Ranura de caja

En los campos matemáticos del análisis numérico y la teoría de la aproximación , las splines de caja son funciones polinómicas por partes de varias variables. ^{[ 1 ]} Las splines de caja se consideran una generalización multivariada de las splines de base (B-splines) y se utilizan generalmente para la aproximación/interpolación multivariada. Geométricamente, una spline de caja es la sombra (rayos X) de un hipercubo proyectado a un espacio de menor dimensión. ^{[ 2 ]} Las splines de caja y las splines simplex son casos especiales bien estudiados de splines poliédricas que se definen como sombras de politopos generales .

Una spline de caja es una función multivariada.${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} )}$definido para un conjunto de vectores,${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d},}$generalmente reunidos en una matriz${\displaystyle \mathbf {\Xi }$ :=\left[\xi _{1}\dots \xi _{N}\right].}

Cuando el número de vectores es igual a la dimensión del dominio (es decir,${\displaystyle N=d}$) entonces la spline de caja es simplemente la función indicadora (normalizada) del paralelepípedo formado por los vectores en${\displaystyle \mathbf {\Xi } }$:

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} ):={\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}\chi _{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x} =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ for some }}0\leq t_{n}<1\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Añadiendo una nueva dirección,${\displaystyle \xi ,}$a${\displaystyle \mathbf {\Xi } ,}$o generalmente cuando${\displaystyle N>d,}$La spline de caja se define recursivamente: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } \cup \xi }(\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} -t\xi )\,{\rm {d}}t.}$

La ranura de la caja${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }}$puede interpretarse como la sombra de la función indicadora del hipercubo unitario en${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$cuando se proyecta hacia abajo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$Desde esta perspectiva, los vectores${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$son la proyección geométrica de la base estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$(es decir, las aristas del hipercubo) a${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Considerando distribuciones templadas, una spline de caja asociada con un vector de dirección única es una función generalizada de tipo Dirac soportada en${\displaystyle t\xi }$para${\displaystyle 0\leq t<1}$. Entonces, la spline de caja general se define como la convolución de las distribuciones asociadas a las splines de caja de vector único:

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }=M_{\xi _{1}}\ast M_{\xi _{2}}\ast \dots \ast M_{\xi _{N}}.}$

• Dejar${\displaystyle \kappa }$ser el número mínimo de direcciones cuya eliminación de${\displaystyle \Xi }$hace que las instrucciones restantes no se extiendan${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Entonces la spline de caja tiene${\displaystyle \kappa -2}$grados de continuidad:${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }\in C^{\kappa -2}(\mathbb {R} ^{d})}$. ^{[ 1 ]}
• Cuando${\displaystyle N\geq d}$(y vectores en${\displaystyle \Xi }$durar${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$) la spline de caja es una función con soporte compacto cuyo soporte es un zonotopo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$formada por la suma de Minkowski de los vectores de dirección${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$.
• Dado que los zonotopos son simétricos respecto al centro, el soporte de la spline de caja es simétrico con respecto a su centro:${\displaystyle \mathbf {c} _{\Xi }:={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}\xi _{n}.}$
• Transformada de Fourier de la spline de caja, en${\displaystyle d}$dimensiones, está dado por

${\displaystyle {\hat {M}}_{\Xi }(\omega )=\exp(-j\mathbf {c} _{\Xi }\cdot \omega )\prod _{n=1}^{N}\operatorname {sinc} (\xi _{n}\cdot \omega ).}$

Para diversas aplicaciones, se utilizan combinaciones lineales de desplazamientos de una o más splines de caja sobre una malla. Estas splines son más eficientes que las combinaciones lineales de splines simplex, ya que son refinables y, por definición, invariantes a los desplazamientos. Por lo tanto, constituyen el punto de partida para muchas construcciones de superficies de subdivisión .

Las splines de caja han sido útiles en la caracterización de arreglos de hiperplanos . ^{[ 3 ]} Además, las splines de caja se pueden usar para calcular el volumen de politopos. ^{[ 4 ]}

En el contexto del procesamiento de señales multidimensionales , las splines de caja pueden proporcionar núcleos de interpolación multivariados (filtros de reconstrucción) adaptados a redes de muestreo no cartesianas , ^{[ 5 ]} y redes cristalográficas (redes raíz) que incluyen muchas redes de muestreo óptimas desde el punto de vista de la teoría de la información. ^{[ 6 ]} Generalmente, las redes de empaquetamiento de esferas óptimas y las redes de recubrimiento de esferas ^{[ 7 ]} son ​​útiles para muestrear funciones multivariadas en 2-D, 3-D y dimensiones superiores. ^{[ 8 ]} En el entorno 2-D, la spline de caja de tres direcciones ^{[ 9 ]} se utiliza para la interpolación de imágenes muestreadas hexagonalmente. En el entorno 3-D, las splines de caja de cuatro direcciones ^{[ 10 ]} y seis direcciones ^{[ 11 ]} se utilizan para la interpolación de datos muestreados en las redes cúbicas centradas en el cuerpo y cúbicas centradas en las caras (óptimas) respectivamente. ^{[ 5 ]} La spline de caja de siete direcciones ^{[ 12 ]} se ha utilizado para modelar superficies y puede utilizarse para interpolación de datos en la red cartesiana ^{[ 13 ]} así como en la red cúbica centrada en el cuerpo . ^{[ 14 ]} La generalización de las splines de caja de cuatro ^{[ 10 ]} y seis direcciones ^{[ 11 ]} a dimensiones superiores ^{[ 15 ]} puede utilizarse para construir splines en redes raíz . ^{[ 16 ]} Las splines de caja son ingredientes clave de las splines hexagonales ^{[ 17 ]} y las splines de Voronoi ^{[ 18 ]} que, sin embargo, no son refinables.

Las splines de caja han encontrado aplicaciones en el filtrado de alta dimensión, específicamente para el filtrado bilateral rápido y los algoritmos de medias no locales . ^{[ 19 ]} Además, las splines de caja se utilizan para diseñar filtros eficientes que varían espacialmente (es decir, no convolucionales). ^{[ 20 ]}

Las splines de caja son funciones base útiles para la representación de imágenes en el contexto de problemas de reconstrucción tomográfica , ya que los espacios de splines generados por los espacios de splines de caja son cerrados bajo transformadas de rayos X y de Radon . ^{[ 21 ] [ 22 ]} En esta aplicación, mientras que la señal se representa en espacios invariantes a traslaciones, las proyecciones se obtienen, en forma cerrada, mediante traslaciones no uniformes de splines de caja. ^{[ 21 ]}

En el contexto del procesamiento de imágenes, se ha demostrado que los marcos de spline de caja son eficaces en la detección de bordes . ^{[ 23 ]}