Variable aleatoria difusa

r _aleatorio es la distribución de probabilidad de las contribuciones aleatorias a la incertidumbre. Cualquier instrumento o proceso de medición sufre contribuciones de error aleatorio debido al ruido intrínseco u otros efectos.

Esto es completamente aleatorio por naturaleza y es una distribución de probabilidad normal cuando se combinan varias contribuciones aleatorias según el teorema del límite central . ^{[ 12 ]}

Sin embargo, también puede haber contribuciones aleatorias de otras distribuciones de probabilidad, como una distribución uniforme , una distribución gamma , etc.

La distribución de probabilidad se puede modelar a partir de los datos de medición. Luego, la distribución de probabilidad se puede usar para modelar una distribución de posibilidad equivalente utilizando la transformación probabilidad-posibilidad máximamente específica. ^{[ 13 ]}

En las figuras se pueden observar algunas distribuciones de probabilidad comunes y las distribuciones de posibilidad correspondientes.

r _interna es la distribución interna en el RFV, que es la distribución de probabilidad de la contribución sistemática a la incertidumbre total. Esta distribución se puede construir a partir de la información disponible sobre el instrumento de medición y el proceso.

La distribución más amplia posible es la distribución de posibilidad uniforme o rectangular. Esto significa que cada valor en el intervalo especificado es igualmente posible. De hecho, esto representa el estado de ignorancia total según la teoría de la evidencia ^{[ 14 ]} , lo que significa que representa un escenario en el que existe la máxima falta de información.

Esta distribución se utiliza para el error sistemático cuando no tenemos ninguna idea sobre dicho error, salvo que pertenece a un intervalo de valores determinado. Esto es bastante común en las mediciones.

Sin embargo, en ciertos casos, puede saberse que algunos valores tienen un grado de confianza mayor o menor que otros. En tal caso, dependiendo del grado de confianza de los valores, se podría construir una distribución de posibilidades adecuada.

Después de modelar la distribución de posibilidad aleatoria e interna, la función de pertenencia externa, r _externa , del RFV se puede construir utilizando la siguiente ecuación: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle r_{\textit {external}}(x)=\sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {random}}(xx^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {internal}}(x^{\prime })]}$

dónde${\displaystyle x^{*}}$es el modo de${\displaystyle r_{\textit {aleatorio}}}$, que es el pico en la función de pertenencia de${\displaystyle r_{random}}$y T _min es la norma triangular mínima . ^{[ 16 ]}

RFV también se puede construir a partir de las distribuciones internas y aleatorias considerando los cortes α de las dos distribuciones de posibilidad (DP).

Un corte α de una variable difusa F se puede definir como ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle F_{\alpha }=\{a\,\vert \,\mu _{\rm {F}}(a)\geq \alpha \}\qquad {\textit {donde}}\qquad 0\leq \alpha \leq 1}$

Por lo tanto, esencialmente un corte α es el conjunto de valores para los cuales el valor de la función de pertenencia${\displaystyle \mu _{\rm {F}}(a)}$de la variable difusa es mayor que α . Esto da los límites superior e inferior de la variable difusa F para cada corte α .

Sin embargo, el corte α de un RFV tiene 4 límites específicos y viene dado por${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$. ^{[ 11 ]}${\displaystyle X_{a}^{\alpha }}$y${\displaystyle X_{d}^{\alpha }}$son los límites inferior y superior respectivamente de la función de pertenencia externa ( r _externa ) que es una variable difusa en sí misma.${\displaystyle X_{b}^{\alpha }}$y${\displaystyle X_{c}^{\alpha }}$son los límites inferior y superior respectivamente de la función de pertenencia interna ( r _interna ) que es una variable difusa en sí misma.

Para construir el RFV, consideremos los cortes α de los dos PD, es decir, r _aleatorio y r _interno para el mismo valor de α . Esto da los límites inferior y superior para los dos cortes α . Sean${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$y${\displaystyle [X_{LI}^{\alpha },X_{UI}^{\alpha }]}$para las distribuciones aleatorias e internas respectivamente.${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$puede dividirse nuevamente en dos subintervalos${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },x^{*}]}$y${\displaystyle [x^{*},X_{UR}^{\alpha }]}$dónde${\displaystyle x^{*}}$es la moda de la variable difusa. Entonces, el corte α para la RFV para el mismo valor de α ,${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$puede definirse mediante ^{[ 11 ]}

${\displaystyle X_{a}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }-(x^{*}-X_{LR}^{\alpha })}$

${\displaystyle X_{b}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{c}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{d}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }-(X_{UR}^{\alpha }-x^{*})}$

Utilizando las ecuaciones anteriores, se calculan los cortes α para cada valor de α , lo que nos da el gráfico final del RFV.

Una variable aleatoria difusa es capaz de dar una imagen completa de las contribuciones aleatorias y sistemáticas a la incertidumbre total de los cortes α para cualquier nivel de confianza, ya que el nivel de confianza no es más que 1-α . ^{[ 17 ] [ 18 ]}

En la siguiente figura se puede ver un ejemplo de la construcción de la función de pertenencia externa correspondiente ( r _{externa ) y la RFV a partir de una PD aleatoria y una PD interna.}