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Método pseudoespectral de Gauss

El método pseudoespectral de Gauss (GPM) , uno de los muchos temas que llevan el nombre de Carl Friedrich Gauss , es un método de transcripción directa para discretizar un probl...

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El método pseudoespectral de Gauss (GPM) , uno de los muchos temas que llevan el nombre de Carl Friedrich Gauss , es un método de transcripción directa para discretizar un problema de control óptimo continuo en un programa no lineal (NLP). El método pseudoespectral de Gauss se diferencia de varios otros métodos pseudoespectrales en que la dinámica no está colocada en ninguno de los puntos finales del intervalo de tiempo. Esta colocación, junto con la aproximación adecuada al costate , conduce a un conjunto de condiciones KKT que son idénticas a la forma discretizada de las condiciones de optimalidad de primer orden. Esta equivalencia entre las condiciones KKT y las condiciones de optimalidad de primer orden discretizadas conduce a una estimación precisa del costate utilizando los multiplicadores KKT del NLP.

Descripción

El método se basa en la teoría de la colocación ortogonal , donde los puntos de colocación (es decir, los puntos en los que se discretiza el problema de control óptimo) son los puntos de Legendre -Gauss (LG). El enfoque utilizado en el GPM es utilizar una aproximación polinómica de Lagrange para el estado que incluye coeficientes para el estado inicial más los valores del estado en los N puntos LG. De una manera algo opuesta, la aproximación para la co-estado (adjunta) se realiza utilizando una base de polinomios de Lagrange que incluye el valor final de la co-estado más la co-estado en los N puntos LG. Estas dos aproximaciones juntas conducen a la capacidad de mapear los multiplicadores KKT del programa no lineal (NLP) a las co-estados del problema de control óptimo en los N puntos LG MÁS los puntos límite. El teorema de mapeo de costatos que surge del GPM se ha descrito en varias referencias, incluidas dos tesis doctorales [1] [2] y artículos de revistas que incluyen la teoría junto con aplicaciones [3] [4] [5]

Fondo

Los métodos pseudoespectrales, también conocidos como métodos de colocación ortogonal , en el control óptimo surgieron de los métodos espectrales que se usaban tradicionalmente para resolver problemas de dinámica de fluidos. [6] [7] El trabajo seminal en métodos de colocación ortogonal para problemas de control óptimo se remonta a 1979 con el trabajo de Reddien [8] y algunos de los primeros trabajos que utilizan métodos de colocación ortogonal en ingeniería se pueden encontrar en la literatura de ingeniería química. [9] Trabajos más recientes en ingeniería química y aeroespacial han utilizado la colocación en los puntos Legendre–Gauss–Radau (LGR). [10] [11] [12] [13] Dentro de la comunidad de ingeniería aeroespacial, se han desarrollado varios métodos pseudoespectrales bien conocidos para resolver problemas de control óptimo, como el método pseudoespectral de Chebyshev (CPM) [14] [15] el método pseudoespectral de Legendre (LPM) [16] y el método pseudoespectral de Gauss (GPM). [17] El CPM utiliza polinomios de Chebyshev para aproximar el estado y el control, y realiza una colocación ortogonal en los puntos Chebyshev–Gauss– Lobatto (CGL). Se desarrolló una mejora del método pseudoespectral de Chebyshev que utiliza una cuadratura de Clenshaw–Curtis. [18] El LPM utiliza polinomios de Lagrange para las aproximaciones y puntos Legendre–Gauss–Lobatto (LGL) para la colocación ortogonal. También se desarrolló un procedimiento de estimación de costata para el método pseudoespectral de Legendre . [19] Un trabajo reciente muestra varias variantes del LPM estándar. El método pseudoespectral de Jacobi [20] es un enfoque pseudoespectral más general que utiliza polinomios de Jacobi para encontrar los puntos de colocación, de los cuales los polinomios de Legendre son un subconjunto. Otra variante, llamada método Hermite-LGL [21], utiliza polinomios cúbicos por partes en lugar de polinomios de Lagrange y se coloca en un subconjunto de los puntos LGL.

Véase también

  • Software APMonitor para optimización dinámica
  • PROPT - Software de Control Óptimo MATLAB (Gauss y Chebyshev) con más de 110 ejemplos.
  • GPOPS-II : Software de control óptimo pseudoespectral general (artículo de revista revisado por pares que implementa métodos de colocación en cuadratura gaussiana de orden variable).
  • JModelica.org (plataforma de código abierto basada en Modelica para optimización dinámica)

Referencias y notas

  1. ^ Benson, DA, Una transcripción pseudoespectral de Gauss para un control óptimo , tesis doctoral, Departamento de Aeronáutica y Astronáutica, MIT, noviembre de 2004,
  2. ^ Huntington, GT, Avance y análisis de una transcripción pseudoespectral de Gauss para un control óptimo , tesis doctoral, Departamento de Aeronáutica y Astronáutica, MIT, mayo de 2007
  3. ^ Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP y Rao, AV, "Optimización directa de trayectorias y estimación de cotas mediante un método de colocación ortogonal", Journal of Guidance, Control, and Dynamics . Vol. 29, No. 6, noviembre-diciembre de 2006, págs. 1435-1440.
  4. ^ Huntington, GT, Benson, DA y Rao, AV, "Configuración óptima de formaciones de naves espaciales tetraédricas", The Journal of The Astronautical Sciences . Vol. 55, No. 2, marzo-abril de 2007, págs. 141-169.
  5. ^ Huntington, GT y Rao, AV, "Reconfiguración óptima de formaciones de naves espaciales utilizando el método pseudoespectral de Gauss", Journal of Guidance, Control, and Dynamics . Vol. 31, No. 3, marzo-abril de 2008, págs. 689-698.
  6. ^ Canuto, C., Hussaini, MY , Quarteroni, A., Zang, TA, Métodos espectrales en dinámica de fluidos , Springer–Verlag, Nueva York, 1988.
  7. ^ Fornberg, B., Una guía práctica para métodos pseudoespectrales , Cambridge University Press, 1998.
  8. ^ Reddien, GW, "Colocación en puntos de Gauss como discretización en control óptimo", SIAM Journal on Control and Optimization , Vol. 17, No. 2, marzo de 1979.
  9. ^ Cuthrell, JE y Biegler, LT, “Métodos simultáneos de optimización y solución para perfiles de control de reactores por lotes”, Computers and Chemical Engineering , vol. 13, núms. 1/2, 1989, págs. 49-62.
  10. ^ Hedengren, JD; Asgharzadeh Shishavan, R.; Powell, KM; Edgar, TF (2014). "Modelado no lineal, estimación y control predictivo en APMonitor". Computers & Chemical Engineering . 70 (5): 133–148. doi :10.1016/j.compchemeng.2014.04.013. S2CID  5793446.
  11. ^ Fahroo, F. y Ross, I., “Métodos pseudoespectrales para problemas de control óptimo no lineal de horizonte infinito”, Conferencia de guía, navegación y control de la AIAA de 2005, documento AIAA 2005–6076, San Francisco, CA, 15 al 18 de agosto de 2005.
  12. ^ Kameswaran, S. y Biegler, LT, “Tasas de convergencia para optimización dinámica utilizando colocación Radau”, Conferencia SIAM sobre optimización , Estocolmo, Suecia, 2005.
  13. ^ Kameswaran, S. y Biegler, LT, “Tasas de convergencia para la transcripción directa de problemas de control óptimo en puntos Radau”, Actas de la Conferencia Americana de Control de 2006 , Minneapolis, Minnesota, junio de 2006.
  14. ^ Vlassenbroeck, J. y Van Doreen, R., “Una técnica de Chebyshev para resolver problemas de control óptimo no lineal”, IEEE Transactions on Automatic Control , vol. 33, núm. 4, 1988, págs. 333–340.
  15. ^ Vlassenbroeck, J., “Un método polinomial de Chebyshev para control óptimo con restricciones de estado”, Automatica , Vol. 24, 1988, págs. 499–506.
  16. ^ Elnagar, J., Kazemi, MA y Razzaghi, M., El método de Legendre pseudoespectral para discretizar problemas de control óptimo, IEEE Transactions on Automatic Control , vol. 40, n.º 10, 1995, págs. 1793-1796
  17. ^ Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP y Rao, AV, “Optimización de trayectoria directa y estimación de costada mediante un método de colocación ortogonal”, Journal of Guidance, Control, and Dynamics , vol. 29, n.º 6, noviembre-diciembre de 2006, págs. 1435-1440.
  18. ^ Fahroo, F. y Ross, IM, “Optimización de trayectoria directa mediante un método pseudoespectral de Chebyshev”, Journal of Guidance, Control, and Dynamics , vol. 25, n.º 1, enero-febrero de 2002, págs. 160-166.
  19. ^ Ross, IM y Fahroo, F., Aproximaciones pseudoespectrales de Legendre de problemas de control óptimo, Notas de clase en ciencias de la información y el control , vol. 295, Springer-Verlag, Nueva York, 2003
  20. ^ Williams, P., “Método pseudoespectral de Jacobi para resolver problemas de control óptimo”, Journal of Guidance , vol. 27, n.º 2, 2003
  21. ^ Williams, P., “Métodos de transcripción directa de Hermite–Legendre–Gauss–Lobatto en la optimización de trayectorias”, Advances in the Astronautical Sciences . Vol. 120, Parte I, págs. 465–484. 2005
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