Optimización del diseño multidisciplinario

Mientras que los métodos de optimización son casi tan antiguos como el cálculo , remontándose a Isaac Newton , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Joseph Louis Lagrange , quienes los usaron para resolver problemas como la forma de la curva catenaria , la optimización numérica alcanzó prominencia en la era digital. Su aplicación sistemática al diseño estructural se remonta a su defensa por Schmit en 1960. ^{[ 1 ] [ 2 ]} El éxito de la optimización estructural en la década de 1970 motivó el surgimiento de la optimización de diseño multidisciplinario (MDO) en la década de 1980. Jaroslaw Sobieski defendió los métodos de descomposición diseñados específicamente para aplicaciones de MDO. ^{[ 3 ]} La siguiente sinopsis se centra en los métodos de optimización para MDO. Primero, se revisan los métodos populares basados ​​en gradientes utilizados por la comunidad inicial de optimización estructural y MDO. Luego se resumen los métodos desarrollados en los últimos doce años.

Durante las décadas de 1960 y 1970, existieron dos escuelas de profesionales de la optimización estructural que utilizaban métodos basados ​​en gradientes : los criterios de optimalidad y la programación matemática . La escuela de criterios de optimalidad derivó fórmulas recursivas basadas en las condiciones necesarias de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para un diseño óptimo. Las condiciones KKT se aplicaron a clases de problemas estructurales, como el diseño de peso mínimo con restricciones en tensiones, desplazamientos, pandeo o frecuencias [Rozvany, Berke, Venkayya, Khot, et al.], para derivar expresiones de redimensionamiento particulares para cada clase. La escuela de programación matemática empleó métodos clásicos basados ​​en gradientes para problemas de optimización estructural. El método de direcciones factibles utilizables, el método de proyección de gradiente de Rosen (gradiente reducido generalizado), las técnicas de minimización secuencial sin restricciones, la programación lineal secuencial y, finalmente, los métodos de programación cuadrática secuencial fueron opciones comunes. Schittkowski et al. revisaron los métodos vigentes a principios de la década de 1990.

Los métodos de gradiente exclusivos de la comunidad MDO se derivan de la combinación de criterios de optimalidad con programación matemática, reconocida por primera vez en el trabajo pionero de Fleury y Schmit, quienes construyeron un marco de conceptos de aproximación para la optimización estructural. Reconocieron que los criterios de optimalidad eran tan exitosos para las restricciones de tensión y desplazamiento porque ese enfoque equivalía a resolver el problema dual de los multiplicadores de Lagrange utilizando aproximaciones de series de Taylor lineales en el espacio de diseño recíproco. En combinación con otras técnicas para mejorar la eficiencia, como la eliminación de restricciones, la regionalización y la vinculación de variables de diseño, lograron unificar el trabajo de ambas escuelas. Este enfoque basado en conceptos de aproximación constituye la base de los módulos de optimización en el software moderno de diseño estructural.

Las aproximaciones para la optimización estructural fueron iniciadas por la aproximación recíproca de Schmit y Miura para las funciones de respuesta de tensión y desplazamiento. Se emplearon otras variables intermedias para placas. Combinando variables lineales y recíprocas, Starnes y Haftka desarrollaron una aproximación conservadora para mejorar las aproximaciones de pandeo. Fadel eligió una variable de diseño intermedia apropiada para cada función basándose en una condición de coincidencia de gradiente para el punto anterior. Vanderplaats inició una segunda generación de aproximaciones de alta calidad cuando desarrolló la aproximación de fuerza como una aproximación de respuesta intermedia para mejorar la aproximación de las restricciones de tensión. Canfield desarrolló una aproximación de cociente de Rayleigh para mejorar la precisión de las aproximaciones de valores propios. Barthelemy y Haftka publicaron una revisión exhaustiva de las aproximaciones en 1993.

En los últimos años, han surgido métodos evolutivos no basados ​​en gradientes, como algoritmos genéticos , recocido simulado y algoritmos de colonia de hormigas . Actualmente, muchos investigadores se esfuerzan por alcanzar un consenso sobre los mejores modos y métodos para problemas complejos como daños por impacto, fallas dinámicas y análisis en tiempo real . Para ello, suelen emplear métodos de diseño multiobjetivo y multicriterio.

En los últimos doce años , los profesionales de la optimización multiobjetivo (MDO) han investigado métodos de optimización en diversas áreas. Entre ellas se incluyen métodos de descomposición, métodos de aproximación , algoritmos evolutivos , algoritmos meméticos , metodología de superficie de respuesta , optimización basada en la fiabilidad y enfoques de optimización multiobjetivo .

La exploración de métodos de descomposición ha continuado en los últimos doce años con el desarrollo y la comparación de diversos enfoques, clasificados como jerárquicos y no jerárquicos, o colaborativos y no colaborativos. Los métodos de aproximación abarcaron un conjunto diverso de enfoques, incluyendo el desarrollo de aproximaciones basadas en modelos sustitutos (a menudo denominados metamodelos), modelos de fidelidad variable y estrategias de gestión de regiones de confianza. El desarrollo de aproximaciones multipunto difuminó la distinción con los métodos de superficie de respuesta. Algunos de los métodos más populares incluyen el Kriging y el método de mínimos cuadrados móviles .

La metodología de superficies de respuesta , desarrollada ampliamente por la comunidad estadística, ha recibido mucha atención en la comunidad de MDO en los últimos doce años. Un factor clave para su uso ha sido el desarrollo de sistemas masivamente paralelos para computación de alto rendimiento, que se adaptan naturalmente a la distribución de las evaluaciones de funciones de múltiples disciplinas necesarias para la construcción de superficies de respuesta. El procesamiento distribuido es particularmente adecuado para el proceso de diseño de sistemas complejos, donde el análisis de diferentes disciplinas puede realizarse de forma natural en distintas plataformas informáticas e incluso por distintos equipos.

Los métodos evolutivos fueron pioneros en la exploración de métodos sin gradiente para aplicaciones de optimización multiobjetivo (MDO). También se han beneficiado de la disponibilidad de supercomputadoras de alto rendimiento con procesamiento masivamente paralelo, ya que requieren intrínsecamente muchas más evaluaciones de funciones que los métodos basados ​​en gradiente. Su principal ventaja reside en su capacidad para manejar variables de diseño discretas y en el potencial para encontrar soluciones óptimas globales.

La optimización basada en la fiabilidad (RBO) es un área de creciente interés en MDO. Al igual que los métodos de superficie de respuesta y los algoritmos evolutivos, RBO se beneficia de la computación paralela, ya que la integración numérica para calcular la probabilidad de fallo requiere muchas evaluaciones de funciones. Uno de los primeros enfoques empleó conceptos de aproximación para integrar la probabilidad de fallo. El método clásico de fiabilidad de primer orden (FORM) y el método de fiabilidad de segundo orden (SORM) siguen siendo populares. El profesor Ramana Grandhi utilizó variables normalizadas apropiadas sobre el punto de fallo más probable, encontrado mediante una aproximación no lineal adaptativa de dos puntos para mejorar la precisión y la eficiencia. El Southwest Research Institute ha desempeñado un papel destacado en el desarrollo de RBO, implementando métodos de fiabilidad de vanguardia en software comercial. RBO ha alcanzado la madurez suficiente para aparecer en programas comerciales de análisis estructural como Optistruct de Altair y Nastran de MSC .

La maximización de la probabilidad basada en la utilidad se desarrolló en respuesta a ciertas preocupaciones lógicas (por ejemplo, el dilema de Blau) relacionadas con la optimización del diseño basada en la fiabilidad. ^{[ 4 ]} Este enfoque se centra en maximizar la probabilidad conjunta de que la función objetivo supere algún valor y de que se satisfagan todas las restricciones. Cuando no hay función objetivo, la maximización de la probabilidad basada en la utilidad se reduce a un problema de maximización de la probabilidad. Cuando no hay incertidumbres en las restricciones, se reduce a un problema de maximización de la utilidad con restricciones. (Esta segunda equivalencia surge porque la utilidad de una función siempre puede expresarse como la probabilidad de que dicha función supere alguna variable aleatoria). Dado que transforma el problema de optimización con restricciones asociado a la optimización basada en la fiabilidad en un problema de optimización sin restricciones, suele dar lugar a formulaciones de problemas computacionalmente más manejables.

En el ámbito del marketing, existe una extensa bibliografía sobre el diseño óptimo de productos y servicios multiatributo, basado en análisis experimentales para estimar modelos de funciones de utilidad del consumidor. Estos métodos se conocen como Análisis Conjunto . Se presentan a los participantes productos alternativos, midiendo sus preferencias mediante diversas escalas, y la función de utilidad se estima con distintos métodos (desde regresión y métodos de respuesta superficial hasta modelos de elección). El mejor diseño se formula tras la estimación del modelo. El diseño experimental se optimiza habitualmente para minimizar la varianza de los estimadores. Estos métodos se utilizan ampliamente en la práctica.

Una variable de diseño es una especificación controlable desde la perspectiva del diseñador. Por ejemplo, el grosor de un elemento estructural puede considerarse una variable de diseño. Otro ejemplo podría ser la elección del material. Las variables de diseño pueden ser continuas (como la envergadura de un ala), discretas (como el número de costillas en un ala) o booleanas (como la decisión de construir un monoplano o un biplano ). Los problemas de diseño con variables continuas suelen resolverse con mayor facilidad.

Las variables de diseño suelen estar acotadas, es decir, suelen tener valores máximos y mínimos. Dependiendo del método de solución, estos límites pueden tratarse como restricciones o por separado.

Una de las variables importantes que deben tenerse en cuenta es la incertidumbre. La incertidumbre, a menudo denominada incertidumbre epistémica, surge por falta de conocimiento o información incompleta. La incertidumbre es esencialmente una variable desconocida, pero puede provocar el fallo del sistema.

Una restricción es una condición que debe cumplirse para que el diseño sea factible. Un ejemplo de restricción en el diseño de aeronaves es que la sustentación generada por un ala debe ser igual al peso de la aeronave. Además de las leyes físicas, las restricciones pueden reflejar limitaciones de recursos, requisitos del usuario o límites en la validez de los modelos de análisis. Las restricciones pueden utilizarse explícitamente mediante el algoritmo de solución o incorporarse a la función objetivo mediante multiplicadores de Lagrange .

Un objetivo es un valor numérico que se busca maximizar o minimizar. Por ejemplo, un diseñador puede querer maximizar las ganancias o minimizar el peso. Muchos métodos de solución solo funcionan con objetivos individuales. Al utilizar estos métodos, el diseñador normalmente pondera los distintos objetivos y los suma para obtener un único objetivo. Otros métodos permiten la optimización multiobjetivo, como el cálculo del frente de Pareto .

El diseñador también debe elegir modelos que relacionen las restricciones y los objetivos con las variables de diseño. Estos modelos dependen de la disciplina involucrada. Pueden ser modelos empíricos, como un análisis de regresión de precios de aeronaves; modelos teóricos, como los de dinámica de fluidos computacional ; o modelos de orden reducido de cualquiera de estos. Al elegir los modelos, el diseñador debe encontrar un equilibrio entre la precisión y el tiempo de análisis.

La naturaleza multidisciplinaria de la mayoría de los problemas de diseño complica la elección e implementación del modelo. A menudo, se requieren varias iteraciones entre las disciplinas para determinar los valores de los objetivos y las restricciones. Por ejemplo, las cargas aerodinámicas sobre un ala afectan su deformación estructural. Esta deformación, a su vez, modifica la forma del ala y las cargas aerodinámicas. Por lo tanto, al analizar un ala, los análisis aerodinámicos y estructurales deben ejecutarse sucesivamente hasta que las cargas y la deformación converjan.

Una vez elegidas las variables de diseño, las restricciones, los objetivos y las relaciones entre ellos, el problema puede expresarse de la siguiente forma:

encontrar${\displaystyle \mathbf {x} }$que minimiza${\displaystyle J(\mathbf {x} )}$sujeto a${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )\leq \mathbf {0} }$,${\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$y${\displaystyle \mathbf {x} _{lb}\leq \mathbf {x} \leq \mathbf {x} _{ub}}$

dónde${\displaystyle J}$es un objetivo,${\displaystyle \mathbf {x} }$es un vector de variables de diseño,${\displaystyle \mathbf {g} }$es un vector de restricciones de desigualdad,${\displaystyle \mathbf {h} }$es un vector de restricciones de igualdad, y${\displaystyle \mathbf {x} _ {lb}}$y${\displaystyle \mathbf {x} _ {ub}}$son vectores de límites inferiores y superiores de las variables de diseño. Los problemas de maximización se pueden convertir en problemas de minimización multiplicando la función objetivo por -1. Las restricciones se pueden invertir de manera similar. Las restricciones de igualdad se pueden reemplazar por dos restricciones de desigualdad.

• Ecuación adjunta
• El método de Newton
• Descenso más pronunciado
• Gradiente conjugado
• Programación cuadrática secuencial

• Búsqueda de patrones de Hooke-Jeeves
• Método de Nelder-Mead

• Algoritmo genético
• Algoritmo memético
• Optimización por enjambre de partículas
• Búsqueda de armonía

• Búsqueda aleatoria
• Búsqueda en cuadrícula
• Recocido simulado
• Búsqueda directa
• IOSO (Optimización indirecta basada en la autoorganización)

La mayoría de estas técnicas requieren un gran número de evaluaciones de los objetivos y las restricciones. Los modelos disciplinarios suelen ser muy complejos y una sola evaluación puede consumir mucho tiempo. Por lo tanto, la solución puede ser extremadamente lenta. Muchas de las técnicas de optimización son adaptables a la computación paralela . Gran parte de la investigación actual se centra en métodos para reducir el tiempo necesario.

Además, ningún método de solución existente garantiza encontrar el óptimo global de un problema general (véase «No hay almuerzo gratis en la búsqueda y optimización »). Los métodos basados ​​en gradientes encuentran óptimos locales con alta fiabilidad, pero normalmente no pueden escapar de un óptimo local. Los métodos estocásticos, como el recocido simulado y los algoritmos genéticos, encontrarán una buena solución con alta probabilidad, pero se puede decir muy poco sobre las propiedades matemáticas de la solución. Ni siquiera se garantiza que sea un óptimo local. Estos métodos suelen encontrar un diseño diferente cada vez que se ejecutan.