Diseño probabilístico

El diseño probabilístico es una disciplina dentro del diseño de ingeniería . Se ocupa principalmente de la consideración y minimización de los efectos de la variabilidad aleatoria sobre el rendimiento de un sistema de ingeniería durante la fase de diseño. Por lo general, estos efectos estudiados y optimizados están relacionados con la calidad y la fiabilidad. Se diferencia del enfoque clásico del diseño al asumir una pequeña probabilidad de fallo en lugar de utilizar el factor de seguridad . ^{[ 2 ] [ 3 ]} El diseño probabilístico se utiliza en diversas aplicaciones para evaluar la probabilidad de fallo. Las disciplinas que utilizan ampliamente los principios del diseño probabilístico incluyen el diseño de productos, el control de calidad , la ingeniería de sistemas , el diseño de máquinas , la ingeniería civil (particularmente útil en el diseño de estados límite ) y la fabricación.

Al utilizar un enfoque probabilístico para el diseño, el diseñador ya no considera cada variable como un valor o número único. En cambio, cada variable se ve como una variable aleatoria continua con una distribución de probabilidad . Desde esta perspectiva, el diseño probabilístico predice el flujo de variabilidad (o distribuciones) a través de un sistema. ^{[ 4 ]}

Debido a la gran cantidad de fuentes de variabilidad aleatoria y sistémica que existen al diseñar materiales y estructuras, resulta sumamente beneficioso para el diseñador modelar los factores estudiados como variables aleatorias. Al considerar este modelo, el diseñador puede realizar ajustes para reducir el flujo de variabilidad aleatoria, mejorando así la calidad de la ingeniería. Los defensores del enfoque de diseño probabilístico sostienen que muchos problemas de calidad pueden predecirse y corregirse durante las primeras etapas del diseño y a un costo mucho menor. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Por lo general, el objetivo del diseño probabilístico es identificar el diseño que presente los menores efectos de la variabilidad aleatoria. Minimizar la variabilidad aleatoria es esencial para el diseño probabilístico, ya que limita los factores incontrolables y, además, proporciona una determinación mucho más precisa de la probabilidad de fallo. Esta podría ser la opción de diseño más robusta entre varias. Alternativamente, podría ser la única opción de diseño disponible, pero con la combinación óptima de variables de entrada y parámetros. Este segundo enfoque se conoce a veces como robustificación , diseño de parámetros o diseño para Six Sigma . ^{[ 4 ]}

Aunque las leyes de la física dictan las relaciones entre variables y cantidades medibles como fuerza, tensión , deformación y deflexión , todavía existen tres fuentes principales de variabilidad al considerar estas relaciones. ^{[ 6 ]}

La primera fuente de variabilidad es estadística, debido a las limitaciones de tener un tamaño de muestra finito para estimar parámetros como el límite elástico, el módulo de Young y la deformación real . ^{[ 7 ]} La incertidumbre de medición es la más fácil de minimizar de estas tres fuentes, ya que la varianza es proporcional al inverso del tamaño de la muestra.

Podemos representar la varianza debida a las incertidumbres de medición como un factor correctivo.${\displaystyle B}$, que se multiplica por la media verdadera${\displaystyle X}$para obtener la media medida de${\displaystyle {\bar {X}}}$. De forma equivalente,${\displaystyle {\bar {X}}={\bar {B}}X}$.

Esto produce el resultado${\displaystyle {\bar {B}}={\frac {\bar {X}}{X}}}$y la varianza del factor correctivo${\displaystyle B}$se da como:

${\displaystyle Var[B]={\frac {Var[{\bar {X}}]}{X}}={\frac {Var[X]}{nX}}}$

dónde${\displaystyle B}$es el factor de corrección,${\displaystyle X}$es la verdadera media,${\displaystyle {\bar {X}}}$es la media medida, y${\displaystyle n}$es el número de mediciones realizadas. ^{[ 6 ]}

La segunda fuente de variabilidad proviene de las imprecisiones e incertidumbres del modelo utilizado para calcular dichos parámetros. Esto incluye los modelos físicos que empleamos para comprender la carga y sus efectos asociados en los materiales. La incertidumbre del modelo de una magnitud física medible puede determinarse si se dispone tanto de valores teóricos según el modelo como de resultados experimentales.

El valor medido${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )}$es equivalente a la predicción del modelo teórico${\displaystyle H(\omega )}$multiplicado por un error del modelo de${\displaystyle \phi (\omega )}$más el error experimental${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$. ^{[ 8 ]} De manera equivalente,

${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )=H(\omega )\phi (\omega )+\varepsilon (\omega )}$

y el error del modelo toma la forma general:

${\displaystyle \phi (\omega )=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\omega ^{n}}$

dónde${\displaystyle a_{i}}$son coeficientes de regresión determinados a partir de datos experimentales. ^{[ 8 ]}

Finalmente, la última fuente de variabilidad proviene de la variabilidad intrínseca de cualquier magnitud física medible. Existe una incertidumbre aleatoria fundamental asociada a todos los fenómenos físicos, y es comparativamente la más difícil de minimizar. Por lo tanto, cada variable física y magnitud medible puede representarse como una variable aleatoria con una media y una variabilidad.

Consideremos el método clásico para realizar ensayos de tracción en materiales. La tensión que experimenta un material se expresa como un valor singular (es decir, la fuerza aplicada dividida por el área de la sección transversal perpendicular al eje de carga). El límite elástico, que es la tensión máxima que un material puede soportar antes de la deformación plástica, también se expresa como un valor singular. Según este método, existe un 0 % de probabilidad de fallo del material por debajo del límite elástico y un 100 % de probabilidad de fallo por encima de él. Sin embargo, estas suposiciones no se cumplen en la práctica.

La tensión de fluencia de un material a menudo solo se conoce con cierta precisión, lo que significa que existe una incertidumbre y, por lo tanto, una distribución de probabilidad asociada con el valor conocido. ^{[ 6 ] [ 8 ]} Sea la función de distribución de probabilidad de la resistencia a la fluencia dada por${\displaystyle f(R)}$.

De manera similar, la carga aplicada o prevista solo se puede conocer con cierta precisión, y el rango de tensión al que estará sometido el material también es desconocido. Sea esta distribución de probabilidad dada por:${\displaystyle f(S)}$.

La probabilidad de fallo es equivalente al área comprendida entre estas dos funciones de distribución, matemáticamente hablando:

${\displaystyle P_{f}=P(R<S)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR}$

o equivalentemente, si hacemos que la diferencia entre la tensión de fluencia y la carga aplicada sea igual a una tercera función.${\displaystyle R-S=Q}$, entonces:

${\displaystyle P_{f}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR=\int \limits _{-\infty }^{0}f(Q)dQ}$

donde la varianza de la diferencia media${\displaystyle Q}$es dado por${\displaystyle \sigma _{Q}^{2}={\sqrt {\sigma _{R}^{2}+\sigma _{S}^{2}}}}$.

Los principios de diseño probabilístico permiten determinar con precisión la probabilidad de falla, mientras que el modelo clásico asume que no hay falla alguna antes de alcanzar el límite elástico. ^{[ 9 ]} Es evidente que el modelo clásico de carga aplicada frente a límite elástico tiene limitaciones, por lo que modelar estas variables con una distribución de probabilidad para calcular la probabilidad de falla es un enfoque más preciso. El enfoque de diseño probabilístico permite determinar la falla del material bajo todas las condiciones de carga, asociando probabilidades cuantitativas a la posibilidad de falla en lugar de un sí o un no definitivo.

En esencia, el diseño probabilístico se centra en la predicción de los efectos de la variabilidad. Para poder predecir y calcular la variabilidad asociada a la incertidumbre del modelo, se han ideado y utilizado numerosos métodos en diferentes disciplinas para determinar valores teóricos de parámetros como la tensión y la deformación. Algunos ejemplos de modelos teóricos utilizados junto con el diseño probabilístico son:

• Análisis de elementos finitos ^{[ 10 ]}
• Método de elementos finitos estocásticos ^{[ 11 ]}
• Método de elementos de contorno
• Métodos sin malla
• Métodos analíticos (consulte los principios de diseño clásicos)

Además, existen muchos métodos estadísticos que se utilizan para cuantificar y predecir la variabilidad aleatoria en la magnitud medible deseada. Algunos métodos que se utilizan para predecir la variabilidad aleatoria de un resultado incluyen:

• el método de Monte Carlo (incluidos los hipercubos latinos ); ^{[ 12 ]}
• propagación de errores ;
• diseño de experimentos (DOE)
• el método de los momentos
• Interferencia estadística
• despliegue de la función de calidad
• Análisis de modos y efectos de falla

• Elemento finito de intervalo
• Modelado estocástico
• Método del segundo momento de primer orden
• Distribución de Weibull

• Ang y Tang (2006) Conceptos de probabilidad en ingeniería: Énfasis en aplicaciones a la ingeniería civil y ambiental. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-72064-X
• Ash (1993) El libro de tutoría de probabilidad: Un curso intuitivo para ingenieros y científicos ( y para todos los demás ). Wiley-IEEE Press. ISBN 0-7803-1051-9
• Clausing (1994) Desarrollo de la calidad total: Una guía paso a paso para la ingeniería concurrente de clase mundial. Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos. ISBN 0-7918-0035-0
• Haugen (1980) Diseño mecánico probabilístico. Wiley. ISBN 0-471-05847-5
• Papoulis (2002) Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos. McGraw-Hill Publishing Co. ISBN 0-07-119981-0
• Siddall (1982) Diseño óptimo de ingeniería. CRC. ISBN 0-8247-1633-7
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• Elishakoff I., Lin YK y Zhu LP, Modelado probabilístico y convexo de estructuras excitadas acústicamente, Elsevier Science Publishers, Ámsterdam, 1994, VIII + pp.  296; ISBN 0 444 81624 0
• Elishakoff I., Métodos probabilísticos en la teoría de estructuras: resistencia aleatoria de materiales, vibración aleatoria y pandeo, World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-3149-84-7, 2017

• Diseño probabilístico
• Enfoques no deterministas en ingeniería