Función Rosenbrock

En optimización matemática , la función de Rosenbrock es una función no convexa , introducida por Howard H. Rosenbrock en 1960, que se utiliza como problema de prueba de rendimiento para algoritmos de optimización . ^{[ 1 ]} También se la conoce como valle de Rosenbrock o función banana de Rosenbrock .

El mínimo global se encuentra dentro de un valle plano, largo y estrecho, con forma parabólica . Encontrar el valle es trivial. Sin embargo, converger hacia el mínimo global es difícil.

La función se define por

${\displaystyle f(x,y)=(ax)^{2}+b(yx^{2})^{2}}$

Tiene un mínimo global en${\displaystyle (x,y)=(a,a^{2})}$, dónde${\displaystyle f(x,y)=0}$. Normalmente, estos parámetros se configuran de tal manera que${\displaystyle a=1}$y${\displaystyle b=100}$. Solo en el caso trivial donde${\displaystyle a=0}$La función es simétrica y el mínimo se encuentra en el origen.

Se suelen encontrar dos variantes.

Uno es la suma de${\displaystyle N/2}$problemas de Rosenbrock 2D desacoplados, y se define solo para problemas pares.${\displaystyle N}$s:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=\sum _{i=1}^{N/2}\left[100(x_{2i-1}^{2}-x_{2i})^{2}+(x_{2i-1}-1)^{2}\right].}$^{[ 3 ]}

Esta variante tiene soluciones previsiblemente sencillas.

Una segunda variante, más compleja, es

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N-1}[100(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}+(1-x_{i})^{2}]\quad {\mbox{donde}}\quad \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}.}$^{[ 4 ]}

tiene exactamente un mínimo para${\displaystyle N=3}$(en${\displaystyle (1,1,1)}$) y exactamente dos mínimos para${\displaystyle 4\leq N\leq 7}$— el mínimo global en${\displaystyle (1,1,...,1)}$y un mínimo local cerca${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=(-1,1,\dots ,1)}$Este resultado se obtiene igualando a cero el gradiente de la función, observando que la ecuación resultante es una función racional de${\displaystyle x}$Para pequeños${\displaystyle N}$Los polinomios se pueden determinar exactamente y el teorema de Sturm se puede utilizar para determinar el número de raíces reales , mientras que las raíces se pueden acotar en la región de${\displaystyle |x_{i}|<2.4}$. ^{[ 5 ]} Para tamaños mayores${\displaystyle N}$Este método falla debido al tamaño de los coeficientes involucrados.

Muchos de los puntos estacionarios de la función exhiben un patrón regular cuando se grafican. ^{[ 5 ]} Esta estructura puede ser aprovechada para localizarlos.

La función de Rosenbrock se puede optimizar de manera eficiente adaptando un sistema de coordenadas apropiado sin usar información de gradiente y sin construir modelos de aproximación locales (a diferencia de muchos optimizadores sin derivadas). La siguiente figura ilustra un ejemplo de optimización de la función de Rosenbrock bidimensional mediante descenso de coordenadas adaptativo desde el punto de partida.${\displaystyle x_{0}=(-3,-4)}$. La solución con el valor de la función${\displaystyle 10^{-10}}$Se puede encontrar después de 325 evaluaciones de funciones.

Utilizando el método Nelder-Mead desde el punto de partida${\displaystyle x_{0}=(-1,1)}$con un simplex inicial regular se encuentra un mínimo con valor de función${\displaystyle 1.36\cdot 10^{-10}}$Tras 185 evaluaciones de la función, la siguiente figura muestra la evolución del algoritmo.

La función de Rosenbrock se puede utilizar para crear distribuciones con forma de "banana", que son un modelo de referencia popular en estadística y aprendizaje automático. ^{[ 6 ]}

• Funciones de prueba para la optimización

• Representación gráfica de la función de Rosenbrock en 3D
• Weisstein, Eric W. "Función Rosenbrock" . MathWorld .