aproximación sigma

En matemáticas , la aproximación σ ajusta una suma de Fourier para reducir considerablemente el fenómeno de Gibbs , que de otro modo ocurriría en las discontinuidades . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una suma aproximada de m-1 términos y σ para una serie de período T se puede escribir de la siguiente manera: $${\displaystyle s(\theta )={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{m-1}\left(\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}\right)^{p}\cdot \left[a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)\right],}$$ en términos de la función sinc normalizada : $${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}.}$$${\displaystyle a_{k}}$y${\displaystyle b_{k}}$son los coeficientes típicos de la Serie de Fourier, y p , un parámetro no negativo, determina la cantidad de suavizado aplicado, donde valores más altos de p reducen aún más el fenómeno de Gibbs pero pueden suavizar demasiado la representación de la función.

El término $${\displaystyle \left(\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}\right)^{p}}$$ es el factor σ de Lanczos , que es responsable de eliminar la mayor parte del fenómeno de Gibbs. Esto es muestrear el lado derecho del lóbulo principal del${\displaystyle \operatorname {sinc} }$función para atenuar los coeficientes de la serie de Fourier de mayor frecuencia.

Como se sabe por el principio de incertidumbre , tener un corte abrupto en el dominio de la frecuencia (cortar la serie de Fourier de forma repentina sin ajustar los coeficientes) provoca una amplia dispersión de información en el dominio del tiempo (equivalente a grandes cantidades de oscilación).

Esto también puede entenderse como la aplicación de una función de ventana a los coeficientes de la serie de Fourier para equilibrar el mantenimiento de un tiempo de subida rápido (análogo a una banda de transición estrecha) y pequeñas cantidades de oscilación (análogo a la atenuación de la banda de parada).

• Remuestreo de Lanczos