Teoría neoriemanniana

La teoría neo-riemanniana es una colección suelta de ideas presentes en los escritos de teóricos musicales como David Lewin , Brian Hyer, Richard Cohn y Henry Klumpenhouwer . Lo que une estas ideas es un compromiso central de relacionar las armonías directamente entre sí, sin referencia necesaria a una tónica . Inicialmente, esas armonías eran tríadas mayores y menores ; posteriormente, la teoría neo-riemanniana se extendió también a las sonoridades disonantes estándar. La proximidad armónica se mide característicamente por la eficiencia de la conducción de voces . Así, las tríadas de do mayor y mi menor están cerca en virtud de que requieren solo un cambio de semitono para pasar de una a la otra. El movimiento entre armonías próximas se describe mediante transformaciones simples. Por ejemplo, el movimiento entre una tríada de do mayor y mi menor, en cualquier dirección, se ejecuta mediante una transformación "L". Las progresiones extendidas de armonías se muestran característicamente en un plano geométrico, o mapa, que retrata todo el sistema de relaciones armónicas. En lo que no hay consenso es en la cuestión de qué es lo más central para la teoría: la conducción de voces suave, las transformaciones o el sistema de relaciones que trazan las geometrías. La teoría se invoca a menudo al analizar las prácticas armónicas dentro del período romántico tardío caracterizado por un alto grado de cromatismo , incluida la obra de Schubert , Liszt , Wagner y Bruckner . ^[1]

La teoría neoriemanniana recibe su nombre de Hugo Riemann (1849-1919), cuyo sistema "dualista" para relacionar tríadas fue adaptado de los primeros teóricos armónicos del siglo XIX. (El término " dualismo " se refiere al énfasis en la relación invertida entre mayor y menor, con las tríadas menores siendo consideradas versiones "al revés" de las tríadas mayores; este "dualismo" es lo que produce el cambio de dirección descrito anteriormente. Véase también: Utonalidad ) En la década de 1880, Riemann propuso un sistema de transformaciones que relacionaban las tríadas directamente entre sí ^[2] El resurgimiento de este aspecto de los escritos de Riemann, independientemente de las premisas dualistas bajo las que fueron concebidos inicialmente, se originó con David Lewin (1933-2003), particularmente en su artículo "La oración de Amfortas a Titurel y el papel de D en Parsifal" (1984) y su influyente libro, Intervalos musicales generalizados y transformaciones (1987). El desarrollo posterior en las décadas de 1990 y 2000 ha ampliado considerablemente el alcance de la teoría neo-Riemanniana, con una mayor sistematización matemática de sus principios básicos, así como incursiones en los repertorios del siglo XX y la psicología musical. ^[1]

Las principales transformaciones de la teoría triádica neoriemanniana conectan tríadas de diferentes especies (mayor y menor) y son sus propias inversas (una segunda aplicación deshace la primera). Estas transformaciones son puramente armónicas y no necesitan ninguna conducción de voces particular entre acordes: todos los casos de movimiento de una tríada en do mayor a una tríada en do menor representan la misma transformación neoriemanniana, sin importar cómo se distribuyan las voces en el registro.

Las tres transformaciones mueven una de las tres notas de la tríada para producir una tríada diferente:

• La transformación P intercambia una tríada por su Paralela . En una Tríada Mayor, mueve la tercera hacia abajo un semitono (de Do Mayor a Do Menor); en una Tríada Menor, mueve la tercera hacia arriba un semitono (de Do Menor a Do Mayor).
• La transformación R intercambia una tríada por su relativa . En una tríada mayor, sube la quinta un tono (de do mayor a la menor) y, en una tríada menor, baja la tónica un tono (de la menor a do mayor).
• La transformación L intercambia una tríada por su intercambio de tono principal. En una tríada mayor, la fundamental se mueve hacia abajo un semitono (de do mayor a mi menor), en una tríada menor, la quinta se mueve hacia arriba un semitono (de mi menor a do mayor).

Observe que P preserva el intervalo de quinta perfecta (por lo tanto, dados, digamos, C y G, solo hay dos candidatos para la tercera nota: E y E ♭ ), L preserva el intervalo de tercera menor (dados E y G, nuestros candidatos son C y B) y R preserva el intervalo de tercera mayor (dados C y E, nuestros candidatos son G y A).

Las operaciones secundarias se pueden construir combinando estas operaciones básicas:

• La relación N (o Nebenverwandt ) intercambia una tríada mayor por su subdominante menor y una tríada menor por su dominante mayor (Do mayor y Fa menor). La transformación "N" se puede obtener aplicando R, L y P sucesivamente. ^[3]
• La relación S (o Slide ) intercambia dos tríadas que comparten una tercera (Do mayor y Do ♯ menor); se puede obtener aplicando L, P y R sucesivamente en ese orden. ^[4]
• La relación H (LPL) intercambia una tríada por su polo hexatónico (do mayor y la ♭ menor) ^[5]

Cualquier combinación de las transformaciones L, P y R actuará inversamente en las tríadas mayores y menores: por ejemplo, R-luego-P transpone Do mayor una tercera menor hacia abajo, a La mayor vía La menor, mientras que transpone Do menor a Mi ♭ menor una tercera menor hacia arriba vía Mi ♭ mayor.

Los trabajos iniciales en la teoría neo-riemanniana trataron estas transformaciones de una manera en gran parte armónica, sin prestar atención explícita a la conducción de voces. Más tarde, Cohn señaló que los conceptos neo-riemannianos surgen naturalmente cuando se piensa en ciertos problemas de conducción de voces. ^{[6] [7]} Por ejemplo, dos tríadas (mayores o menores) comparten dos tonos comunes y pueden conectarse mediante la conducción de voces escalonada de la tercera voz si y solo si están vinculadas por una de las transformaciones L, P, R descritas anteriormente. ^[8] (Esta propiedad de la conducción de voces escalonada en una sola voz se llama parsimonia de conducción de voces ). Nótese que aquí el énfasis en las relaciones de inversión surge naturalmente, como un subproducto del interés en la conducción de voces "parsimoniosa", en lugar de ser un postulado teórico fundamental, como lo fue en el trabajo de Riemann.

Dmitri Tymoczko ha sostenido que la conexión entre las operaciones neo-riemannianas y la conducción de voces es sólo aproximada (véase más abajo). ^[9] Además, el formalismo de la teoría neo-riemanniana trata la conducción de voces de una manera un tanto oblicua: las "transformaciones neo-riemannianas", tal como se definieron anteriormente, son relaciones puramente armónicas que no implican necesariamente ningún mapeo particular entre las notas de los acordes. ^[7]

Las transformaciones neoriemannianas se pueden modelar con varias estructuras geométricas interrelacionadas. El Tonnetz riemanniano ("cuadrícula tonal", que se muestra a la derecha) es una matriz plana de tonos a lo largo de tres ejes simpliciales, que corresponden a los tres intervalos consonánticos. Las tríadas mayores y menores se representan mediante triángulos que recubren el plano del Tonnetz. Las tríadas adyacentes a los bordes comparten dos tonos comunes, por lo que las transformaciones principales se expresan como un movimiento mínimo del Tonnetz. A diferencia del teórico histórico que le da nombre, la teoría neoriemanniana generalmente supone una equivalencia enarmónica (G ♯ = A ♭ ), que envuelve el gráfico planar en un toro .

En la teoría neoriemanniana se han descrito geometrías tonales alternativas que aíslan o amplían ciertas características del Tonnetz clásico. Richard Cohn desarrolló el sistema hiperhexatónico para describir el movimiento dentro y entre ciclos de terceras mayores independientes, todos los cuales exhiben lo que él formula como "máxima suavidad" (Cohn, 1996). ^[6] Otra figura geométrica, la danza del cubo, fue inventada por Jack Douthett; presenta el dual geométrico del Tonnetz, donde las tríadas son vértices en lugar de triángulos (Douthett y Steinbach, 1998) y se intercalan con tríadas aumentadas, lo que permite una conducción de voces más suave.

Muchas de las representaciones geométricas asociadas con la teoría neo-riemanniana se unifican en un marco más general mediante los espacios continuos de conducción de voces explorados por Clifton Callender, Ian Quinn y Dmitri Tymoczko. Este trabajo se origina en 2004, cuando Callender describió un espacio continuo en el que los puntos representaban "tipos de acordes" de tres notas (como "tríada mayor"), utilizando el espacio para modelar "transformaciones continuas" en las que las voces se deslizaban continuamente de una nota a otra. ^[10] Más tarde, Tymoczko demostró que los caminos en el espacio de Callender eran isomorfos a ciertas clases de conducción de voces (las conducción de voces "relacionadas individualmente con T" analizadas en Tymoczko 2008) y desarrolló una familia de espacios más estrechamente análogos a los de la teoría neo-riemanniana. En los espacios de Tymoczko, los puntos representan acordes particulares de cualquier tamaño (como "do mayor") en lugar de tipos de acordes más generales (como "tríada mayor"). ^{[7] [11]} Finalmente, Callender, Quinn y Tymoczko juntos propusieron un marco unificado que conecta estos y muchos otros espacios geométricos que representan una amplia gama de propiedades teórico-musicales. ^[12]

La disposición de notas de la tabla armónica es una realización moderna de esta representación gráfica para crear una interfaz musical.

En 2011, Gilles Baroin presentó el modelo Planet-4D ^[13] , un nuevo sistema de visualización basado en la teoría de grafos que integra el Tonnetz tradicional en una hiperesfera 4D . Otra versión continua reciente del Tonnetz —simultáneamente en forma original y dual— es el toro de fases ^[14], que permite análisis aún más precisos, por ejemplo en la música romántica temprana. ^[15]

Los teóricos neoriemannianos suelen analizar las progresiones de acordes como combinaciones de las tres transformaciones LPR básicas, las únicas que preservan dos tonos comunes. Así, la progresión de do mayor a mi mayor podría analizarse como L-luego-P, que es un movimiento de 2 unidades ya que implica dos transformaciones. (Esta misma transformación envía do menor a la ♭ menor, ya que L de do menor es la ♭ mayor, mientras que P de la ♭ mayor es la ♭ menor). Estas distancias reflejan la conducción de voces solo de manera imperfecta. ^[9] Por ejemplo, según las corrientes de la teoría neoriemanniana que priorizan la preservación del tono común, la tríada de do mayor está más cerca de fa mayor que de fa menor, ya que do mayor se puede transformar en fa mayor mediante R-luego-L, mientras que se necesitan tres movimientos para llegar de do mayor a fa menor (R-luego-L-luego-P). Sin embargo, desde una perspectiva cromática de conducción de voces, fa menor está más cerca de do mayor que fa mayor, ya que solo se necesitan dos semitonos de movimiento para transformar fa menor en do mayor (la bemol -> sol y fa -> mi), mientras que se necesitan tres semitonos para transformar fa mayor en do mayor. Por lo tanto, las transformaciones LPR no pueden explicar la eficiencia de conducción de voces de la progresión IV-iv-I, una de las rutinas básicas de la armonía del siglo XIX. ^[9] Nótese que se pueden hacer puntos similares sobre los tonos comunes: en el Tonnetz, fa menor y mi bemol menor están a tres pasos de do mayor, aunque fa menor y do mayor tienen un tono común, mientras que mi bemol menor y do mayor no tienen ninguno.

Estas discrepancias se basan en diferentes ideas sobre si la proximidad armónica se maximiza cuando se comparten dos tonos comunes o cuando se minimiza la distancia total de conducción de voces. Por ejemplo, en la transformación R, una sola voz se mueve por tono completo; en la transformación N o S, dos voces se mueven por semitono. Cuando se prioriza la maximización del tono común, R es más eficiente; cuando la eficiencia de conducción de voces se mide sumando los movimientos de las voces individuales, las transformaciones son equivalentemente eficientes. La teoría neoriemanniana temprana fusionó estas dos concepciones. Trabajos más recientes las han desenredado y miden la distancia unilateralmente por proximidad de conducción de voces independientemente de la preservación del tono común. En consecuencia, la distinción entre transformaciones "primarias" y "secundarias" se vuelve problematizada. Ya en 1992, Jack Douthett creó un modelo geométrico exacto de conducción de voces intertriádica interpolando tríadas aumentadas entre tríadas relacionadas con R, al que llamó "Danza del Cubo". ^[16] Aunque la figura de Douthett se publicó en 1998, su superioridad como modelo de conducción de voces no se apreció plenamente hasta mucho después, a raíz del trabajo geométrico de Callender, Quinn y Tymoczko; de hecho, la primera comparación detallada de "Cube Dance" con el "Tonnetz" neoriemanniano apareció en 2009, más de quince años después del descubrimiento inicial de Douthett de su figura. ^[9] En esta línea de investigación, las transformaciones triádicas pierden el estatus fundacional que tenían en las primeras fases de la teoría neoriemanniana. Las geometrías a las que da lugar la proximidad de la conducción de voces alcanzan un estatus central, y las transformaciones se convierten en etiquetas heurísticas para ciertos tipos de rutinas estándar, en lugar de su propiedad definitoria.

Más allá de su aplicación a las progresiones de acordes triádicos, la teoría neoriemanniana ha inspirado numerosas investigaciones posteriores, entre ellas:

• Proximidad de conducción de voces entre acordes con más de tres tonos: entre especies de hexacordios , como el acorde Místico (Callender, 1998) ^[17]
• Proximidad de tono común entre tricordios disonantes ^[18]
• Progresiones entre tríadas dentro del espacio diatónico en lugar del cromático. (Frederick, 2019) ^[19]
• Transformaciones entre escalas de diversos tamaños y especies (en la obra de Dmitri Tymoczko ). ^[20]
• Transformaciones entre todas las tríadas posibles, no necesariamente involuciones estrictas de cambio de modo (Hook, 2002). ^[21]
• Transformaciones entre acordes de diferente cardinalidad, llamadas transformaciones de tipo cruzado (Hook, 2007). ^[22]

Algunas de estas extensiones comparten la preocupación de la teoría neo-Riemanniana por las relaciones no tradicionales entre acordes tonales familiares; otras aplican la proximidad de la voz conductora o la transformación armónica a acordes característicamente atonales.

• Función diatónica
• Teoría de conjuntos musicales
• Teoría de Riemann
• Teoría de la transformación

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• Lewin, David. "La oración de Amfortas a Titurel y el papel de D en 'Parsifal': los espacios tonales del drama y el Cb/B enarmónico", 19th Century Music 7/3 (1984), 336–349.
• Lewin, David. Intervalos musicales generalizados y transformaciones (Yale University Press: New Haven, CT, 1987). ISBN 978-0-300-03493-6 . 
• Cohn, Richard. 'Una introducción a la teoría neo-riemanniana: un estudio y una perspectiva histórica', Journal of Music Theory , 42/2 (1998), 167–180.
• Lerdahl, Fred. Tonal Pitch Space (Espacio de tono tonal) (Oxford University Press: Nueva York, 2001). ISBN 978-0-19-505834-5 . 
• Hook, Julian. Transformaciones triádicas uniformes (tesis doctoral, Universidad de Indiana, 2002).
• Kopp, David. Transformaciones cromáticas en la música del siglo XIX (Cambridge University Press, 2002). ISBN 978-0-521-80463-9 . 
• Hyer, Brian. "Reimaginando a Riemann", Journal of Music Theory , 39/1 (1995), 101–138.
• Mooney, Michael Kevin. La “tabla de relaciones” y la psicología musical en la teoría cromática de Hugo Riemann (tesis doctoral, Universidad de Columbia, 1996).
• Cohn, Richard. "Operaciones neoriemannianas, tricordios parsimoniosos y sus representaciones de Tonnetz ", Journal of Music Theory , 41/1 (1997), 1–66.
• Cohn, Richard. Eufonía audaz: cromatismo y la segunda naturaleza de la tríada (Nueva York: Oxford University Press, 2012). ISBN 978-0-19-977269-8 . 
• Gollin, Edward y Alexander Rehding, Oxford Handbook of Neo-Riemannian Music Theories (Nueva York: Oxford University Press, 2011). ISBN 978-0-19-532133-3 .