Parada óptima

Los problemas de reglas de parada están asociados a dos objetos:

1. Una secuencia de variables aleatorias${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$cuya distribución conjunta se supone conocida
2. Una secuencia de funciones de 'recompensa'${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1}}$que dependen de los valores observados de las variables aleatorias en 1:

   ${\displaystyle y_{i}=y_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i})}$

Dados esos objetos, el problema es el siguiente:

• Estás observando la secuencia de variables aleatorias, y en cada paso${\displaystyle i}$, puedes optar por dejar de observar o continuar
• Si dejas de observar en el paso${\displaystyle i}$, recibirás una recompensa${\displaystyle y_{i}}$
• Quieres elegir una regla de parada para maximizar tu recompensa esperada (o, equivalentemente, minimizar tu pérdida esperada).

Consideremos un proceso de ganancia${\displaystyle G=(G_{t})_{t\geq 0}}$definido en un espacio de probabilidad filtrado${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$y suponer que${\displaystyle G}$está adaptado a la filtración. El problema de parada óptima consiste en encontrar el tiempo de parada.${\displaystyle \tau ^{*}}$que maximiza la ganancia esperada

${\displaystyle V_{t}^{T}=\mathbb {E} G_{\tau ^{*}}=\sup _{t\leq \tau \leq T}\mathbb {E} G_{\tau }}$

dónde${\displaystyle V_{t}^{T}}$Se denomina función de valor . Aquí${\displaystyle T}$puede tomar valor${\displaystyle \infty }$.

Una formulación más específica es la siguiente. Consideramos un proceso de Markov fuerte adaptado.${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$definido en un espacio de probabilidad filtrado${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} _{x})}$dónde${\displaystyle \mathbb {P} _{x}}$denota la medida de probabilidad donde el proceso estocástico comienza en${\displaystyle x}$. Dadas funciones continuas${\displaystyle M,L}$, y${\displaystyle K}$, el problema de parada óptima es

${\displaystyle V(x)=\sup _{0\leq \tau \leq T}\mathbb {E} _{x}\left(M(X_{\tau })+\int _{0}^{\tau }L(X_{t})dt+\sup _{0\leq t\leq \tau }K(X_{t})\right).}$

A veces se la denomina formulación MLS (que significa Mayer, Lagrange y supremo, respectivamente). ^{[ 4 ]}

(Ejemplo donde${\displaystyle \mathbb {E} (y_{i})}$converge)

Tienes una moneda justa y la lanzas repetidamente. Cada vez, antes de lanzarla, puedes optar por dejar de lanzarla y recibir un pago (en dólares, por ejemplo) equivalente al número promedio de caras observadas.

Desea maximizar la cantidad que recibe al elegir una regla de parada. Si X _i (para i ≥ 1) forma una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución de Bernoulli

${\displaystyle {\text{Bern}}\left({\frac {1}{2}}\right),}$

y si

${\displaystyle y_{i}={\frac {1}{i}}\sum _{k=1}^{i}X_{k}}$

luego las secuencias${\displaystyle (X_{i})_{i\geq 1}}$, y${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1}}$son los objetos asociados con este problema.

(Ejemplo donde${\displaystyle \mathbb {E} (y_{i})}$no necesariamente converge)

Tienes una casa y deseas venderla. Cada día se te ofrece${\displaystyle X_{n}}$por su casa y pagar${\displaystyle k}$para seguir anunciándolo. Si vendes tu casa el día${\displaystyle n}$, ganarás${\displaystyle y_{n}}$, dónde${\ Displaystyle y_ {n} = (X_ {n} -nk)}$.

Desea maximizar sus ganancias eligiendo una regla de parada.

En este ejemplo, la secuencia (${\displaystyle X_{i}}$) es la secuencia de ofertas para tu casa, y la secuencia de funciones de recompensa es cuánto ganarás. ^{[ 6 ]}

(Ejemplo donde${\displaystyle (X_{i})}$es una secuencia finita)

Estás observando una secuencia de objetos que se pueden clasificar del mejor al peor. Quieres elegir una regla de parada que maximice tus posibilidades de seleccionar el mejor objeto.

Aquí, si${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}}$( n es un número grande) son los rangos de los objetos, y${\displaystyle y_{i}}$es la probabilidad de que elijas el mejor objeto si dejas de rechazar intencionalmente objetos en el paso i, entonces${\displaystyle (R_{i})}$y${\displaystyle (y_{i})}$Estas son las secuencias asociadas a este problema. Este problema fue resuelto a principios de la década de 1960 por varias personas. Una solución elegante al problema de la secretaria y varias modificaciones de este problema la proporciona el algoritmo de probabilidades de parada óptima (algoritmo de Bruss).

Los economistas han estudiado diversos problemas de parada óptima similares al "problema de la secretaria", y suelen denominar a este tipo de análisis "teoría de la búsqueda". Esta teoría se ha centrado especialmente en la búsqueda de un trabajador por un empleo bien remunerado o en la búsqueda de un consumidor por un bien de bajo precio.

Un ejemplo particular de aplicación de la teoría de la búsqueda es la tarea de selección óptima de plaza de aparcamiento por parte de un conductor que se dirige a la ópera (teatro, compras, etc.). Al acercarse a su destino, el conductor circula por la calle donde hay plazas de aparcamiento; normalmente, solo algunas plazas están libres. El destino es claramente visible, por lo que la distancia se calcula fácilmente. La tarea del conductor consiste en elegir una plaza de aparcamiento libre lo más cerca posible del destino sin dar la vuelta, de manera que la distancia desde este lugar hasta el destino sea la más corta. ^{[ 7 ]}

En la negociación de opciones en los mercados financieros , el titular de una opción americana puede ejercer el derecho a comprar (o vender) el activo subyacente a un precio predeterminado en cualquier momento antes o en la fecha de vencimiento. Por lo tanto, la valoración de las opciones americanas es esencialmente un problema de parada óptima. Consideremos una configuración clásica de Black-Scholes y dejemos de lado el problema de la parada.${\displaystyle r}$sea ​​la tasa de interés libre de riesgo y${\displaystyle \delta }$y${\displaystyle \sigma }$la tasa de dividendos y la volatilidad de la acción. El precio de la acción${\displaystyle S}$sigue el movimiento browniano geométrico

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(r-\delta -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma B_{t}\right\}}$

bajo la medida neutral al riesgo .

Cuando la opción es perpetua, el problema de parada óptima es

${\displaystyle V(x)=\sup _{\tau }\mathbb {E} _{x}\left[e^{-r\tau }g(S_{\tau })\right]}$

donde la función de pago es${\displaystyle g(x)=(xK)^{+}}$para una opción de compra y${\displaystyle g(x)=(K-x)^{+}}$para una opción de venta. La desigualdad variacional es

${\displaystyle \max \left\{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}V''(x)+(r-\delta )xV'(x)-rV(x),g(x)-V(x)\right\}=0}$

a pesar de${\displaystyle x\in (0,\infty )\setminus \{b\}}$ dónde${\displaystyle b}$es el límite del ejercicio. Se sabe que la solución es ^{[ 8 ].}

• (Llamada perpetua)${\displaystyle V(x)={\begin{cases}(b-K)(x/b)^{\gamma }&x\in (0,b)\\x-K&x\in [b,\infty )\end{cases}}}$dónde${\displaystyle \gamma =({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}-\nu )/\sigma }$y${\displaystyle \nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad b=\gamma K/(\gamma -1).}$
• (Puesto perpetuo)${\displaystyle V(x)={\begin{cases}K-x&x\in (0,c]\\(K-c)(x/c)^{\tilde {\gamma }}&x\in (c,\infty )\end{cases}}}$dónde${\displaystyle {\tilde {\gamma }}=-({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}+\nu )/\sigma }$y${\displaystyle \nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad c={\tilde {\gamma }}K/({\tilde {\gamma }}-1).}$

Por otro lado, cuando la fecha de vencimiento es finita, el problema se asocia con un problema de frontera libre bidimensional sin solución analítica conocida. Sin embargo, se pueden utilizar diversos métodos numéricos. Consulte el modelo Black-Scholes#Opciones americanas para conocer varios métodos de valoración, así como Fugit para un cálculo discreto, basado en árboles , del momento óptimo para ejercer la opción.