suma de Riemann

En matemáticas , una suma de Riemann es un tipo específico de aproximación de una integral mediante una suma finita. Recibe su nombre del matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann . Una aplicación muy común es la integración numérica , es decir, la aproximación del área de funciones o líneas en una gráfica, donde también se conoce como regla del rectángulo . También se puede aplicar para aproximar la longitud de curvas y otras aproximaciones.

La suma se calcula dividiendo la región en figuras ( rectángulos , trapecios , parábolas o cubos , a veces infinitesimalmente pequeños) que, en conjunto, forman una región similar a la que se está midiendo. Luego, se calcula el área de cada una de estas figuras y, finalmente, se suman todas estas áreas pequeñas. Este método puede utilizarse para obtener una aproximación numérica de una integral definida, incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita la obtención de una solución analítica .

Debido a que la región delimitada por las figuras pequeñas no suele tener exactamente la misma forma que la región que se está midiendo, la suma de Riemann diferirá del área medida. Este error se puede reducir dividiendo la región con mayor precisión, utilizando figuras cada vez más pequeñas. A medida que las figuras se hacen más pequeñas, la suma se aproxima a la integral de Riemann .

Dejar${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$sea ​​una función definida en un intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$de los números reales,${\displaystyle \mathbb {R} }$, y${\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$como una partición de${\displaystyle [a,b]}$, eso es $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.}$$ Una suma de Riemann${\displaystyle S}$de${\displaystyle f}$encima${\displaystyle [a,b]}$con partición${\displaystyle P}$se define como $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},}$$ dónde${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$y${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$. ^{[ 1 ]} Se podrían producir diferentes sumas de Riemann dependiendo de qué${\displaystyle x_{i}^{*}}$Se eligen s. Al final esto no importará, si la función es integrable de Riemann , cuando la diferencia o el ancho de los sumandos${\displaystyle \Delta x_{i}}$se acerca a cero.

Opciones específicas de${\displaystyle x_{i}^{*}}$Indica diferentes tipos de sumas de Riemann:

• Si${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$para todo i , el método es la regla izquierda ^{[ 2 ] [ 3 ]} y da una suma de Riemann izquierda .
• Si${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$para todo i , el método es la regla correcta ^{[ 2 ] [ 3 ]} y da una suma de Riemann correcta .
• Si${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$para todo i , el método es la regla del punto medio ^{[ 2 ] [ 3 ]} y da una suma de Riemann media .
• Si${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$(es decir, el supremo de${\textstyle f}$encima${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$), el método es la regla superior y da una suma de Riemann superior o una suma de Darboux superior .
• Si${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$(es decir, el ínfimo de f sobre${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$), el método es la regla inferior y da una suma de Riemann inferior o una suma de Darboux inferior .

Todos estos métodos de suma de Riemann se encuentran entre las formas más básicas de realizar la integración numérica . En términos generales, una función es integrable según Riemann si todas las sumas de Riemann convergen a medida que la partición se vuelve cada vez más fina.

Aunque no se deriva como una suma de Riemann, el promedio de las sumas de Riemann izquierda y derecha constituye la regla del trapecio y da como resultado una suma trapezoidal . Es uno de los métodos más sencillos de aproximación de integrales mediante promedios ponderados. Le siguen en complejidad la regla de Simpson y las fórmulas de Newton-Cotes .

Cualquier suma de Riemann en una partición dada (es decir, para cualquier elección de${\displaystyle x_{i}^{*}}$entre${\displaystyle x_{i-1}}$y${\displaystyle x_{i}}$) está contenido entre las sumas de Darboux inferior y superior. Esto constituye la base de la integral de Darboux , que en última instancia es equivalente a la integral de Riemann.

Los cuatro métodos de suma de Riemann se abordan mejor generalmente con subintervalos de igual tamaño. Por lo tanto, el intervalo [ a , b ] se divide en${\displaystyle n}$subintervalos, cada uno de longitud $${\displaystyle \Delta x={\frac {ba}{n}}.}$$

Los puntos en la partición serán entonces $${\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}$$

Gobierno de izquierda

Para la regla de la izquierda, la función se aproxima mediante sus valores en los extremos izquierdos de los subintervalos. Esto da como resultado múltiples rectángulos con base Δ x y altura f ( a + i Δ x ) . Haciendo esto para i = 0, 1, ..., n − 1 , y sumando las áreas resultantes se obtiene $${\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}$$

La suma de Riemann izquierda supone una sobreestimación si f es monótonamente decreciente en este intervalo, y una subestimación si es monótonamente creciente . El error de esta fórmula será $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(ba)^{2}}{2n}},}$$ dónde${\displaystyle M_{1}}$es el valor máximo del valor absoluto de${\displaystyle f^{\prime }(x)}$durante el intervalo.

Regla correcta

Para la regla correcta, la función se aproxima mediante sus valores en los extremos derechos de los subintervalos. Esto da como resultado múltiples rectángulos con base Δ x y altura f ( a + i Δ x ) . Haciendo esto para i = 1, ..., n , y sumando las áreas resultantes se obtiene $${\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

La suma de Riemann derecha equivale a una subestimación si f es monótonamente decreciente , y a una sobreestimación si es monótonamente creciente . El error de esta fórmula será $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ dónde${\displaystyle M_{1}}$es el valor máximo del valor absoluto de${\displaystyle f^{\prime }(x)}$durante el intervalo.

Regla del punto medio

Para la regla del punto medio, la función se aproxima mediante sus valores en los puntos medios de los subintervalos. Esto da f ( a + Δ x /2) para el primer subintervalo, f ( a + 3Δ x /2) para el siguiente, y así sucesivamente hasta f ( b − Δ x /2) . La suma de las áreas resultantes da $${\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}$$

El error de esta fórmula será $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle M_{2}}$es el valor máximo del valor absoluto de${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$en el intervalo. Este error es la mitad del de la suma trapezoidal; por lo tanto, la suma de Riemann central es la aproximación más precisa a la suma de Riemann.

Regla trapezoidal

Para la regla trapezoidal, la función se aproxima mediante el promedio de sus valores en los extremos izquierdo y derecho de los subintervalos. Usando la fórmula del área${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$para un trapecio con lados paralelos b ₁ y b ₂ , y altura h , y sumando las áreas resultantes se obtiene $${\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

El error de esta fórmula será $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle M_{2}}$es el valor máximo del valor absoluto de${\displaystyle f''(x)}$.

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es la misma que el promedio de las sumas de la izquierda y la derecha de esa función.

Para una suma de Riemann unidimensional sobre el dominio${\displaystyle [a,b]}$, a medida que el tamaño máximo de un subintervalo se reduce a cero (es decir, el límite de la norma de los subintervalos tiende a cero), algunas funciones tendrán todas las sumas de Riemann convergiendo al mismo valor. Este valor límite, si existe, se define como la integral de Riemann definida de la función sobre el dominio, $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$$

En un dominio de tamaño finito, si el tamaño máximo de un subintervalo se reduce a cero, esto implica que el número de subintervalos tiende a infinito. Para particiones finitas, las sumas de Riemann siempre son aproximaciones al valor límite, y esta aproximación mejora a medida que la partición se hace más fina. Las siguientes animaciones ayudan a demostrar cómo aumentar el número de subintervalos (mientras se reduce el tamaño máximo de cada subintervalo) mejora la aproximación del área bajo la curva:

• 
  Suma de Riemann izquierda
• 
  Suma de Riemann derecha
• 
  Suma de Riemann media

Dado que se supone que la función roja es una función suave , las tres sumas de Riemann convergerán al mismo valor a medida que el número de subintervalos tiende a infinito.

Comparación de la suma de Riemann derecha con la integral de x ↦ x ² sobre${\textstyle [0,2]}$.

Una representación visual del área bajo la curva y = x² en [0, 2]. Usando antiderivadas, esta área es ^exactamente${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$.

Aproximación del área bajo la curva y = x² en [0, 2] mediante la suma de Riemann derecha. Nótese que ^, dado que la función es monótonamente creciente, la suma de Riemann derecha siempre sobreestimará el área aportada por cada término de la suma (y lo hará de forma máxima).

El valor de la suma de Riemann derecha de x ↦ x ² sobre${\textstyle [0,2]}$. A medida que aumenta el número de rectángulos, se aproxima al área exacta de${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$.

Tomando como ejemplo, el área bajo la curva y = x² en [0, 2] se puede calcular procedimentalmente utilizando el método de Riemann ^.

El intervalo [0, 2] se divide primero en n subintervalos, a cada uno de los cuales se le da un ancho de${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$; estos son los anchos de los rectángulos de Riemann (en adelante "cajas"). Dado que se utilizará la suma de Riemann derecha, la secuencia de coordenadas x para las cajas será${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$Por lo tanto, la secuencia de las alturas de las cajas será${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$Es un hecho importante que${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$, y${\displaystyle x_{n}=2}$.

El área de cada caja será${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$y por lo tanto la n -ésima suma de Riemann derecha será: $${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Si se considera el límite cuando n → ∞, se puede concluir que la aproximación se aproxima al valor real del área bajo la curva a medida que aumenta el número de cajas. Por lo tanto: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}$$

Este método coincide con la integral definida calculada de maneras más mecánicas: $${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}$$

Debido a que la función es continua y monótonamente creciente en el intervalo, una suma de Riemann derecha sobreestima la integral en la mayor cantidad (mientras que una suma de Riemann izquierda la subestima en la mayor cantidad). Este hecho, que resulta intuitivamente claro a partir de los diagramas, muestra cómo la naturaleza de la función determina la precisión de la estimación de la integral. Si bien son sencillas, las sumas de Riemann derecha e izquierda suelen ser menos precisas que técnicas más avanzadas para estimar una integral, como la regla del trapecio o la regla de Simpson .

La función de ejemplo tiene una antiderivada fácil de encontrar, por lo que estimar la integral mediante sumas de Riemann es principalmente un ejercicio académico; sin embargo, hay que recordar que no todas las funciones tienen antiderivadas, por lo que estimar sus integrales mediante sumatoria es de gran importancia práctica.

La idea básica de una suma de Riemann consiste en dividir el dominio en partes mediante una partición, multiplicar el tamaño de cada parte por un valor que la función adquiere en esa parte y sumar todos estos productos. Esto se puede generalizar para aplicar sumas de Riemann a funciones en dominios de más de una dimensión.

Aunque intuitivamente el proceso de partición del dominio es fácil de comprender, los detalles técnicos de cómo se puede particionar el dominio se vuelven mucho más complicados que en el caso unidimensional e involucran aspectos de la forma geométrica del dominio. ^{[ 4 ]}

• Antiderivado
• Método de Euler y método del punto medio , métodos relacionados para resolver ecuaciones diferenciales.
• Integración de Lebesgue
• Integral de Riemann , límite de sumas de Riemann cuando la partición se vuelve infinitamente fina.
• La regla de Simpson , un método numérico potente, más potente que las sumas de Riemann básicas o incluso la regla trapezoidal.
• Regla trapezoidal , método numérico basado en el promedio de la suma de Riemann izquierda y derecha.

• Weisstein, Eric W. "Suma de Riemann" . MundoMatemático .
• Una simulación que muestra la convergencia de las sumas de Riemann.