Método del punto medio

En análisis numérico , una rama de las matemáticas aplicadas , el método del punto medio es un método de un solo paso para resolver numéricamente la ecuación diferencial ,

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

El método explícito del punto medio viene dado por la fórmula

el método del punto medio implícito por

para${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$Aquí,${\displaystyle h}$es el tamaño del paso : un número positivo pequeño,${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$y${\displaystyle y_{n}}$es el valor aproximado calculado de${\displaystyle y(t_{n}).}$El método explícito del punto medio también se conoce a veces como el método de Euler modificado , ^{[ 1 ]} el método implícito es el método de colocación más simple y, aplicado a la dinámica hamiltoniana, un integrador simpléctico . Nótese que el método de Euler modificado puede referirse al método de Heun , ^{[ 2 ]} para mayor claridad véase la Lista de métodos de Runge-Kutta .

El nombre del método proviene del hecho de que en la fórmula anterior, la función${\displaystyle f}$La pendiente de la solución se evalúa en${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},}$el punto medio entre${\displaystyle t_{n}}$en el cual el valor de${\displaystyle y(t)}$es conocido y${\displaystyle t_{n+1}}$en el cual el valor de${\displaystyle y(t)}$Es necesario encontrarlo.

Una interpretación geométrica puede proporcionar una mejor comprensión intuitiva del método (véase la figura de la derecha). En el método básico de Euler , la tangente de la curva en${\displaystyle (t_{n},y_{n})}$se calcula utilizando${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$. El siguiente valor${\displaystyle y_{n+1}}$Se encuentra donde la tangente interseca la línea vertical.${\displaystyle t=t_{n+1}}$Sin embargo, si la segunda derivada es solo positiva entre${\displaystyle t_{n}}$y${\displaystyle t_{n+1}}$, o solo negativo (como en el diagrama), la curva se desviará cada vez más de la tangente, lo que provocará errores mayores.${\displaystyle h}$aumenta. El diagrama ilustra que la tangente en el punto medio (segmento de línea verde superior) probablemente daría una aproximación más precisa de la curva en ese intervalo. Sin embargo, esta tangente del punto medio no se puede calcular con precisión porque no conocemos la curva (que es lo que se debe calcular). En cambio, esta tangente se estima utilizando el método original de Euler para estimar el valor de${\displaystyle y(t)}$en el punto medio, luego calculando la pendiente de la tangente con${\displaystyle f()}$. Finalmente, la tangente mejorada se utiliza para calcular el valor de${\displaystyle y_{n+1}}$de${\displaystyle y_{n}}$Este último paso está representado por la cuerda roja en el diagrama. Nótese que la cuerda roja no es exactamente paralela al segmento verde (la tangente verdadera), debido al error en la estimación del valor de${\displaystyle y(t)}$en el punto medio.

El error local en cada paso del método del punto medio es de orden${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$, lo que produce un error global de orden${\displaystyle O\left(h^{2}\right)}$Por lo tanto, si bien es computacionalmente más intensivo que el método de Euler, el error del método del punto medio generalmente disminuye más rápido a medida que${\displaystyle h\to 0}$.

Estos métodos son ejemplos de una clase de métodos de orden superior conocidos como métodos de Runge-Kutta .

El método del punto medio es un refinamiento del método de Euler.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

y se deriva de manera similar. La clave para derivar el método de Euler es la igualdad aproximada.

que se obtiene a partir de la fórmula de la pendiente

y teniendo en cuenta que${\displaystyle y'=f(t,y).}$

Para los métodos de punto medio, se reemplaza (3) con el más preciso

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

cuando en lugar de (2) encontramos

No se puede utilizar esta ecuación para encontrar${\displaystyle y(t+h)}$como uno no sabe${\displaystyle y}$en${\displaystyle t+h/2}$La solución consiste entonces en utilizar una expansión en serie de Taylor exactamente como si se utilizara el método de Euler para resolver${\displaystyle y(t+h/2)}$:

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),}$

que, cuando se conecta (4), nos da

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

y el método explícito del punto medio (1e).

El método implícito (1i) se obtiene aproximando el valor en el medio paso.${\displaystyle t+h/2}$por el punto medio del segmento de línea desde${\displaystyle y(t)}$a${\displaystyle y(t+h)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

Insertando la aproximación${\displaystyle y_{n}+h\,k}$para${\displaystyle y(t_{n}+h)}$ resultados en el método implícito de Runge-Kutta

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}}$

que contiene el método implícito de Euler con tamaño de paso${\displaystyle h/2}$como su primera parte.

Debido a la simetría temporal del método implícito, todos los términos de grado par en${\displaystyle h}$del error local cancela, de modo que el error local se ordena automáticamente${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{3})}$. Sustituir el método implícito por el método explícito de Euler en la determinación de${\displaystyle k}$Los resultados se obtienen nuevamente mediante el método explícito del punto medio.

• Método del rectángulo
• El método de Heun
• Integración de Leapfrog e integración de Verlet

• Griffiths, DV; Smith, IM (1991). Métodos numéricos para ingenieros: un enfoque de programación . Boca Raton: CRC Press. pág.  218. ISBN 0-8493-8610-1.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
• Burden, Richard; Faires, John (2010). Análisis numérico . Richard Stratton. pág.  286. ISBN 978-0-538-73351-9.