Propagación de intervalos

En matemáticas numéricas , la propagación de intervalos o propagación de restricciones de intervalo es el problema de contraer dominios de intervalo asociados a variables de R sin eliminar ningún valor que sea consistente con un conjunto de restricciones (es decir, ecuaciones o desigualdades). Puede utilizarse para propagar incertidumbres en situaciones donde los errores se representan mediante intervalos . ^{[ 1 ]} La propagación de intervalos considera un problema de estimación como un problema de satisfacción de restricciones .

Un operador de contracción asociado a una ecuación que involucra las variables x ₁ ,..., x _n es un operador que contrae los intervalos [ x ₁ ],..., [ x _n ] (que se supone que encierran los x _i 's) sin eliminar ningún valor para las variables que sea consistente con la ecuación.

Se dice que un contratista es atómico si no está construido como una composición de otros contratistas. La teoría principal que se utiliza para construir contratistas atómicos se basa en el análisis de intervalos .

Ejemplo . Consideremos, por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=x_{3},}$

que involucra las tres variables x ₁ , x ₂ y x ₃ .

El contratista asociado se indica en las siguientes declaraciones.

${\displaystyle [x_{3}]:=[x_{3}]\cap ([x_{1}]+[x_{2}])}$

${\displaystyle [x_{1}]:=[x_{1}]\cap ([x_{3}]-[x_{2}])}$

${\displaystyle [x_{2}]:=[x_{2}]\cap ([x_{3}]-[x_{1}])}$

Por ejemplo, si

${\displaystyle x_{1}\in [-\infty ,5],}$

${\displaystyle x_{2}\in [-\infty ,4],}$

${\displaystyle x_{3}\in [6,\infty ]}$

El contratista realiza el siguiente cálculo

${\displaystyle x_{3}=x_{1}+x_{2}\Rightarrow x_{3}\in [6,\infty ]\cap ([-\infty ,5]+[-\infty ,4])=[6,\infty ]\cap [-\infty ,9]=[6,9].}$

${\displaystyle x_{1}=x_{3}-x_{2}\Rightarrow x_{1}\in [-\infty ,5]\cap ([6,\infty ]-[-\infty ,4])=[-\infty ,5]\cap [2,\infty ]=[2,5].}$

${\displaystyle x_{2}=x_{3}-x_{1}\Rightarrow x_{2}\in [-\infty ,4]\cap ([6,\infty ]-[-\infty ,5])=[-\infty ,4]\cap [1,\infty ]=[1,4].}$

Para otras restricciones, se debe escribir un algoritmo específico para implementar el contratista atómico. Un ejemplo es el contratista atómico asociado a la ecuación.

${\displaystyle x_{2}=\sin(x_{1}),}$

Se proporciona en las figuras 1 y 2.

Para restricciones más complejas, se debe realizar una descomposición en restricciones atómicas (es decir, restricciones para las que existe un contratista atómico). Consideremos, por ejemplo, la restricción

${\displaystyle x+\sin(xy)\leq 0,}$

podría descomponerse en

${\displaystyle a=xy}$

${\displaystyle b=\sin(a)}$

${\displaystyle c=x+b.}$

Los dominios de intervalo que deben asociarse a las nuevas variables intermedias son:

${\displaystyle a\in [-\infty ,\infty ],}$

${\displaystyle b\in [-1,1],}$

${\displaystyle c\in [-\infty ,0].}$

El principio de la propagación de intervalos consiste en llamar a todos los contratistas atómicos disponibles hasta que no se observe ninguna contracción adicional. ^{[ 2 ]} Como resultado del teorema de Knaster-Tarski , el procedimiento siempre converge a intervalos que encierran todos los valores factibles para las variables. Se puede formalizar la propagación de intervalos gracias al álgebra de contratistas . La propagación de intervalos converge rápidamente al resultado y puede abordar problemas que involucran varios cientos de variables. ^{[ 3 ]}

Considere el circuito electrónico de la Figura 3.

Supongamos que a partir de diferentes mediciones sabemos que

${\displaystyle E\in [23V,26V]}$

${\displaystyle I\in [4A,8A]}$

${\displaystyle U_{1}\in [10V,11V]}$

${\displaystyle U_{2}\in [14V,17V]}$

${\displaystyle P\in [124W,130W]}$

${\displaystyle R_{1}\in [0\Omega ,\infty ]}$

${\displaystyle R_{2}\in [0\Omega ,\infty ].}$

Del circuito, tenemos las siguientes ecuaciones

${\displaystyle P=EI}$

${\displaystyle U_{1}=R_{1}I}$

${\displaystyle U_{2}=R_{2}I}$

${\displaystyle E=U_{1}+U_{2}.}$

Después de realizar la propagación de intervalos, obtenemos

${\displaystyle E\in [24V,26V]}$

${\displaystyle I\in [4.769A,5.417A]}$

${\displaystyle U_{1}\in [10V,11V]}$

${\displaystyle U_{2}\in [14V,16V]}$

${\displaystyle P\in [124W,130W]}$

${\displaystyle R_{1}\in [1.846\Omega ,2.307\Omega ]}$

${\displaystyle R_{2}\in [2.584\Omega ,3.355\Omega ].}$