Diagonal principal

En álgebra lineal , la diagonal principal (a veces llamada diagonal principal , diagonal primaria , diagonal principal , diagonal mayor o diagonal buena ) de una matriz es la lista de entradas donde . Todos los elementos fuera de la diagonal son cero en una matriz diagonal . Las siguientes cuatro matrices tienen sus diagonales principales indicadas con líneas rojas: ${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle i=j}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {rojo}{1}&0\\0&0&0&\color {rojo}{1}\end{bmatrix}}}$$

Para una matriz cuadrada , la diagonal (o diagonal principal ) es la línea diagonal de entradas que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Para una matriz con índice de fila especificado por e índice de columna especificado por , estas serían entradas con . Por ejemplo, la matriz identidad se puede definir como aquella que tiene entradas de 1 en la diagonal principal y ceros en el resto: ${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal.

La diagonal que va de la esquina superior derecha a la inferior izquierda a veces se describe como la diagonal menor o antidiagonal .

Los elementos fuera de la diagonal son aquellos que no se encuentran en la diagonal principal. Una matriz diagonal es aquella cuyos elementos fuera de la diagonal son todos cero. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

AUna entrada superdiagonal es aquella que se encuentra directamente encima y a la derecha de la diagonal principal. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Así como las entradas diagonales son aquellascon, las entradas superdiagonales son aquellas con. Por ejemplo, todas las entradas no nulas de la siguiente matriz se encuentran en la superdiagonal: ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

Asimismo, unUna entrada subdiagonal es aquella que se encuentra directamente debajo y a la izquierda de la diagonal principal, es decir, una entradacon. ^{[ 8 ]} Las diagonales generales de una matriz se pueden especificar mediante un índicemedido en relación con la diagonal principal: la diagonal principal tiene; la superdiagonal tiene; la subdiagonal tiene; y, en general, ladiagonal consta de las entradascon. ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i+k}$

Una matriz de banda es aquella cuyos elementos no nulos se limitan a una banda diagonal. Una matriz tridiagonal solo tiene elementos no nulos en la diagonal principal, la superdiagonal y las subdiagonales.

La antidiagonal (a veces diagonal contraria , diagonal secundaria (*), diagonal posterior , diagonal menor , diagonal fuera de la diagonal o diagonal mala ) de una matriz cuadrada de orden es el conjunto de entradas tales que para todo . Es decir, va desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda. ${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle i+j=N+1}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{1}\\0&\color {red}{1}&0\\\color {red}{1}&0&0\end{bmatrix}}}$

(*) Las diagonales secundarias (así como las diagonales de salida , menores y fuera de la diagonal ) también suelen significar las diagonales (también conocidas como k -ésimas) paralelas a las diagonales principales, es decir , para algún k distinto de cero = 1, 2, 3, ... De forma más general y universal, los elementos fuera de la diagonal de una matriz son todos los elementos que no están en la diagonal principal, es decir , con índices distintos i ≠ j . ${\displaystyle A_{i,\,i\pm k}}$

• Rastro

• Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN  70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices y transformaciones lineales , Reading: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016{{citation}}:Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646
• Weisstein, Eric W. "Diagonal principal" . MathWorld .