Dinámica estructural

La dinámica estructural es un tipo de análisis estructural que cubre el comportamiento de una estructura sujeta a cargas dinámicas (acciones con alta aceleración). Las cargas dinámicas incluyen personas, viento, olas, tráfico, terremotos y explosiones. Cualquier estructura puede estar sujeta a cargas dinámicas. El análisis dinámico se puede utilizar para encontrar desplazamientos dinámicos , historial temporal y análisis modal .

El análisis estructural se ocupa principalmente de averiguar el comportamiento de una estructura física cuando se somete a una fuerza. Esta acción puede ser en forma de carga debido al peso de cosas como personas, muebles, viento, nieve, etc. o algún otro tipo de excitación como un terremoto, temblor del suelo debido a una explosión cercana, etc. En esencia, todas estas cargas son dinámicas, incluido el peso propio de la estructura porque en algún momento estas cargas no estaban allí. La distinción se realiza entre el análisis dinámico y el estático en función de si la acción aplicada tiene suficiente aceleración en comparación con la frecuencia natural de la estructura. Si una carga se aplica lo suficientemente lentamente, las fuerzas de inercia ( primera ley del movimiento de Newton ) se pueden ignorar y el análisis se puede simplificar como análisis estático.

Una carga estática es aquella que varía muy lentamente. Una carga dinámica es aquella que cambia con el tiempo con bastante rapidez en comparación con la frecuencia natural de la estructura. Si cambia lentamente, la respuesta de la estructura puede determinarse con un análisis estático, pero si varía rápidamente (en relación con la capacidad de respuesta de la estructura), la respuesta debe determinarse con un análisis dinámico.

El análisis dinámico de estructuras simples se puede realizar manualmente, pero para estructuras complejas se puede utilizar el análisis de elementos finitos para calcular las formas y frecuencias de los modos.

Una carga dinámica puede tener un efecto significativamente mayor que una carga estática de la misma magnitud debido a la incapacidad de la estructura para responder rápidamente a la carga (mediante la deflexión). El aumento del efecto de una carga dinámica se da mediante el factor de amplificación dinámica (DAF) o factor de carga dinámica (DLF):

${\displaystyle {\text{DAF}}={\text{DLF}}={\frac {u_{\max }}{u_{\text{estático}}}}}$

donde u es la desviación de la estructura debido a la carga aplicada.

Existen gráficos de factores de amplificación dinámica frente al tiempo de subida adimensional ( t _r / T ) para funciones de carga estándar (para una explicación del tiempo de subida, consulte el análisis del historial de tiempo a continuación). Por lo tanto, el DAF para una carga dada se puede leer a partir del gráfico, la deflexión estática se puede calcular fácilmente para estructuras simples y se puede encontrar la deflexión dinámica.

Un historial de tiempo completo proporcionará la respuesta de una estructura a lo largo del tiempo durante y después de la aplicación de una carga. Para encontrar el historial de tiempo completo de la respuesta de una estructura, debe resolver la ecuación de movimiento de la estructura .

Un sistema simple de un solo grado de libertad (una masa , M , en un resorte de rigidez k , por ejemplo) tiene la siguiente ecuación de movimiento:

${\displaystyle M{\ddot {x}}+kx=F(t)}$

donde es la aceleración (la derivada doble del desplazamiento) y x es el desplazamiento. ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Si la carga F ( t ) es una función escalonada de Heaviside (la aplicación repentina de una carga constante), la solución de la ecuación de movimiento es:

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{k}}[1-\cos(\omega t)]}$

donde y la frecuencia natural fundamental, . ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{M}}}}$${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$

La deflexión estática de un sistema de un solo grado de libertad es:

${\displaystyle x_{\text{estático}}={\frac {F_{0}}{k}}}$

Así que podemos escribir, combinando las fórmulas anteriores:

${\displaystyle x=x_{\text{estático}}[1-\cos(\omega t)]}$

Esto proporciona el historial temporal (teórico) de la estructura debido a una carga F(t), donde se hace la suposición falsa de que no hay amortiguamiento .

Aunque esto es demasiado simplista para aplicarlo a una estructura real, la función escalonada de Heaviside es un modelo razonable para la aplicación de muchas cargas reales, como la adición repentina de un mueble o la eliminación de un puntal de un piso de hormigón recién construido. Sin embargo, en la realidad, las cargas nunca se aplican instantáneamente, sino que se acumulan durante un período de tiempo (que puede ser muy breve). Este tiempo se denomina tiempo de subida .

A medida que aumenta el número de grados de libertad de una estructura, rápidamente se vuelve demasiado difícil calcular el historial temporal manualmente: las estructuras reales se analizan utilizando un software de análisis de elementos finitos no lineal .

Cualquier estructura real disipará energía (principalmente a través de la fricción). Esto se puede modelar modificando el DAF

${\displaystyle {\text{DAF}}=1+e^{-c\pi }}$

donde y suele ser del 2 al 10 % según el tipo de construcción: ${\displaystyle c={\frac {\text{coeficiente de amortiguamiento}}{\text{coeficiente de amortiguamiento crítico}}}}$

• Acero atornillado ~6%
• Hormigón armado ~5%
• Acero soldado ~2%
• Mampostería de ladrillo ~10%

Métodos para aumentar la amortiguación

Uno de los métodos ampliamente utilizados para aumentar la amortiguación es unir una capa de material con un coeficiente de amortiguación alto, por ejemplo caucho, a una estructura vibrante.

Un análisis modal calcula los modos de frecuencia o frecuencias naturales de un sistema determinado, pero no necesariamente su respuesta histórica en tiempo completo a una entrada dada. La frecuencia natural de un sistema depende únicamente de la rigidez de la estructura y de la masa que participa en la estructura (incluido el peso propio). No depende de la función de carga.

Es útil conocer las frecuencias modales de una estructura, ya que permite garantizar que la frecuencia de cualquier carga periódica aplicada no coincidirá con una frecuencia modal y, por lo tanto, provocará resonancia , lo que conduce a grandes oscilaciones .

El método es:

1. Encuentra los modos naturales (la forma que adopta una estructura) y las frecuencias naturales
2. Calcular la respuesta de cada modo
3. Superponga opcionalmente la respuesta de cada modo para encontrar la respuesta modal completa a una carga dada

Es posible calcular la frecuencia de diferentes formas modal del sistema manualmente mediante el método de la energía . Para una forma modal dada de un sistema de múltiples grados de libertad, se puede encontrar una masa, rigidez y fuerza aplicada "equivalentes" para un sistema de un solo grado de libertad. Para estructuras simples, las formas modal básicas se pueden encontrar mediante inspección, pero no es un método conservador. El principio de Rayleigh establece:

"La frecuencia ω de un modo arbitrario de vibración, calculada por el método de energía, es siempre mayor que –o igual a– la frecuencia fundamental ω _n ."

Para una forma modal supuesta de un sistema estructural con masa M; rigidez a la flexión, EI ( módulo de Young , E , multiplicado por el segundo momento del área , I ); y fuerza aplicada, F ( x ): ${\displaystyle {\bar {u}}(x)}$

${\displaystyle {\text{Masa equivalente,}}M_{\text{eq}}=\int M{\bar {u}}^{2}\,du}$

${\displaystyle {\text{Rigidez equivalente,}}k_{\text{eq}}=\int EI\left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{dx^{2}}}\right)^{2}\,dx}$

${\displaystyle {\text{Fuerza equivalente,}}F_{\text{eq}}=\int F{\bar {u}}\,dx}$

Entonces, como arriba:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k_{\text{eq}}}{M_{\text{eq}}}}}$

La respuesta modal completa a una carga dada F ( x , t ) es . La suma se puede realizar mediante uno de los tres métodos habituales: ${\displaystyle v(x,t)=\sum u_{n}(x,t)}$

• Superponer historias temporales completas de cada modo (requiere mucho tiempo, pero es exacto)
• Superponer las amplitudes máximas de cada modo (rápido pero conservador)
• Superponer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (buena estimación para frecuencias bien separadas, pero insegura para frecuencias muy espaciadas)

Para superponer manualmente las respuestas modales individuales, habiéndolas calculado mediante el método de energía:

Suponiendo que se conoce el tiempo de subida t _{r (} T = 2 π / ω ), es posible leer el DAF a partir de un gráfico estándar. El desplazamiento estático se puede calcular con . El desplazamiento dinámico para el modo elegido y la fuerza aplicada se puede encontrar a partir de: ${\displaystyle u_{\text{estático}}={\frac {F_{1,{\text{eq}}}}{k_{1,{\text{eq}}}}}}$

${\displaystyle u_{\max }=u_{\text{estático}}{\text{DAF}}}$

En los sistemas reales, suele haber masa que participa en la función de fuerza (como la masa del suelo en un terremoto ) y masa que participa en los efectos de inercia (la masa de la estructura en sí, M _eq ). El factor de participación modal Γ es una comparación de estas dos masas. Para un sistema de un solo grado de libertad, Γ = 1.

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\suma M_{n}{\bar {u}}_{n}}{\suma M_{n}{\bar {u}}_{n}^{2}}}}$

• Laboratorio de dinámica estructural y vibraciones de la Universidad McGill
• Función de respuesta de frecuencia a partir de parámetros modales
• Tutoriales de dinámica estructural y scripts de Matlab
• AIAA Explorando la dinámica estructural (http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) – Dinámica estructural en ingeniería aeroespacial: demostraciones interactivas, videos y entrevistas con ingenieros en ejercicio