Descomposición LU en bloques

En álgebra lineal , una descomposición LU por bloques es una descomposición matricial de una matriz por bloques en una matriz triangular por bloques inferior L y una matriz triangular por bloques superior U. Esta descomposición se utiliza en análisis numérico para reducir la complejidad de la fórmula de la matriz por bloques. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{pmatrix}}}$

Consideremos una matriz de bloques :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\CA^{-1}\end{pmatrix}}\,A\,{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}},}$

donde la matriz${\displaystyle {\begin{matrix}A\end{matrix}}}$se supone que no es singular, ${\displaystyle {\begin{matrix}I\end{matrix}}}$es una matriz identidad con la dimensión adecuada, y${\displaystyle {\begin{matrix}0\end{matrix}}}$es una matriz cuyos elementos son todos cero.

También podemos reescribir la ecuación anterior utilizando las semimatrices:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}\\CA^{-{\frac {*}{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}},}$

donde el complemento de Schur de${\displaystyle {\begin{matrix}A\end{matrix}}}$ en la matriz de bloques se define por

${\displaystyle {\begin{matrix}Q=D-CA^{-1}B\end{matrix}}}$

y las semimatrices se pueden calcular mediante la descomposición de Cholesky o la descomposición LDL . Las semimatrices satisfacen que

${\displaystyle {\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{\frac {*}{2}}=A;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{-{\frac {1}{2}}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{-{\frac {*}{2}}}\,A^{\frac {*}{2}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}Q^{\frac {1}{2}}\,Q^{\frac {*}{2}}=Q.\end{matrix}}}$

Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=LU,}$

dónde

${\displaystyle LU={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.}$

La matriz${\displaystyle {\begin{matrix}LU\end{matrix}}}$puede descomponerse de manera algebraica en

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\mathrm {~~y~~} U={\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.}$

• Descomposición matricial