.}$Entonces la derivada de${\displaystyle F}$es cero donde se define, y la derivada de${\displaystyle G}$siempre es cero. Sin embargo, está claro que${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$no difieren en una constante, incluso si se supone que${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$Aunque sean continuas en todas partes y casi siempre diferenciables, el teorema sigue fallando. Como ejemplo, tomemos${\displaystyle F}$ser la función de Cantor y nuevamente dejar${\displaystyle G=0.}$

Resulta que sumar y restar constantes es la única flexibilidad disponible para encontrar diferentes antiderivadas de la misma función. Es decir, todas las antiderivadas son iguales salvo una constante. Para expresar este hecho para${\displaystyle \cos(x),}$uno puede escribir: $${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ dónde${\displaystyle C}$es constante de integración . Se determina fácilmente que todas las siguientes funciones son antiderivadas de${\displaystyle \cos(x)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$$

La inclusión de la constante de integración es necesaria en algunas circunstancias, pero no en todas. Por ejemplo, al evaluar integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo , la constante de integración puede ignorarse, ya que siempre se cancela consigo misma.

Sin embargo, los diferentes métodos de cálculo de integrales indefinidas pueden dar lugar a múltiples antiderivadas resultantes, cada una de las cuales contiene implícitamente diferentes constantes de integración, y ninguna opción en particular puede considerarse la más simple. Por ejemplo,${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$puede integrarse de al menos tres maneras diferentes.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}}$$Además, la omisión de la constante, o su establecimiento a cero, puede dificultar el tratamiento de varios problemas, como aquellos con condiciones de valor inicial . A menudo es necesaria una solución general que contenga la constante arbitraria para identificar la solución particular correcta. Por ejemplo, para obtener la antiderivada de${\displaystyle \cos(x)}$que tiene el valor 400 en x = π, entonces solo un valor de${\displaystyle C}$funcionará (en este caso${\displaystyle C=400}$).

La constante de integración también aparece, implícita o explícitamente, en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales . Casi todas las ecuaciones diferenciales tienen múltiples soluciones, y cada constante representa la solución única de un problema de valor inicial bien planteado.

Una justificación adicional proviene del álgebra abstracta . El espacio de todas las funciones (adecuadas) de valor real sobre los números reales es un espacio vectorial , y el operador diferencial${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$es un operador lineal . El operador${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$asigna una función a cero si y solo si esa función es constante. En consecuencia, el núcleo de${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$es el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de integración indefinida equivale a encontrar una preimagen de una función dada. No existe una preimagen canónica para una función dada, pero el conjunto de todas esas preimágenes forma una clase lateral . Elegir una constante es lo mismo que elegir un elemento de la clase lateral. En este contexto, resolver un problema de valor inicial se interpreta como estar en el hiperplano dado por las condiciones iniciales .