Punto Sethi-Skiba

Los puntos de Sethi-Skiba , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} también conocidos como puntos DNSS, surgen en problemas de control óptimo que presentan múltiples soluciones óptimas. Un punto de Sethi-Skiba es un punto de indiferencia en un problema de control óptimo tal que, partiendo de dicho punto, el problema tiene más de una solución óptima diferente. Una buena discusión sobre estos puntos se puede encontrar en Grass et al. ^{[ 2 ] [ 5 ] [ 6 ]}

De particular interés aquí son los problemas de control óptimo autónomos con horizonte infinito descontado. ^{[ 2 ]} Estos problemas pueden formularse como

${\displaystyle \max _{u(t)\in \Omega }\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}\varphi \left(x(t),u(t)\right)dt}$

calle

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f\left(x(t),u(t)\right),x(0)=x_{0},}$

dónde${\displaystyle \rho >0}$es la tasa de descuento,${\displaystyle x(t)}$y${\displaystyle u(t)}$son las variables de estado y de control, respectivamente, en el tiempo${\displaystyle t}$funciones${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle f}$Se supone que son continuamente diferenciables con respecto a sus argumentos y no dependen explícitamente del tiempo.${\displaystyle t}$, y${\displaystyle \Omega }$es el conjunto de controles factibles y también es explícitamente independiente del tiempo${\displaystyle t}$Además, se supone que la integral converge para cualquier solución admisible.${\displaystyle \left(x(.),u(.)\right)}$En un problema de este tipo con una variable de estado unidimensional${\displaystyle x}$, el estado inicial${\displaystyle x_{0}}$Se denomina punto de Sethi-Skiba si el sistema que parte de él presenta múltiples soluciones óptimas o equilibrios. Por lo tanto, al menos en la vecindad de${\displaystyle x_{0}}$, el sistema se mueve a un equilibrio para${\displaystyle x>x_{0}}$y a otro para${\displaystyle x<x_{0}}$. En este sentido,${\displaystyle x_{0}}$es un punto de indiferencia desde el cual el sistema podría moverse a cualquiera de los dos equilibrios.

Para problemas de control óptimo bidimensionales , Grass et al. ^{[ 5 ]} y Zeiler et al. ^{[ 7 ]} presentan ejemplos que muestran curvas DNSS.

Algunas referencias sobre las aplicaciones de los puntos Sethi-Skiba son Caulkins et al., ^{[ 8 ]} Zeiler et al., ^{[ 9 ]} y Carboni y Russu ^{[ 10 ]}

Suresh P. Sethi identificó estos puntos de indiferencia por primera vez en 1977. ^{[ 11 ]} Además, Skiba, ^{[ 12 ]} Sethi, ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} y Deckert y Nishimura ^{[ 16 ]} exploraron estos puntos de indiferencia en modelos económicos. El término puntos DNSS (Deckert, Nishimura, Sethi, Skiba), introducido por Grass et al., ^{[ 5 ]} reconoce (alfabéticamente) las contribuciones de estos autores. Estos puntos de indiferencia también se han denominado puntos de Skiba o puntos DNS en la literatura anterior. ^{[ 5 ]}

Un problema sencillo que exhibe este comportamiento viene dado por${\displaystyle \varphi \left(x,u\right)=xu,}$${\displaystyle f\left(x,u\right)=-x+u,}$y${\displaystyle \Omega =\left[-1,1\right]}$^{. En Grass et al. [ 5 ]} se muestra que${\displaystyle x_{0}=0}$es un punto Sethi-Skiba para este problema porque el camino óptimo${\displaystyle x(t)}$puede ser${\displaystyle \left(1-e^{-t}\right)}$o${\displaystyle \left(-1+e^{-t}\right)}$. Tenga en cuenta que para${\displaystyle x_{0}<0}$, la ruta óptima es${\displaystyle x(t)=-1+e^{-t\left(x_{0}+1\right)}}$y para${\displaystyle x_{0}>0}$, la ruta óptima es${\displaystyle x(t)=1+e^{-t\left(x_{0}-1\right)}}$.

Para obtener más detalles y extensiones, se remite al lector a Grass et al. ^{[ 5 ].}