Optimización vectorial

La optimización vectorial es una subdisciplina de la optimización matemática donde se optimizan problemas de optimización con funciones objetivo vectoriales con respecto a un orden parcial dado y sujetos a ciertas restricciones. Un problema de optimización multiobjetivo es un caso especial de un problema de optimización vectorial: el espacio objetivo es el espacio euclidiano de dimensión finita parcialmente ordenado según el criterio de "menor o igual que" componente a componente.

En términos matemáticos, un problema de optimización vectorial se puede escribir como:

${\displaystyle C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)}$

dónde${\displaystyle f:X\to Z}$para un espacio vectorial parcialmente ordenado${\displaystyle Z}$El ordenamiento parcial es inducido por un cono.${\displaystyle C\subsetequ Z}$.${\displaystyle X}$es un conjunto arbitrario y${\displaystyle S\subsetequ X}$Se denomina conjunto factible.

Existen diferentes nociones de minimalismo, entre ellas:

• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$es un punto débilmente eficiente (minimizador débil) si para cada${\displaystyle x\in S}$uno tiene${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C}$.
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$es un punto eficiente (minimizador) si para cada${\displaystyle x\in S}$uno tiene${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}}$.
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$es un punto propiamente eficiente (minimizador propio) si${\displaystyle {\bar {x}}}$es un punto débilmente eficiente con respecto a un cono convexo cerrado y puntiagudo.${\displaystyle {\tilde {C}}}$dónde${\displaystyle C\backslash \{0\}\subseteteq \operatorname {int} {\tilde {C}}}$.

Todo minimizador propio es un minimizador. Y todo minimizador es un minimizador débil. ^{[ 1 ]}

Los conceptos de solución modernos no solo consisten en nociones de minimalidad, sino que también tienen en cuenta el logro del ínfimo . ^{[ 2 ]}

• Algoritmo de Benson para problemas de optimización vectorial lineal . ^{[ 2 ]}

Cualquier problema de optimización multiobjetivo puede escribirse como

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)}$

dónde${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{d}}$y${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$es el ortante no negativo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$Por lo tanto, los minimizadores de este problema de optimización vectorial son los puntos eficientes de Pareto .