Solución de esquina

En matemáticas y economía , una solución de esquina es una solución especial al problema de maximización de un agente en la que la cantidad de uno de los argumentos de la función maximizada es cero . En términos no técnicos, una solución de esquina se da cuando quien toma las decisiones no está dispuesto o no puede realizar una compensación entre bienes.

En el contexto económico, la solución de esquina se caracteriza mejor cuando la curva de indiferencia más alta alcanzable no es tangente a la recta presupuestaria ; en este escenario, el consumidor destina todo su presupuesto a comprar la mayor cantidad posible de uno de los bienes y nada de ningún otro. ^{[ 2 ]} Cuando la pendiente de la curva de indiferencia es mayor que la pendiente de la recta presupuestaria, el consumidor está dispuesto a renunciar a una mayor cantidad del bien 1 por una unidad del bien 2 de la que exige el mercado. Por lo tanto, se deduce que si la pendiente de la curva de indiferencia es estrictamente mayor que la pendiente de la recta presupuestaria:

${\displaystyle {\text{Pendiente de la curva de indiferencia}}>{\text{Pendiente de la línea presupuestaria}};\ \forall {\text{ valores de las pendientes}}}$

Entonces el resultado será una solución de esquina que interseca el eje x. ^{[ 3 ]} Lo contrario también es cierto para una solución de esquina que resulta de una intersección a través del eje y. ^{[ 3 ]}

Una solución de esquina es un caso en el que la "mejor" solución (es decir, la que maximiza el beneficio, la utilidad o cualquier otro valor que se busque) se obtiene no mediante la maximización eficiente en términos de mercado de las cantidades relacionadas, sino mediante condiciones de contorno de fuerza bruta. Dicha solución carece de elegancia matemática , y la mayoría de los ejemplos se caracterizan por condiciones impuestas externamente (como "las variables x e y no pueden ser negativas") que sitúan los extremos locales reales fuera de los valores permitidos.

Otra forma técnica de expresarlo es que una solución de esquina es una solución a un problema de minimización o maximización donde la solución que no es de esquina es inviable, es decir, no pertenece al dominio. En cambio, la solución es una solución de esquina en un eje donde x o y es igual a cero. Por ejemplo, en el ejemplo anterior de economía, si la utilidad máxima de dos bienes se alcanza cuando las cantidades de bienes x e y son (−2,  5), y la utilidad está sujeta a la restricción de que x e y sean mayores o iguales a 0 (no se puede consumir una cantidad negativa de bienes), como suele ser el caso, entonces la solución real al problema sería una solución de esquina donde x = 0.

La solución más habitual se encuentra en el interior distinto de cero, en el punto de tangencia entre la función objetivo y la restricción. Por ejemplo, en la teoría del consumidor, la función objetivo es la curva de indiferencia (la función de utilidad ) del consumidor. La recta presupuestaria es la restricción. En el caso habitual, la utilidad restringida se maximiza en la restricción presupuestaria con cantidades estrictamente positivas consumidas de ambos bienes. Sin embargo, para una solución de esquina, la utilidad se maximiza en un punto de un eje donde la restricción presupuestaria interseca la curva de indiferencia más alta alcanzable con un consumo cero para un bien y destinando todos los ingresos al otro bien. Además, un rango de precios más bajos para el bien con un consumo inicial cero puede dejar la cantidad demandada sin cambios en cero, en lugar de aumentarla como en el caso más habitual.

Para hallar gráficamente una solución de esquina, se debe desplazar la curva de indiferencia en la dirección que aumenta la utilidad. Si se alcanza un punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la línea presupuestaria, no se trata de una solución de esquina, sino de una solución interior. Si no se encuentra un punto de tangencia dentro del dominio, la curva de indiferencia que maximiza la utilidad para la restricción presupuestaria dada estará en la intersección de los ejes x e y (dependiendo de si la pendiente de la curva de indiferencia es estrictamente mayor o menor que la pendiente de la restricción presupuestaria); esta es una solución de esquina. ^{[ 3 ]}

Para resolver matemáticamente una solución de esquina, se debe aplicar el método lagrangiano con las restricciones de no negatividad x ≥ 0 e y ≥ 0. ^{[ 6 ]}

• Curva de indiferencia: Sección de supuestos
• Solución interior (optimización)