Propagación de la incertidumbre

En estadística , la propagación de la incertidumbre es el efecto de las incertidumbres de las variables sobre la incertidumbre de una función basada en ellas. Cuando las variables son valores de mediciones experimentales, presentan incertidumbres debidas a limitaciones de medición (por ejemplo, precisión del instrumento ), las cuales se propagan debido a la combinación de variables en la función.

La incertidumbre u puede expresarse de diversas maneras. Puede definirse mediante el error absoluto Δx . Las incertidumbres también pueden definirse mediante el error relativo (Δx ) / x , que generalmente se expresa como un porcentaje. Lo más común es cuantificar la incertidumbre de una magnitud en términos de la desviación estándar σ , que es la raíz cuadrada positiva de la varianza . El valor de una magnitud y su error se expresan entonces como un intervalo x ± u . Sin embargo, la forma más general de caracterizar la incertidumbre es especificando su distribución de probabilidad . Si se conoce o se puede asumir la distribución de probabilidad de la variable, en teoría es posible obtener cualquiera de sus estadísticas. En particular, es posible derivar límites de confianza para describir la región dentro de la cual se puede encontrar el verdadero valor de la variable. Por ejemplo, los límites de confianza del 68% para una variable unidimensional perteneciente a una distribución normal son aproximadamente ± una desviación estándar σ del valor central x , lo que significa que la región x ± σ cubrirá el valor verdadero en aproximadamente el 68% de los casos.

Si las incertidumbres están correlacionadas , entonces debe tenerse en cuenta la covarianza . La correlación puede surgir de dos fuentes diferentes. Primero, los errores de medición pueden estar correlacionados. Segundo, cuando los valores subyacentes están correlacionados en una población, las incertidumbres en los promedios del grupo estarán correlacionadas. ^{[ 1 ]}

En un contexto general donde una función no lineal modifica los parámetros inciertos (correlacionados o no), las herramientas estándar para propagar la incertidumbre e inferir la distribución de probabilidad/estadísticas de la cantidad resultante son las técnicas de muestreo de la familia del método de Monte Carlo . ^{[ 2 ]} Para conjuntos de datos muy grandes o funciones complejas, el cálculo de la propagación del error puede ser muy costoso, por lo que puede ser necesario un modelo sustituto ^{[ 3 ]} o una estrategia de computación paralela ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} .

En algunos casos particulares, el cálculo de la propagación de la incertidumbre puede realizarse mediante procedimientos algebraicos sencillos. Algunos de estos escenarios se describen a continuación.

Sea un conjunto de m funciones, que son combinaciones lineales de variables con coeficientes de combinación : o en notación matricial, ${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$$${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$$$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}$$

Además, sea la matriz de varianza-covarianza de x = ( x ₁ , ..., x _n ) denotada por y sea el valor medio denotado por : es el producto exterior . ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=\operatorname {E} [(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]&={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \otimes }$

Entonces, la matriz de varianza-covarianza de f viene dada por ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{f}&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\\[1ex]&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

En notación de componentes, la ecuación se lee $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$$${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}$$

Esta es la expresión más general para la propagación de errores de un conjunto de variables a otro. Cuando los errores en x no están correlacionados, la expresión general se simplifica a donde es la varianza del k -ésimo elemento del vector x . Nótese que, aunque los errores en x no estén correlacionados, los errores en f sí lo están en general; en otras palabras, incluso si es una matriz diagonal , en general es una matriz completa. $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$$${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$

Las expresiones generales para una función escalar f son un poco más sencillas (aquí a es un vector fila ): $${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$$

Cada término de covarianza puede expresarse en términos del coeficiente de correlación mediante , de modo que una expresión alternativa para la varianza de f es ${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

En el caso de que las variables en x no estén correlacionadas, esto se simplifica aún más a $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$$

En el caso simple de coeficientes y varianzas idénticos, encontramos $${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$$

Para la media aritmética, , el resultado es el error estándar de la media : ${\displaystyle a=1/n}$$${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

When f is a set of non-linear combination of the variables x, an interval propagation could be performed in order to compute intervals which contain all consistent values for the variables. In a probabilistic approach, the function f must usually be linearised by approximation to a first-order Taylor series expansion, though in some cases, exact formulae can be derived that do not depend on the expansion as is the case for the exact variance of products.^[7] The Taylor expansion would be: $${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$$ where ${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$ denotes the partial derivative of f_k with respect to the i-th variable, evaluated at the mean value of all components of vector x. Or in matrix notation, $${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$$ where J is the Jacobian matrix. Since f⁰ is a constant it does not contribute to the error on f. Therefore, the propagation of error follows the linear case, above, but replacing the linear coefficients, A_ki and A_kj by the partial derivatives, ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$. In matrix notation,^[8]$${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$$

That is, the Jacobian of the function is used to transform the rows and columns of the variance-covariance matrix of the argument. Note this is equivalent to the matrix expression for the linear case with ${\displaystyle \mathrm {J=A} }$.

Neglecting correlations or assuming independent variables yields a common formula among engineers and experimental scientists to calculate error propagation, the variance formula:^[9]$${\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}}$$ where ${\displaystyle s_{f}}$ represents the standard deviation of the function ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle s_{x}}$ represents the standard deviation of ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle s_{y}}$ represents the standard deviation of ${\displaystyle y}$, and so forth.

This formula is based on the linear characteristics of the gradient of ${\displaystyle f}$ and therefore it is a good estimation for the standard deviation of ${\displaystyle f}$ as long as ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$ are small enough. Specifically, the linear approximation of ${\displaystyle f}$ has to be close to ${\displaystyle f}$ inside a neighbourhood of radius ${\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }$.^[10]

Cualquier función diferenciable no lineal , , de dos variables, y , puede expandirse como Si tomamos la varianza en ambos lados y usamos la fórmula ^{[ 11 ]} para la varianza de una combinación lineal de variables, entonces obtenemos donde es la desviación estándar de la función , es la desviación estándar de , es la desviación estándar de y es la covarianza entre y . ${\displaystyle f(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.}$$$${\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},}$$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

En el caso particular de que , , . Entonces o donde es la correlación entre y . ${\displaystyle f=ab}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}}$$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}}$$${\displaystyle \rho _{ab}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Cuando las variables y no están correlacionadas, entonces . ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \rho _{ab}=0}$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}$$

Las estimaciones de error para funciones no lineales presentan sesgos debido al uso de un desarrollo en serie truncado. La magnitud de este sesgo depende de la naturaleza de la función. Por ejemplo, el sesgo en el error calculado para log(1+ x ) aumenta a medida que x aumenta, ya que el desarrollo en serie hasta x es una buena aproximación solo cuando x está cerca de cero.

Para funciones altamente no lineales, existen cinco categorías de enfoques probabilísticos para la propagación de la incertidumbre; ^{[ 12 ]} véase Cuantificación de la incertidumbre para más detalles.

En el caso especial de la inversa o recíproca , donde sigue una distribución normal estándar , la distribución resultante es una distribución normal estándar recíproca y no hay varianza definible. ^{[ 13 ]}${\displaystyle 1/B}$${\displaystyle B=N(0,1)}$

Sin embargo, en el caso ligeramente más general de una función recíproca desplazada que sigue una distribución normal general, entonces las estadísticas de media y varianza sí existen en un sentido de valor principal , si la diferencia entre el polo y la media es de valor real. ^{[ 14 ]}${\displaystyle 1/(p-B)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$

Las proporciones también son problemáticas; existen aproximaciones normales bajo ciertas condiciones.

Esta tabla muestra las varianzas y desviaciones estándar de funciones simples de las variables reales con desviaciones estándar de covarianza y correlación. Se supone que los coeficientes de valor real y se conocen exactamente (deterministas), es decir,${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$${\displaystyle \rho _{AB}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

En las columnas de la derecha de la tabla, y son valores esperados , y es el valor de la función calculado en esos valores. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$

Para variables no correlacionadas ( , ), se pueden obtener expresiones para funciones más complejas combinando funciones más simples. Por ejemplo, la multiplicación repetida, suponiendo que no hay correlación, da como resultado ${\displaystyle \rho _{AB}=0}$${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$$${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$$

Para el caso también tenemos la expresión de Goodman ^{[ 7 ]} para la varianza exacta: para el caso no correlacionado es y por lo tanto tenemos El último término representa una pequeña corrección a la fórmula usual como se puede ver dividiendo ambos lados por . ${\displaystyle f=AB}$$${\displaystyle \operatorname {V} [XY]=\operatorname {E} [X]^{2}\operatorname {V} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [X]\operatorname {V} [Y],}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}$$${\displaystyle f^{2}=A^{2}B^{2}}$$${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}=\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{A}\sigma _{B}}{AB}}\right)^{2}.}$$

Si A y B no están correlacionadas, su diferencia A − B tendrá mayor varianza que cualquiera de ellas por separado. Una correlación positiva creciente ( ) disminuirá la varianza de la diferencia, convergiendo a varianza cero para variables perfectamente correlacionadas con la misma varianza . Por otro lado, una correlación negativa ( ) aumentará aún más la varianza de la diferencia, en comparación con el caso de no correlación. ${\displaystyle \rho _{AB}\to 1}$${\displaystyle \rho _{AB}\to -1}$

Por ejemplo, la auto-resta f = A − A tiene varianza cero solo si la variable está perfectamente autocorrelacionada ( ). Si A no está correlacionada, entonces la varianza de salida es el doble de la varianza de entrada, y si A está perfectamente anticorrelacionada, entonces la varianza de entrada se cuadruplica en la salida, (nótese para f = aA − aA en la tabla anterior). ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}$${\displaystyle \rho _{A}=1}$${\displaystyle \rho _{A}=0,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}$${\displaystyle \rho _{A}=-1,}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}$${\displaystyle 1-\rho _{A}=2}$

Podemos calcular la propagación de la incertidumbre para la función tangente inversa como ejemplo del uso de derivadas parciales para propagar el error.

Definimos dónde es la incertidumbre absoluta en nuestra medición de x . La derivada de f ( x ) con respecto a x es $${\displaystyle f(x)=\arctan(x),}$$${\displaystyle \Delta _{x}}$$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$$

Por lo tanto, nuestra incertidumbre propagada es donde es la incertidumbre propagada absoluta. $${\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},}$$${\displaystyle \Delta _{f}}$

Una aplicación práctica es un experimento en el que se mide la corriente , I , y el voltaje , V , en una resistencia para determinar la resistencia , R , utilizando la ley de Ohm , R = V / I.

Dadas las variables medidas con incertidumbres, I ± σ _I y V ± σ _V , y despreciando su posible correlación, la incertidumbre en la cantidad calculada, σ _R , es:

$${\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}$$

• Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002), Reducción de datos y análisis de errores para las ciencias físicas (3.ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Fornasini, Paolo (2008), La incertidumbre en las mediciones físicas: una introducción al análisis de datos en el laboratorio de física , Springer, pág. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Meyer, Stuart L. (1975), Análisis de datos para científicos e ingenieros , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Peralta, M. (2012), Propagación de errores: cómo predecir matemáticamente los errores de medición , CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), Probabilidad, estadística y estimación: propagación de incertidumbres en la medición experimental (PDF) (edición corta)
• Taylor, JR (1997), Introducción al análisis de errores: El estudio de las incertidumbres en las mediciones físicas (2.ª ed.), University Science Books
• Wang, CM; Iyer, Hari K. (2005-09-07). "Sobre correcciones de orden superior para incertidumbres propagantes". Metrologia . 42 (5): 406– 410. Bibcode : 2005Metro..42..406W . doi : 10.1088/0026-1394/42/5/011 . ISSN  0026-1394 . S2CID  122841691 .

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• Una discusión detallada de las mediciones y la propagación de la incertidumbre que explica los beneficios de usar fórmulas de propagación de errores y simulaciones de Monte Carlo en lugar de la aritmética de significancia simple.
• GUM , Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición
• EPFL Introducción a la propagación de errores , derivación, significado y ejemplos de Cy = Fx Cx Fx'
• paquete de incertidumbres , un programa/biblioteca para realizar cálculos con incertidumbres (y correlaciones de errores) de forma transparente.
• soerp package , un programa/biblioteca de Python para realizar de forma transparente cálculos de *segundo orden* con incertidumbres (y correlaciones de error).
• Comité Conjunto para Guías en Metrología (2011). JCGM 102: Evaluación de datos de medición - Suplemento 2 de la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" - Extensión a cualquier número de magnitudes de salida (PDF) (Informe técnico). JCGM . Consultado el 13 de febrero de 2013 .