Números de Euler

En matemáticas , los números de Euler son una secuencia E _n de números enteros (secuencia A122045 en la OEIS ) definida por la expansión de la serie de Taylor.

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$,

donde es la función coseno hiperbólico . Los números de Euler están relacionados con un valor especial de los polinomios de Euler , a saber: ${\displaystyle \cosh(t)}$

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Los números de Euler aparecen en los desarrollos en serie de Taylor de las funciones secante e hiperbólica . Esta última es la función que aparece en la definición. También aparecen en combinatoria , específicamente al contar el número de permutaciones alternadas de un conjunto con un número par de elementos.

Los números de Euler de índice impar son todos cero . Los de índice par (secuencia A028296 en la OEIS ) tienen signos alternos. Algunos valores son:

Algunos autores reindexan la secuencia para omitir los números de Euler impares con valor cero, o cambian todos los signos a positivos (secuencia A000364 en la OEIS ). Este artículo se adhiere a la convención adoptada anteriormente.

Las dos siguientes fórmulas expresan los números de Euler en términos de números de Stirling de segundo tipo ^{[1] [2]}

${\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(\ell )}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )}\right),}$

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )},}$

donde denota los números de Stirling del segundo tipo , y denota el factorial ascendente . ${\displaystyle S(n,\ell )}$${\displaystyle x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}$

Las dos fórmulas siguientes expresan los números de Euler como sumas dobles ^[3]

${\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},}$

${\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}$

Una fórmula explícita para los números de Euler es: ^[4]

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}$

donde i denota la unidad imaginaria con i ² = −1 .

El número de Euler E _{2 n} se puede expresar como una suma sobre las particiones pares de 2 n , ^[5]

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

así como una suma sobre las particiones impares de 2 n − 1 , ^[6]

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

donde en ambos casos K = k ₁ + ··· + k _n y

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

es un coeficiente multinomial . Los deltas de Kronecker en las fórmulas anteriores restringen las sumas sobre los k s a 2 k ₁ + 4 k ₂ + ··· + 2 nk _n = 2 n y a k ₁ + 3 k ₂ + ··· + (2 n − 1) k _n = 2 n − 1 , respectivamente.

A modo de ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}$

E _{2 n} viene dado por el determinante

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

E _{2 n} también viene dada por las siguientes integrales:

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

W. Zhang ^[7] obtuvo las siguientes identidades combinacionales relativas a los números de Euler, para cualquier primo , tenemos ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}$

W. Zhang y Z. Xu ^[8] demostraron que, para cualquier primo y entero , tenemos ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}$

donde es la función totiente de Euler . ${\displaystyle \phi (n)}$

Los números de Euler crecen bastante rápido para índices grandes, ya que tienen el siguiente límite inferior

${\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

La serie de Taylor de es ${\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},}$

donde A _n son los números en zigzag de Euler , comenzando con

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (secuencia A000111 en la OEIS )

Para todo n par ,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},}$

donde E _n es el número de Euler; y para todo n impar ,

${\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

donde B _n es el número de Bernoulli .

Para cada n ,

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}$^{[ cita requerida ]}

• Número de campana
• Número de Bernoulli
• Función beta de Dirichlet
• Constante de Euler-Mascheroni

• "Números de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Número de Euler". MundoMatemático .