Análisis isogeométrico

El análisis isogeométrico es un enfoque computacional que ofrece la posibilidad de integrar el análisis de elementos finitos (FEA) en herramientas de diseño CAD convencionales basadas en NURBS . Actualmente, es necesario convertir datos entre paquetes CAD y FEA para analizar nuevos diseños durante el desarrollo, una tarea difícil dado que los dos enfoques geométricos computacionales son diferentes. El análisis isogeométrico emplea geometría NURBS compleja (la base de la mayoría de los paquetes CAD) directamente en la aplicación FEA. Esto permite diseñar, probar y ajustar modelos de una sola vez, utilizando un conjunto de datos común . ^[¹^]

Los pioneros de esta técnica son Tom Hughes y su grupo en la Universidad de Texas en Austin . Una implementación de software libre de referencia de algunos métodos de análisis isogeométrico es GeoPDEs. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Asimismo, se pueden encontrar otras implementaciones en línea. Por ejemplo, PetIGA ^{[ 4 ]} es un marco abierto para análisis isogeométrico de alto rendimiento basado en gran medida en PETSc . Además, MIGFEM es otro código IGA que se implementa en Matlab y admite IGA de enriquecimiento de partición de la unidad para fractura 2D y 3D. Además, G+Smo ^{[ 5 ]} es una biblioteca C++ abierta para análisis isogeométrico. En particular, FEAP ^{[ 6 ]} es un programa de análisis de elementos finitos que incluye una biblioteca de análisis isogeométrico FEAP IsoGeometric (versión FEAP84 y versión FEAP85).

Ventajas de IGA con respecto a FEA

El análisis isogeométrico presenta dos ventajas principales con respecto al método de elementos finitos: ^{[ 1 ]}^{[ 7 ]}

No hay error de aproximación geométrica , debido a que el dominio está representado exactamente ^{[ 1 ].}
Los problemas de propagación de ondas , que surgen por ejemplo en electrofisiología cardíaca , acústica y elastodinámica , se describen mejor gracias a la reducción de los errores de dispersión y disipación numéricos . ^{[ 7 ]}

Mallas

En el marco de IGA, se definen las nociones de malla de control y malla física. ^{[ 1 ]}

Una malla de control se crea mediante los denominados puntos de control y se obtiene mediante una interpolación lineal por tramos de los mismos. Los puntos de control también desempeñan el papel de grados de libertad (GDL). ^{[ 1 ]}

La malla física se superpone directamente a la geometría y consta de parches y segmentos de nudos. Según el número de parches utilizados en una malla física específica, se emplea un enfoque de parche único o de múltiples parches. Un parche se mapea desde un rectángulo de referencia en dos dimensiones y desde un cuboide de referencia en tres dimensiones: puede considerarse como todo el dominio computacional o una porción más pequeña del mismo. Cada parche se puede descomponer en segmentos de nudos, que son puntos , líneas y superficies en 1D, 2D y 3D, respectivamente. Los nudos se insertan dentro de los segmentos de nudos y definen los elementos. Las funciones base son $C^{pm}$ a través de los nudos, con $p$ grado del polinomio y $m$ multiplicidad de un nudo específico, y $C^{\infty }$ entre un nudo determinado y el siguiente o el anterior. ^{[ 1 ]}

Vector de nudo

Un vector de nudo, normalmente indicado como $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , es un conjunto de puntos no descendentes. $\xi _{i}\in \mathbb {R}$ es el $i^{th}$ nudo, $n$ es el número de funciones, $p$ Se refiere al orden de las funciones base. Un nudo divide el espacio entre nudos en elementos. Un vector de nudos es uniforme o no uniforme según si sus nudos, una vez que no se tiene en cuenta su multiplicidad, son equidistantes o no. Si aparecen el primer y el último nudo $p+1$ veces, se dice que el vector del nudo está abierto. ^{[ 1 ]}^{[ 7 ]}

Funciones básicas

Una vez que se proporciona una definición de vector de nodo, se pueden introducir varios tipos de funciones base en este contexto, como B-splines , NURBS y T-splines . ^{[ 1 ]}

B-splines

Las B-splines se pueden derivar recursivamente de una función constante por partes con $p=0$ : ^{[ 1 ]}

$N_{i,0}(\xi )={\mathcal {I}}_{[\xi _{i},\xi _{i+1})}(s)\quad 1\leq i\leq n$

Utilizando el algoritmo de De Boor , es posible generar B-splines de orden arbitrario. $p$ : ^{[ 1 ]}

$N_{i,p}(\xi )={\frac {\xi -\xi _{i}}{\xi _{i+p}-\xi _{i}}}N_{i,p-1}(\xi )+{\frac {\xi _{i+p+1}-\xi }{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+1}}}N_{i+1,p-1}(\xi )\quad 1\leq i\leq n$

Válido tanto para vectores de nudos uniformes como no uniformes. Para que la fórmula anterior funcione correctamente, hagamos que la división de dos ceros sea igual a cero, es decir ${\dfrac {0}{0}}:=0$ .

Las B-splines que se generan de esta manera poseen tanto la partición de la unidad como las propiedades de positividad, es decir: ^{[ 1 ]}

$\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi )=1\quad \forall \xi$

$N_{i,p}(\xi )\geq 0\quad \forall \xi$

Para calcular derivadas u orden $k$ del $i^{th}$ B-splines de grado $p$ , se puede emplear otra fórmula recursiva: ^{[ 1 ]}

${\frac {d^{k}}{d^{k}\xi }}N_{i,p}(\xi )={\frac {p!}{(p-k)!}}\sum _{j=0}^{k}\alpha _{k,j}N_{i+j,p-k}(\xi )$

dónde:

$\alpha _{0,0}=1$

$\alpha _{k,0}={\frac {\alpha _{k-1,0}}{\xi _{i+p-k+1}-\xi _{i}}},$

$\alpha _{k,j}={\frac {\alpha _{k-1,j}-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+j-k+1}-\xi _{i+j}}}\quad j=1,...,k-1,$

$\alpha _{k,k}={\frac {-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+k}}}.$

siempre que el denominador de un $\alpha _{j,j}$ Si el coeficiente es cero, todo el coeficiente también se ve obligado a ser cero.

Una curva B-spline se puede escribir de la siguiente manera: ^{[ 7 ]}

${\textbf {C}}(\xi )=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi ){\textbf {B}}_{i}$

dónde $n$ es el número de funciones base $N_{i,p}$ , y ${\textbf {B}}_{i}\in \mathbb {R} ^{d}$ es el $i^{th}$ punto de control, con $d$ dimensión del espacio en el que está inmersa la curva.

Una extensión al caso bidimensional se puede obtener fácilmente a partir de curvas B-spline. ^{[ 7 ]} En particular, las superficies B-spline se introducen como: ^{[ 7 ]}

${\textbf {S}}(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta ){\textbf {B}}_{i,j}$

dónde $n$ y $m$ son los números de funciones base $N_{i,p}$ y $M_{j,q}$ definidos en dos vectores de nudos diferentes $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ , ${\mathcal {H}}=\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{m+q+1}\}$ , ${\textbf {B}}_{i,j}$ ahora representa una matriz de puntos de control (también llamada red de control).

Finalmente, los sólidos B-splines, que necesitan tres conjuntos de funciones base B-splines y un tensor de puntos de control, se pueden definir como: ^{[ 7 ]}

${\textbf {S}}(\xi ,\eta ,\zeta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta )L_{k,r}(\zeta ){\textbf {B}}_{i,j,k}$

NURBS

En IGA, las funciones base también se emplean para desarrollar el dominio computacional y no solo para representar la solución numérica. Por esta razón, deben tener todas las propiedades que permitan representar la geometría de manera exacta. Las B-splines, debido a su estructura intrínseca, no pueden generar formas circulares adecuadas, por ejemplo. ^{[ 1 ]} Para sortear este problema, se introducen las B-splines racionales no uniformes, también conocidas como NURBS, de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

$R_{i}^{p}(s)={\frac {N_{i,p}(s)\omega _{i}}{W(s)}}$

dónde $N_{i,p}$ es una B-spline unidimensional, $W(s)=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(s)\omega _{i}$ se denomina función de ponderación y, finalmente, $\omega _{i}$ es el $i^{th}$ peso.

Siguiendo la idea desarrollada en la subsección sobre B-splines, las curvas NURBS se generan de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

${\textbf {C}}(s)=\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{p}(s){\textbf {B}}_{i}$

con ${\textbf {B}}_{i}$ $i^{th}$ vector de puntos de control.

La extensión de las funciones base NURBS a variedades de dimensiones superiores (por ejemplo, 2 y 3) viene dada por: ^{[ 1 ]}

$R_{i,j}^{p,q}(s,t)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)\omega _{i,j}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)\omega _{a,b}}}$

$R_{i,j,k}^{p,q,r}(s,t,w)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)L_{k,r}(w)\omega _{i,j,k}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}\sum _{c=1}^{l}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)L_{c,r}(w)\omega _{a,b,c}}}$

En IGA existen tres técnicas que permiten ampliar el espacio de funciones base sin tocar la geometría ni su parametrización. ^{[ 1 ]}

El primero se conoce como inserción de nudos (o refinamiento h en el marco de FEA), donde ${\overline {\Xi }}=\{{\overline {\xi _{1}}}=\xi _{1},{\overline {\xi _{2}}},...,{\overline {\xi _{n+m+p+1}}}=\xi _{n+p+1}\}$ se obtiene de $\Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}$ con la adición de más nudos, lo que implica un incremento tanto del número de funciones base como de puntos de control. ^{[ 1 ]}

El segundo se denomina elevación de grado (o refinamiento p en el contexto de FEA), que permite aumentar el orden polinómico de las funciones base. ^{[ 1 ]}

Finalmente, el tercer método, conocido como k-refinamiento (sin contraparte en FEA), se deriva de las dos técnicas anteriores, es decir, combina la elevación de orden con la inserción de un nudo único en $\Xi$ . ^{[ 1 ]}

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Cottrell, J. Austin; Hughes, Thomas JR; Bazilevs, Yuri (octubre de 2009). Análisis isogeométrico: Hacia la integración de CAD y FEA . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-74873-2. Consultado el 11 de febrero de 2026 .
↑ "GeoPDEs: una herramienta de software libre para el análisis isogeométrico de EDP" . 2010. Consultado el 7 de noviembre de 2010 .
^ de Falcó, C.; A. Realí; R. Vázquez (2011). "GeoPDE: una herramienta de investigación para el análisis isogeométrico de PDE". Adv. Ing. Software . 42 (12): 1020– 1034. doi : 10.1016/j.advengsoft.2011.06.010 .
↑ "PetIGA: Un marco para el análisis isogeométrico de alto rendimiento" . 2012. Archivado del original el 14 de julio de 2014. Recuperado el 7 de agosto de 2012 .
↑ "G+Smo: una biblioteca C++ para análisis isogeométrico, desarrollada en RICAM, Linz" . 2017. Consultado el 9 de julio de 2017 .
↑ "FEAP: FEAP es un programa de análisis de elementos finitos de propósito general diseñado para uso educativo y de investigación, desarrollado en la Universidad de California, Berkeley" . 2018. Consultado el 21 de abril de 2018 .
1 2 3 4 5 6 7 Pegolotti, Luca; Dedè, Luca; Quarteroni, Alfio (enero de 2019). "Análisis isogeométrico de la electrofisiología en el corazón humano: simulación numérica de las ecuaciones de bidominio en las aurículas" (PDF) . Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería . 343 : 52–73 . Bibcode : 2019CMAME.343...52P . doi : 10.1016/j.cma.2018.08.032 . hdl : 11311/1066014 . S2CID 53613848 .

Enlaces externos

GeoPDEs: una herramienta de software gratuita para análisis isogeométrico basada en Octave.
MIG(X)FEM: un código Matlab gratuito para IGA (FEM y FEM extendido)
PetIGA: Un marco para el análisis isogeométrico de alto rendimiento. Archivado el 14 de julio de 2014 en Wayback Machine, basado en PETSc.
G+Smo (módulos de geometría y simulación): una biblioteca de C++ para análisis isogeométrico, que busca la integración perfecta del diseño asistido por computadora (CAD) y el análisis de elementos finitos (FEA), mantenida por una comunidad de colaboradores de código abierto.
FEAP: un programa de análisis de elementos finitos de propósito general diseñado para uso en investigación y educación, desarrollado en la Universidad de California, Berkeley.
Bembel: Una biblioteca de código abierto de elementos de contorno isogeométricos para problemas de Laplace, Helmholtz y Maxwell escrita en C++.
TJR Hughes, JA Cottrell, Y. Bazilevs: "Análisis isogeométrico: CAD, elementos finitos, NURBS, geometría exacta y refinamiento de malla", Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería, Elsevier, 2005, 194 (39-41), pp.4135-4195.

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