Optimización de escenarios

El enfoque de escenarios o enfoque de optimización de escenarios es una técnica para obtener soluciones a problemas de optimización robusta y optimización con restricciones aleatorias en función de una muestra de las restricciones . También se relaciona con el razonamiento inductivo en el modelado y la toma de decisiones. La técnica ha existido durante décadas como un enfoque heurístico y más recientemente se le ha dado una base teórica sistemática.

En optimización , las características de robustez se traducen en restricciones que están parametrizadas por los elementos inciertos del problema. En el método de escenarios, ^{[1] [2] [3]} se obtiene una solución observando únicamente una muestra aleatoria de restricciones ( enfoque heurístico ) llamadas escenarios y una teoría profundamente fundamentada le dice al usuario cuán “robusta” es la solución correspondiente en relación con otras restricciones. Esta teoría justifica el uso de la aleatorización en la optimización robusta y restringida por el azar.

En ocasiones, los escenarios se obtienen como extracciones aleatorias de un modelo. Sin embargo, con mayor frecuencia, los escenarios son instancias de las restricciones inciertas que se obtienen como observaciones ( ciencia basada en datos ). En este último caso, no se necesita ningún modelo de incertidumbre para generar escenarios. Además, lo más notable es que también en este caso la optimización de escenarios viene acompañada de una teoría completa porque todos los resultados de la optimización de escenarios son libres de distribución y, por lo tanto, se pueden aplicar incluso cuando no se dispone de un modelo de incertidumbre.

Para las restricciones que son convexas (por ejemplo, en problemas semidefinidos , que involucran LMIs (Inecuaciones de matrices lineales) ), se ha establecido un análisis teórico profundo que muestra que la probabilidad de que una nueva restricción no se satisfaga sigue una distribución dominada por una distribución Beta . Este resultado es ajustado ya que es exacto para toda una clase de problemas convexos. ^[3] De manera más general, se ha demostrado que varios niveles empíricos siguen una distribución de Dirichlet , cuyos marginales son la distribución beta. ^[4] También se ha considerado el enfoque de escenarios con regularización, ^[5] y están disponibles algoritmos prácticos con complejidad computacional reducida. ^[6] Las extensiones a configuraciones más complejas, no convexas, siguen siendo objetos de investigación activa. $Estilo de visualización L_{1}$

A lo largo del enfoque de escenarios, también es posible buscar un equilibrio entre riesgo y rendimiento. ^{[7] [8]} Además, se puede utilizar un método completo para aplicar este enfoque al control. ^[9] Primero se muestrean las restricciones y luego el usuario comienza a eliminar algunas de las restricciones en sucesión. Esto se puede hacer de diferentes maneras, incluso de acuerdo con algoritmos voraces. Después de la eliminación de una restricción más, se actualiza la solución óptima y se determina el valor óptimo correspondiente. A medida que avanza este procedimiento, el usuario construye una "curva de valores" empírica, es decir, la curva que representa el valor alcanzado después de la eliminación de un número creciente de restricciones. La teoría de escenarios proporciona evaluaciones precisas de cuán robustas son las diversas soluciones. ${\estilo de visualización N}$

Un avance notable en la teoría ha sido establecido por el reciente enfoque de esperar y juzgar: ^[10] uno evalúa la complejidad de la solución (tal como se define con precisión en el artículo de referencia) y a partir de su valor formula evaluaciones precisas sobre la solidez de la solución. Estos resultados arrojan luz sobre los vínculos profundamente arraigados entre los conceptos de complejidad y riesgo. Un enfoque relacionado, llamado "Diseño de escenarios repetitivos", tiene como objetivo reducir la complejidad de la muestra de la solución alternando repetidamente una fase de diseño de escenarios (con un número reducido de muestras) con una verificación aleatoria de la viabilidad de la solución resultante. ^[11]

Consideremos una función que representa el retorno de una inversión ; depende de nuestro vector de opciones de inversión y del estado del mercado que se experimentará al final del período de inversión. $Estilo de visualización R_{\delta}(x)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización \delta}$

Dado un modelo estocástico de las condiciones del mercado, consideramos los posibles estados (aleatorización de la incertidumbre). Alternativamente, los escenarios pueden obtenerse a partir de un registro de observaciones. ${\estilo de visualización N}$${\displaystyle \delta _{1},\puntos ,\delta _{N}}$${\displaystyle \delta _{i}}$

Nos propusimos resolver el programa de optimización de escenarios.

${\displaystyle \max _{x}\min _{i=1,\dots ,N}R_{\delta _{i}}(x).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

Esto corresponde a elegir un vector de cartera x de manera de obtener el mejor rendimiento posible en el peor escenario. ^{[12] [13]}

Después de resolver (1), se logra una estrategia de inversión óptima junto con el rendimiento óptimo correspondiente . Si bien se ha obtenido al observar solo los posibles estados del mercado, la teoría de escenarios nos dice que la solución es robusta hasta un nivel , es decir, el rendimiento se logrará con probabilidad para otros estados del mercado. ${\displaystyle x^{\ast}}$${\displaystyle R^{\ast}}$${\displaystyle R^{\ast}}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle R^{\ast}}$${\displaystyle 1-\varepsilon}$

En finanzas cuantitativas, el enfoque del peor de los casos puede ser demasiado conservador. Una alternativa es descartar algunas situaciones extrañas para reducir el pesimismo; ^[7] además, la optimización de escenarios se puede aplicar a otras medidas de riesgo, incluido el CVaR (valor condicional en riesgo), lo que aumenta la flexibilidad de su uso. ^[14]

Los campos de aplicación incluyen: predicción , teoría de sistemas , análisis de regresión ( modelos de predicción de intervalo en particular), ciencia actuarial , control óptimo , matemáticas financieras , aprendizaje automático , toma de decisiones , cadena de suministro y gestión .