Teorema de Taylor

En cálculo , el teorema de Taylor proporciona una aproximación de una función -veces diferenciable alrededor de un punto dado mediante un polinomio de grado , llamado polinomio de Taylor de -ésimo orden . Para una función suave , el polinomio de Taylor es el truncamiento en el orden de la serie de Taylor de la función. El polinomio de Taylor de primer orden es la aproximación lineal de la función, y el polinomio de Taylor de segundo orden se conoce a menudo como la aproximación cuadrática . ^[1] Existen varias versiones del teorema de Taylor, algunas de las cuales proporcionan estimaciones explícitas del error de aproximación de la función mediante su polinomio de Taylor. ${\textstyle k}$${\textstyle k}$${\textstyle k}$${\textstyle k}$

El teorema de Taylor debe su nombre al matemático Brook Taylor , quien enunció una versión del mismo en 1715, ^[2] aunque una versión anterior del resultado ya fue mencionada en 1671 por James Gregory . ^[3]

El teorema de Taylor se enseña en cursos de cálculo de nivel introductorio y es una de las herramientas elementales centrales en el análisis matemático . Proporciona fórmulas aritméticas simples para calcular con precisión los valores de muchas funciones trascendentales , como la función exponencial y las funciones trigonométricas . Es el punto de partida del estudio de las funciones analíticas y es fundamental en varias áreas de las matemáticas, así como en el análisis numérico y la física matemática . El teorema de Taylor también se generaliza a funciones multivariadas y con valores vectoriales . Proporcionó la base matemática para algunas de las primeras máquinas de computación emblemáticas: la máquina diferencial de Charles Babbage calculaba senos, cosenos, logaritmos y otras funciones trascendentales integrando numéricamente los primeros 7 términos de su serie de Taylor.

Si una función de valor real es diferenciable en el punto , entonces tiene una aproximación lineal cerca de este punto. Esto significa que existe una función h ₁ ( x ) tal que ${\textstyle f(x)}$${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.}$$

Aquí

$${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$$

es la aproximación lineal de para x cerca del punto a , cuyo gráfico es la recta tangente al gráfico en x = a . El error en la aproximación es: ${\textstyle f(x)}$${\textstyle y=P_{1}(x)}$${\textstyle y=f(x)}$$${\displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).}$$

Como x tiende a  a, este error tiende a cero mucho más rápido que , lo que constituye una aproximación útil. ${\displaystyle f'(a)(x{-}a)}$${\displaystyle f(x)\approx P_{1}(x)}$

Para una mejor aproximación a , podemos ajustar un polinomio cuadrático en lugar de una función lineal: ${\textstyle f(x)}$

$${\displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.}$$

En lugar de simplemente coincidir con una derivada de en , este polinomio tiene las mismas derivadas primera y segunda, como es evidente en la diferenciación. ${\textstyle f(x)}$${\textstyle x=a}$

El teorema de Taylor asegura que la aproximación cuadrática es, en un entorno suficientemente pequeño de , más precisa que la aproximación lineal. En concreto, ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.}$$

Aquí el error en la aproximación es

$${\displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},}$$

que, dado el comportamiento límite de , tiende a cero más rápido que cuando x tiende a  a . ${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle (x-a)^{2}}$

De manera similar, podríamos obtener aproximaciones aún mejores a f si usamos polinomios de mayor grado, ya que entonces podemos hacer coincidir incluso más derivadas con f en el punto base seleccionado.

En general, el error al aproximar una función mediante un polinomio de grado k tiende a cero mucho más rápido que cuando x tiende a  a . Sin embargo, hay funciones, incluso infinitamente diferenciables, para las que aumentar el grado del polinomio de aproximación no aumenta la precisión de la aproximación: decimos que dicha función no es analítica en x = a : no está determinada (localmente) por sus derivadas en este punto. ${\displaystyle (x-a)^{k}}$

El teorema de Taylor es de naturaleza asintótica: sólo nos dice que el error en una aproximación por un polinomio de Taylor de orden -ésimo P _k tiende a cero más rápido que cualquier polinomio de grado -ésimo distinto de cero cuando . No nos dice cuán grande es el error en cualquier entorno concreto del centro de expansión, pero para este propósito hay fórmulas explícitas para el término restante (dadas a continuación) que son válidas bajo algunos supuestos de regularidad adicionales en f . Estas versiones mejoradas del teorema de Taylor generalmente conducen a estimaciones uniformes para el error de aproximación en un entorno pequeño del centro de expansión, pero las estimaciones no necesariamente se mantienen para entornos que son demasiado grandes, incluso si la función f es analítica . En esa situación, uno puede tener que seleccionar varios polinomios de Taylor con diferentes centros de expansión para tener aproximaciones de Taylor confiables de la función original (vea la animación a la derecha). ${\textstyle R_{k}}$${\textstyle k}$${\textstyle k}$${\textstyle x\to a}$

Hay varias formas en las que podríamos utilizar el término restante:

1. Estimar el error para un polinomio P _k ( x ) de grado k estimando en un intervalo dado ( a – r , a + r ). (Dados el intervalo y el grado, hallamos el error).${\textstyle f(x)}$
2. Halla el grado k más pequeño para el cual el polinomio P _k ( x ) se aproxima dentro de una tolerancia de error dada en un intervalo dado ( a − r , a + r ). (Dados el intervalo y la tolerancia de error, hallamos el grado).${\textstyle f(x)}$
3. Encuentre el intervalo más grande ( a − r , a + r ) en el que P _k ( x ) se aproxima dentro de una tolerancia de error dada. (Dados el grado y la tolerancia de error, encontramos el intervalo).${\textstyle f(x)}$

El enunciado preciso de la versión más básica del teorema de Taylor es el siguiente:

El polinomio que aparece en el teorema de Taylor es el polinomio de Taylor de orden -ésimo.${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

de la función f en el punto a . El polinomio de Taylor es el único polinomio de "mejor ajuste asintótico" en el sentido de que si existe una función h _k  : R → R y un polinomio de orden p tal que ${\textstyle k}$

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

entonces p  =  P _k . El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término restante

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

que es el error de aproximación al aproximar f con su polinomio de Taylor. Usando la notación minúscula , el enunciado del teorema de Taylor se lee como

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

Bajo supuestos de regularidad más fuertes en f hay varias fórmulas precisas para el término restante R _k del polinomio de Taylor, siendo las más comunes las siguientes.

Estos refinamientos del teorema de Taylor se suelen demostrar utilizando el teorema del valor medio , de ahí el nombre. Además, observe que este es precisamente el teorema del valor medio cuando . También se pueden encontrar otras expresiones similares. Por ejemplo, si G ( t ) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con una derivada no nula en el intervalo abierto entre y , entonces ${\textstyle k=0}$${\textstyle a}$${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

para algún número entre y . Esta versión cubre las formas de Lagrange y Cauchy del resto como casos especiales, y se demuestra a continuación utilizando el teorema del valor medio de Cauchy . La forma de Lagrange se obtiene tomando y la forma de Cauchy se obtiene tomando . ${\textstyle \xi }$${\textstyle a}$${\textstyle x}$${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$${\displaystyle G(t)=t-a}$

El enunciado para la forma integral del resto es más avanzado que los anteriores y requiere la comprensión de la teoría de integración de Lebesgue para su total generalidad. Sin embargo, también es válido en el sentido de la integral de Riemann siempre que la derivada ( k  + 1) de f sea continua en el intervalo cerrado [ a , x ].

Debido a la continuidad absoluta de f ^{( k )} en el intervalo cerrado entre y , su derivada f ^{( k +1)} existe como una función L ¹ , y el resultado puede demostrarse mediante un cálculo formal utilizando el teorema fundamental del cálculo y la integración por partes . ${\textstyle a}$${\textstyle x}$

En la práctica, suele ser útil poder estimar el término restante que aparece en la aproximación de Taylor, en lugar de tener una fórmula exacta para ello. Supóngase que f es ( k + 1) -veces continuamente diferenciable en un intervalo I que contiene a . Supóngase que existen constantes reales q y Q tales que

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

en todo I . Entonces el término restante satisface la desigualdad ^[11]

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

si x > a , y una estimación similar si x < a . Esta es una consecuencia simple de la forma de Lagrange del resto. En particular, si

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

en un intervalo I = ( a − r , a + r ) con algún , entonces ${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

para todo x ∈( a − r , a + r ). La segunda desigualdad se llama estimación uniforme , porque se cumple uniformemente para todo x en el intervalo ( a − r , a + r ).

Supongamos que queremos hallar el valor aproximado de la función en el intervalo , asegurándonos de que el error en la aproximación no sea mayor que 10 ⁻⁵ . En este ejemplo, supongamos que solo conocemos las siguientes propiedades de la función exponencial: ${\textstyle f(x)=e^{x}}$${\textstyle [-1,1]}$

De estas propiedades se deduce que para todo , y en particular, . Por lo tanto, el polinomio de Taylor de orden -ésimo de at y su término restante en la forma de Lagrange están dados por ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$${\textstyle k}$${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$${\textstyle k}$${\textstyle f}$${\textstyle 0}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

donde es un número entre 0 y x . Como e ^x aumenta en ( ★ ), podemos simplemente usar para estimar el resto en el subintervalo . Para obtener un límite superior para el resto en , usamos la propiedad para estimar ${\textstyle \xi }$${\textstyle e^{x}\leq 1}$${\textstyle x\in [-1,0]}$${\displaystyle [-1,0]}$${\displaystyle [0,1]}$${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$${\textstyle 0<\xi <x}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

utilizando la expansión de Taylor de segundo orden. Luego, resolvemos e ^x para deducir que

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador . Combinando estas estimaciones para e ^x vemos que

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

De modo que la precisión requerida se alcanza con certeza, cuando

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

(Ver factorial o calcular a mano los valores y .) Como conclusión, el teorema de Taylor conduce a la aproximación ${\textstyle 9!=362880}$${\textstyle 10!=3628800}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

Por ejemplo, esta aproximación proporciona una expresión decimal , correcta hasta cinco decimales. ${\displaystyle e\approx 2.71828}$

Sea I ⊂ R un intervalo abierto . Por definición, una función f  : I → R es analítica real si está definida localmente por una serie de potencias convergentes . Esto significa que para cada a  ∈  I existe algún r  > 0 y una sucesión de coeficientes c _k  ∈  R tales que ( a − r , a + r ) ⊂ I y

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

En general, el radio de convergencia de una serie de potencias se puede calcular a partir de la fórmula de Cauchy-Hadamard

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

Este resultado se basa en la comparación con una serie geométrica , y el mismo método muestra que si la serie de potencias basada en a converge para algún b ∈ R , debe converger uniformemente en el intervalo cerrado , donde . Aquí solo se considera la convergencia de la serie de potencias, y bien podría ser que ( a − R , a + R ) se extienda más allá del dominio I de f . ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$

Los polinomios de Taylor de la función analítica real f en a son simplemente los truncamientos finitos

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

de su serie de potencias que la definen localmente, y los términos restantes correspondientes están dados localmente por las funciones analíticas

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

Aquí las funciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

también son analíticas, ya que sus series de potencias definitorias tienen el mismo radio de convergencia que la serie original. Suponiendo que [ a − r , a + r ] ⊂ I y r  <  R , todas estas series convergen uniformemente en ( a − r , a + r ) . Naturalmente, en el caso de funciones analíticas se puede estimar el término restante por la cola de la secuencia de las derivadas f′ ( a ) en el centro del desarrollo, pero utilizando el análisis complejo también surge otra posibilidad, que se describe a continuación. ${\textstyle R_{k}(x)}$

La serie de Taylor de f convergerá en algún intervalo en el que todas sus derivadas estén acotadas y no crezcan demasiado rápido a medida que k tiende al infinito. (Sin embargo, incluso si la serie de Taylor converge, podría no converger a f , como se explica a continuación; entonces se dice que f no es analítica ).

Se podría pensar en la serie de Taylor

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

de una función infinitamente diferenciable f  : R → R como su "polinomio de Taylor de orden infinito" en a . Ahora bien, las estimaciones para el resto implican que si, para cualquier r , se sabe que las derivadas de f están acotadas en ( a  −  r , a  +  r ), entonces para cualquier orden k y para cualquier r  > 0 existe una constante M _k,r > 0 tal que

para cada x  ∈ ( a  −  r , a  +  r ). A veces las constantes M _k,r pueden elegirse de tal manera que M _k,r esté acotada por encima, para r fijo y todos los k . Entonces la serie de Taylor de f converge uniformemente a alguna función analítica

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

(También se obtiene convergencia incluso si M _k,r no está acotado por encima, siempre que crezca lo suficientemente lento).

La función límite T _f es por definición siempre analítica, pero no necesariamente igual a la función original f , incluso si f es infinitamente diferenciable. En este caso, decimos que f es una función suave no analítica , por ejemplo una función plana :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Utilizando la regla de la cadena repetidamente por inducción matemática , se demuestra que para cualquier orden  k ,

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

para algún polinomio p _k de grado 2( k − 1). La función tiende a cero más rápido que cualquier polinomio como , por lo que f es infinitamente diferenciable y f ^{( k )} (0) = 0 para cada entero positivo k . Todos los resultados anteriores son válidos en este caso: ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$${\textstyle x\to 0}$

• La serie de Taylor de f converge uniformemente a la función cero T _f ( x ) = 0, que es analítica con todos los coeficientes iguales a cero.
• La función f es desigual a esta serie de Taylor y, por lo tanto, no analítica.
• Para cualquier orden k  ∈  N y radio r  > 0 existe M _k,r  > 0 que satisface el límite restante ( ★★ ) anterior.

Sin embargo, a medida que k aumenta para r fijo , el valor de M _k,r crece más rápidamente que r ^k y el error no llega a cero .

El teorema de Taylor se generaliza a funciones f  : C → C que son complejas diferenciables en un subconjunto abierto U  ⊂  C del plano complejo . Sin embargo, su utilidad se ve eclipsada por otros teoremas generales en análisis complejo . Es decir, se pueden deducir versiones más sólidas de resultados relacionados para funciones complejas diferenciables f  :  U  →  C utilizando la fórmula integral de Cauchy de la siguiente manera.

Sea r  > 0 tal que el disco cerrado B ( z ,  r ) ∪  S ( z ,  r ) está contenido en U . Entonces la fórmula integral de Cauchy con una parametrización positiva γ ( t ) = z + re ^it del círculo S ( z , r ) con da ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

Aquí todos los integrandos son continuos en el círculo S ( z ,  r ), lo que justifica la diferenciación bajo el signo integral. En particular, si f es una vez compleja diferenciable en el conjunto abierto U , entonces es en realidad infinitas veces compleja diferenciable en U . También se obtiene la estimación de Cauchy ^[12]

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

para cualquier z  ∈  U y r  > 0 tal que B ( z ,  r ) ∪  S ( c ,  r ) ⊂  U . La estimación implica que la serie compleja de Taylor

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

de f converge uniformemente en cualquier disco abierto con alguna función T _f . Además, utilizando las fórmulas integrales de contorno para las derivadas f ^{( k )} ( c ), ${\textstyle B(c,r)\subset U}$${\textstyle S(c,r)\subset U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw\\&=f(z),\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cualquier función compleja diferenciable f en un conjunto abierto U  ⊂  C es, de hecho, analítica compleja . Todo lo que se dice aquí para las funciones analíticas reales se aplica también a las funciones analíticas complejas con el intervalo abierto I reemplazado por un subconjunto abierto U  ∈  C y los intervalos centrados en a ( a  −  r ,  a  +  r ) reemplazados por discos centrados en c B ( c ,  r ). En particular, la expansión de Taylor se cumple en la forma

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

donde el término restante R _k es analítico complejo. Los métodos de análisis complejo proporcionan algunos resultados poderosos con respecto a las expansiones de Taylor. Por ejemplo, utilizando la fórmula integral de Cauchy para cualquier curva de Jordan orientada positivamente que parametriza el límite de una región , se obtienen expresiones para las derivadas f ^{( j )} ( c ) como se indicó anteriormente, y modificando ligeramente el cálculo para T _f ( z ) = f ( z ) , se llega a la fórmula exacta ${\textstyle \gamma }$${\textstyle \partial W\subset U}$${\textstyle W\subset U}$

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

La característica importante aquí es que la calidad de la aproximación por un polinomio de Taylor en la región está dominada por los valores de la propia función f en el límite . De manera similar, al aplicar las estimaciones de Cauchy a la expresión de la serie para el resto, se obtienen las estimaciones uniformes ${\textstyle W\subset U}$${\textstyle \partial W\subset U}$

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

La función

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

es analítica real , es decir, determinada localmente por su serie de Taylor. Esta función se trazó anteriormente para ilustrar el hecho de que algunas funciones elementales no pueden aproximarse mediante polinomios de Taylor en las proximidades del centro de expansión que son demasiado grandes. Este tipo de comportamiento se entiende fácilmente en el marco del análisis complejo. Es decir, la función f se extiende a una función meromórfica

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

en el plano complejo compactificado. Tiene polos simples en y , y es analítica en el resto del plano. Ahora su serie de Taylor centrada en z ₀ converge en cualquier disco B ( z ₀ , r ) con r < | z  −  z ₀ |, donde la misma serie de Taylor converge en z  ∈  C . Por lo tanto, la serie de Taylor de f centrada en 0 converge en B (0, 1) y no converge para ningún z ∈ C con | z | > 1 debido a los polos en i y − i . Por la misma razón, la serie de Taylor de f centrada en 1 converge en y no converge para ningún z  ∈  C con . ${\textstyle z=i}$${\textstyle z=-i}$${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$

Una función f : R ⁿ → R es diferenciable en a ∈ R ⁿ si y sólo si existe una función lineal L  : R ⁿ → R y una función h  : R ⁿ → R tal que

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

Si este es el caso, entonces la diferencial (definida de manera única) de f en el punto a es . Además, entonces las derivadas parciales de f existen en a y la diferencial de f en a está dada por ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

Introducir la notación de múltiples índices

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$$

para α ∈ N ⁿ y x ∈ R ⁿ . Si todas las derivadas parciales de orden -ésimo de f  : R ⁿ → R son continuas en a ∈ R ⁿ , entonces por el teorema de Clairaut , se puede cambiar el orden de las derivadas mixtas en a , por lo que la notación abreviada ${\textstyle k}$

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial {\boldsymbol {x}}^{\alpha }}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

para las derivadas parciales de orden superior se justifica en esta situación. Lo mismo es cierto si todas las derivadas parciales de orden ( k − 1 ) de f existen en algún entorno de a y son diferenciables en a . ^[13] Entonces decimos que f es k veces diferenciable en el punto  a .

Utilizando las notaciones de la sección anterior, se tiene el siguiente teorema.

Si la función f  : R ⁿ → R es k + 1 veces continuamente diferenciable en una bola cerrada para algún , entonces se puede derivar una fórmula exacta para el resto en términos de derivadas parciales de orden ( k +1 ) de f en esta vecindad. ^[15] Es decir, ${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}$$

En este caso, debido a la continuidad de las derivadas parciales de orden ( k +1 ) en el conjunto compacto B , se obtienen inmediatamente las estimaciones uniformes

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}$$

Por ejemplo, el polinomio de Taylor de tercer orden de una función suave es, que denota , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

Sea ^[16]

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

donde, como en el enunciado del teorema de Taylor,

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

Es suficiente demostrar que

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

La prueba aquí se basa en la aplicación repetida de la regla de L'Hôpital . Nótese que, para cada , . Por lo tanto, cada una de las primeras derivadas del numerador en se anula en , y lo mismo es cierto para el denominador. Además, dado que la condición de que la función sea veces diferenciable en un punto requiere diferenciabilidad hasta el orden en un entorno de dicho punto (esto es cierto, porque la diferenciabilidad requiere que una función esté definida en todo el entorno de un punto), el numerador y sus derivadas son diferenciables en un entorno de . Claramente, el denominador también satisface dicha condición y, además, no se anula a menos que , por lo tanto, se cumplen todas las condiciones necesarias para la regla de L'Hôpital y su uso está justificado. Entonces ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$${\textstyle k-1}$${\displaystyle h_{k}(x)}$${\displaystyle x=a}$${\textstyle f}$${\textstyle k}$${\textstyle k-1}$${\textstyle k-2}$${\textstyle a}$${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

donde la segunda a la última igualdad se sigue de la definición de la derivada en . ${\textstyle x=a}$

Sea cualquier función continua de valor real que se aproximará mediante el polinomio de Taylor. ${\displaystyle f(x)}$

Paso 1: Sean y funciones. Establezca y como ${\textstyle F}$${\textstyle G}$${\textstyle F}$${\textstyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$