Interpolación cuadrática inversa

En análisis numérico , la interpolación cuadrática inversa es un algoritmo para encontrar raíces , es decir, un algoritmo para resolver ecuaciones de la forma f ( x ) = 0. La idea es usar la interpolación cuadrática para aproximar la inversa de f . Este algoritmo rara vez se usa de forma aislada, pero es importante porque forma parte del popular método de Brent .

El algoritmo de interpolación cuadrática inversa se define mediante la relación de recurrencia.

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {f_{n-1}f_{n}}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_{n})}}x_{n-2}+{\frac {f_{n-2}f_{n}}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_{n})}}x_{n-1}}$

${\displaystyle {}+{\frac {f_{n-2}f_{n-1}}{(f_{n}-f_{n-2})(f_{n}-f_{n-1})}}x_{n},}$

donde f _k = f ( x _k ). Como se puede observar en la relación de recurrencia, este método requiere tres valores iniciales, x ₀ , x ₁ y x ₂ .

Utilizamos las tres iteraciones anteriores, x _{n − 2} , x _{n − 1} y x _n , con sus valores de función, f _{n − 2} , f _{n − 1} y f _n . Aplicando la fórmula de interpolación de Lagrange para realizar una interpolación cuadrática sobre el inverso de f se obtiene

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {(y-f_{n-1})(y-f_{n})}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_{n})}}x_{n-2}+{\frac {(y-f_{n-2})(y-f_{n})}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_{n})}}x_{n-1}}$

${\displaystyle \qquad +{\frac {(y-f_{n-2})(y-f_{n-1})}{(f_{n}-f_{n-2})(f_{n}-f_{n-1})}}x_{n}.}$

Estamos buscando una raíz de f , por lo que sustituimos y = f ( x ) = 0 en la ecuación anterior, y esto da como resultado la fórmula de recurrencia anterior.

El comportamiento asintótico es muy bueno: en general, las iteraciones x _n convergen rápidamente a la raíz una vez que se aproximan. Sin embargo, el rendimiento suele ser bastante deficiente si los valores iniciales no están cerca de la raíz real. Por ejemplo, si por casualidad dos de los valores de la función f _{n − 2} , f _{n − 1} y f _n coinciden, el algoritmo falla por completo. Por lo tanto, la interpolación cuadrática inversa rara vez se utiliza como algoritmo independiente.

El orden de esta convergencia es aproximadamente 1,84, como puede demostrarse mediante el análisis del método de la secante .

Como se indicó en la introducción, en el método de Brent se utiliza la interpolación cuadrática inversa .

La interpolación cuadrática inversa también está estrechamente relacionada con otros métodos de búsqueda de raíces. El uso de interpolación lineal en lugar de interpolación cuadrática da como resultado el método de la secante . La interpolación de f en lugar de la inversa de f da como resultado el método de Muller .

• La interpolación parabólica sucesiva es un método relacionado que utiliza parábolas para encontrar extremos en lugar de raíces.

• James F. Epperson , Introducción a los métodos y análisis numéricos , páginas 182-185, Wiley-Interscience, 2007. ISBN 978-0-470-04963-1