Relajación (método iterativo)

En matemáticas numéricas , los métodos de relajación son métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones , incluidos los sistemas no lineales. ^{[ 1 ]}

Los métodos de relajación se desarrollaron para resolver grandes sistemas lineales dispersos , que surgieron como discretizaciones de diferencias finitas de ecuaciones diferenciales . ^{[ 2 ] [ 3 ]} También se utilizan para la solución de ecuaciones lineales para problemas de mínimos cuadrados lineales ^{[ 4 ]} y también para sistemas de desigualdades lineales, como las que surgen en la programación lineal . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} También se han desarrollado para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. ^{[ 1 ]}

Los métodos de relajación son importantes, especialmente en la solución de sistemas lineales utilizados para modelar ecuaciones diferenciales parciales elípticas , como la ecuación de Laplace y su generalización, la ecuación de Poisson . Estas ecuaciones describen problemas de contorno , en los que los valores de la función solución se especifican en el límite de un dominio; el problema consiste en calcular una solución también en su interior. Los métodos de relajación se utilizan para resolver las ecuaciones lineales resultantes de una discretización de la ecuación diferencial, por ejemplo, mediante diferencias finitas. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La relajación iterativa de soluciones se conoce comúnmente como suavizado porque, con ciertas ecuaciones, como la ecuación de Laplace , se asemeja a la aplicación repetida de un filtro de suavizado local al vector solución. No deben confundirse con los métodos de relajación en optimización matemática , que aproximan un problema difícil mediante un problema más simple cuya solución "relajada" proporciona información sobre la solución del problema original. ^{[ 7 ]}

Cuando φ es una función suave de valor real definida sobre los números reales, su segunda derivada puede aproximarse mediante:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi (x)}{{dx}^{2}}}={\frac {\varphi (x{-}h)-2\varphi (x)+\varphi (x{+}h)}{h^{2}}}\,+\,{\mathcal {O}}(h^{2})\,.}$

Utilizando esto en ambas dimensiones para una función φ de dos argumentos en el punto ( x , y ), y resolviendo para φ( x , y ), se obtiene:

${\displaystyle \varphi (x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}{\nabla }^{2}\varphi (x,y)\right)\,+\,{\mathcal {O}}(h^{4})\,.}$

Para aproximar la solución de la ecuación de Poisson:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f\,}$

numéricamente en una cuadrícula bidimensional con espaciado de cuadrícula h , el método de relajación asigna los valores dados de la función φ a los puntos de la cuadrícula cercanos al límite y valores arbitrarios a los puntos de la cuadrícula interiores, y luego realiza repetidamente la asignación φ  := φ* en los puntos interiores, donde φ* se define por:

${\displaystyle \varphi ^{*}(x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}f(x,y)\right)\,,}$

hasta la convergencia. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El método ^{[ 2 ] [ 3 ]} se generaliza fácilmente a otros números de dimensiones.

Si bien el método converge bajo condiciones generales, suele progresar más lentamente que otros métodos. No obstante, el estudio de los métodos de relajación sigue siendo fundamental en el álgebra lineal , ya que las transformaciones de la teoría de la relajación proporcionan excelentes precondicionadores para nuevos métodos. De hecho, la elección del precondicionador suele ser más importante que la del método iterativo. ^{[ 8 ]}

Los métodos multigrid pueden utilizarse para acelerar los métodos. Primero se puede calcular una aproximación en una malla más gruesa —generalmente con espaciado doble de 2 h— y usar esa solución con valores interpolados para los demás puntos de la malla como asignación inicial. Esto también puede hacerse recursivamente para el cálculo más grueso. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• En los sistemas lineales, las dos clases principales de métodos de relajación son los métodos iterativos estacionarios y los métodos de subespacio de Krylov, que son más generales .
• El método de Jacobi es un método de relajación sencillo.
• El método de Gauss-Seidel supone una mejora respecto al método de Jacobi.
• La sobre-relajación sucesiva puede aplicarse tanto a los métodos de Jacobi como a los de Gauss-Seidel para acelerar la convergencia.
• Métodos multigrid

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