Optimización cónica

La optimización cónica es un subcampo de la optimización convexa que estudia problemas que consisten en minimizar una función convexa sobre la intersección de un subespacio afín y un cono convexo .

La clase de problemas de optimización cónica incluye algunas de las clases más conocidas de problemas de optimización convexa, a saber, la programación lineal y semidefinida .

Dado un espacio vectorial real X , una función convexa y de valor real

${\displaystyle f:C\to \mathbb {R}}$

definido en un cono convexo y un subespacio afín definido por un conjunto de restricciones afines , un problema de optimización cónica es encontrar el punto en el que el número es más pequeño. ${\displaystyle C\subconjunto X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle h_{i}(x)=0\ }$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle C\cap {\mathcal {H}}}$${\estilo de visualización f(x)}$

Entre los ejemplos de se incluyen el ortante positivo , las matrices semidefinidas positivas y el cono de segundo orden . A menudo es una función lineal, en cuyo caso el problema de optimización cónica se reduce a un programa lineal , un programa semidefinido y un programa de cono de segundo orden , respectivamente. ${\estilo de visualización C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\,x\geq \mathbf {0} \right\}}$${\displaystyle \mathbb {S}_{+}^{n}}$ ${\displaystyle \left\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} :\lVert x\rVert \leq t\right\}}$${\estilo de visualización f\}$

Ciertos casos especiales de problemas de optimización cónica tienen notables expresiones en forma cerrada de sus problemas duales.

El dual del programa lineal cónico

minimizar$Estilo de visualización c^{T}x$

sujeto a${\displaystyle Ax=b,x\en C\ }$

es

maximizar${\displaystyle b^{T}y\ }$

sujeto a${\displaystyle A^{T}y+s=c,s\en C^{*}\ }$

donde denota el cono dual de . ${\estilo de visualización C^{*}}$${\estilo de visualización C\}$

Si bien la dualidad débil se cumple en la programación lineal cónica, la dualidad fuerte no necesariamente se cumple. ^[1]

El dual de un programa semidefinido en forma de desigualdad

minimizar$Estilo de visualización c^{T}x$

sujeto a${\displaystyle x_{1}F_{1}+\cdots +x_{n}F_{n}+G\leq 0}$

viene dado por

maximizar${\displaystyle \mathrm {tr} \ (GZ)\ }$

sujeto a${\displaystyle \mathrm {tr} \ (F_{i}Z)+c_{i}=0,\quad i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle Z\geq 0}$

• Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (PDF) . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. Recuperado el 15 de octubre de 2011 .
• Software MOSEK capaz de resolver problemas de optimización cónica.