Matriz de Hilbert

En álgebra lineal , una matriz de Hilbert , introducida por Hilbert  ( 1894 ), es una matriz cuadrada cuyas entradas son las fracciones unitarias.

${\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

Por ejemplo, esta es la matriz de Hilbert de 5 × 5:

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}$

Las entradas también pueden definirse mediante la integral.

${\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}$

es decir, como una matriz de Gram para potencias de x . Surge en la aproximación por mínimos cuadrados de funciones arbitrarias mediante polinomios .

Las matrices de Hilbert son ejemplos canónicos de matrices mal condicionadas , siendo notoriamente difíciles de usar en cálculos numéricos . Por ejemplo, el número de condición de norma 2 de la matriz anterior es aproximadamente 4,8 × 10.⁵ .

Hilbert (1894) introdujo la matriz de Hilbert para estudiar la siguiente cuestión en la teoría de la aproximación : "Supongamos que I = [ a , b ] , es un intervalo real. ¿Es posible entonces encontrar un polinomio no nulo P con coeficientes enteros, tal que la integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)^{2}dx}$

¿Es menor que cualquier límite dado ε  > 0, tomado arbitrariamente pequeño? Para responder a esta pregunta, Hilbert deduce una fórmula exacta para el determinante de las matrices de Hilbert e investiga su comportamiento asintótico. Concluye que la respuesta a su pregunta es afirmativa si la longitud b − a del intervalo es menor que 4.

La matriz de Hilbert es simétrica y definida positiva . Además, es totalmente positiva (lo que significa que el determinante de cada submatriz es positivo).

La matriz de Hilbert es un ejemplo de matriz de Hankel . También es un ejemplo específico de matriz de Cauchy .

El determinante se puede expresar en forma cerrada , como un caso especial del determinante de Cauchy . El determinante de la matriz de Hilbert n × n es

${\displaystyle \det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},}$

dónde

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.}$

Hilbert ya mencionó el hecho curioso de que el determinante de la matriz de Hilbert es el recíproco de un número entero (véase la secuencia OEIS :  A005249 en la OEIS ), lo cual también se deduce de la identidad.

${\displaystyle {\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.}$

Utilizando la aproximación de Stirling del factorial , se puede establecer el siguiente resultado asintótico:

${\displaystyle \det(H)\sim a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},}$

donde a _n converge a la constante cuando , donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin . ${\displaystyle e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450}$${\displaystyle n\to \infty }$

La inversa de la matriz de Hilbert se puede expresar en forma cerrada utilizando coeficientes binomiales ; sus entradas son:

${\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},}$

donde n es el orden de la matriz. ^{[ 1 ]} De ello se deduce que las entradas de la matriz inversa son todas enteras y que los signos forman un patrón de tablero de ajedrez, siendo positivos en la diagonal principal . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].}$

El número de condición de la matriz de Hilbert n  ×  n crece como . ${\displaystyle O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)}$

El método de los momentos aplicado a las distribuciones polinómicas da como resultado una matriz de Hankel , que en el caso particular de aproximar una distribución de probabilidad en el intervalo [0, 1] resulta en una matriz de Hilbert. Esta matriz debe invertirse para obtener los parámetros de ponderación de la aproximación de la distribución polinómica. ^{[ 2 ]}